1、4.3 平面向量的数量积教学内容：平面向量的数量积（2课时）教学目标：理解平面向量数量积的含义及其物理意义，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系教学重点：平面向量数量积的运算及其应用（解决有关长度、角度和垂直的问题）教学难点：平面向量数量积的几何意义教学用具：三角板教学设计：一、知识要点1.平面向量的数量积的定义（1）向量的夹角：已知两个非零向量，过点作，则叫做向量，的夹角. 当且仅当两个非零向量，同向时，；当且仅当两个非零向量，反向时，；当且仅当两个非零向量，的夹角时，称与垂直，记作.注：两个向量，平移成有公共起点时两个向量所成的角才是
2、向量的夹角；要注意它的取值范围是；零向量与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题.（2）向量的数量积：两个非零向量，的夹角为，则叫做向量，的数量积（或内积），记作.（3）向量数量积的几何意义：叫做在方向上的投影，等于的长度与在方向上的投影的乘积.2. 向量的运算运算运算法则运算性质数量积是一个实数， 与同向时，与反向时，注：与实数乘法比较，虽然乘法公式仍然适用，但是结合律不成立，即；消去律不成立，即由不能得到；此外由也不能得到或.3. 重要定理、公式的坐标表示二、典型例示例1已知，与的夹角为，求；.注：数量积的计算是基本的技能，在展开时与多项式乘法类似（乘法公式仍然适用），但与乘法的法则比较，数
3、量积除了模的乘积之外还有夹角的余弦.例2（1）设，满足，与的夹角为，求和；（2）已知两个单位向量与的夹角为，若，求与夹角的余弦； （4）已知，求向量在向量方向上的投影.注：本例中的问题是向量的数量积所涉及到的基本问题（数量积的计算及有关长度、角度），体现了向量的工具性，要切实把握好解决这些问题的基本方法；其中角度的计算是以数量积和向量长度的计算为基础的.例3（1）已知平面上三个向量，的模均为，它们相互之间的夹角都是，求证：；（2）设，满足，若向量与互相垂直，求实数的值（是否存在实数，使得向量与互相垂直？说明理由）.（3）若,是两个非零向量，且与垂直，与垂直，试求与的夹角.注：向量垂直的充要条件
4、的应用是重要而且关键的知识点，需要通过举一反三的方式训练落实，这里根据向量满足的不同条件列出方程（组）求解是确定参数值的基本方法. 例4 已知，与的夹角为，求当向量与的夹角是钝角时，实数的取值范围. 解：由已知得，因为向量与的夹角是钝角，所以 ， 且与不反向共线 ， 由得，即，解得；由得，有且，解得，则有，综上所述，当向量与的夹角是钝角时，实数的取值范围是且 注：根据向量满足的不同条件列出不等式（组）求解是确定参数值取值的基本方法；不可忽略向量的特殊位置关系的探讨.三、课堂练习1. 已知，与的夹角为，则等于（ ）A. B. C. D. 2. 已知，则向量与的位置关系是（ ）A. 平行 B. 夹
5、角为 C. 垂直 D. 不平行也不垂直3. 设，满足，且，若与互相垂直，则实数的值是（ ）A. B. C. D. 4. 若,是两个非零向量，且，则与的夹角是（ ）A. B. C. D. 四、课堂小结 向量的数量积所涉及到的基本问题包括：数量积的计算、有关长度和角度的计算、垂直问题的探讨，体现了向量的工具性.五、课外作业1设，是任意的非零向量，且相互不共线，则 不与垂直；中，是真命题的有 （）A B C D 2已知下列各式：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的有 （ ）A1个 B2个 C 3个 D 4个3. 已知、均为单位向量，它们的夹角为，那么 =（ ）. A BC D44已知，则等于
6、（ ）A 23 B 35 C D 5. 若向量与的夹角为，则向量的模为（ ）A 2 B 4 C 6 D 126已知，则与的夹角是 （ ）A B C D 7. 若，且，则向量与的夹角为 ( ) A30 B60 C120 D1508已知向量，|，对任意，恒有|t|，则 （ ）A B () C() D ()()9已知，则的取值范围是 （ ）A B C D10. 已知正方形的边长为，则的模等于（ ）A0 B3 C D 211. 中， 则 . 12等腰中，则.13设为内一点，则是的_心。14已知，与的夹角为，求和15已知，求向量与的夹角.16. 已知，与的夹角为，求与的夹角.17. 已知，求证：.18. 设，满足，与的夹角为，若，求实数的值.19. 已知，与的夹角为，求实数的值.已知不共线的，三向量两两所成的角相等，并且，试求向量的长度以及与已知三向量的夹角。19设与是两个互相垂直的单位向量，问当为何整数时，向量与的夹角能否等于，证明你的结论。
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