高三数学平面向量知识点与题型总结(文科).doc

知识点归纳
一.向量的基本概念与基本运算
1、向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
②零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行
③单位向量：模为1个单位长度的向量
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量
2、向量加法：设，则+==
（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；
，但这时必须“首尾相连”．
3、向量的减法： ① 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量
②向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，③作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）
4、实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：
（Ⅰ）； （Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的
5、两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=
6、平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
二.平面向量的坐标表示
1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量可表示成，记作=(x,y)。
2平面向量的坐标运算：
(1) 若，则
(2) 若，则
(3) 若=(x,y)，则=(x, y)
(4) 若，则
(5) 若，则
若，则
三．平面向量的数量积
1两个向量的数量积：
已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos
叫做与的数量积（或内积） 规定
2向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影
3数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积
4向量的模与平方的关系：
5乘法公式成立：
；

6平面向量数量积的运算律：
①交换律成立：
②对实数的结合律成立：
③分配律成立：
特别注意：（1）结合律不成立：；
（2）消去律不成立不能得到
（3）=0不能得到=或=
7两个向量的数量积的坐标运算：
已知两个向量，则·=
8向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则∠AOB= （）叫做向量与的夹角
cos==
当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题
9垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥
10两个非零向量垂直的充要条件：
⊥·＝O平面向量数量积的性质
【练习题】
1、给出下列命题：
①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中假命题的个数为(　　)
A．1　　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
2．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
3、设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

4、已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与同向的单位向量是(　　)
A. B.
C. D.
5、在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D．1
6、已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.
7、已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为120°，a＋b＋c＝0，则a与c的夹角为(　　)
A．150°　　　　　　　 　 B．90°
C．60° D．30°
8、已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.

9、设向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a·(a－b)＝0，则|2a＋b|＝(　　)
A．2　　　　　　　　　 B．2
C．4 D．4
10、已知向量a＝(sin x,1)，b＝.
(1)当a⊥b时，求|a＋b|的值；
(2)求函数f(x)＝a·(b－a)的最小正周期．

11、已知f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x,1)(x∈R)．
(1)求f(x)的周期和单调递减区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，·＝3，求边长b和c的值(b>c)．

A
O
M
N
P
B
12、如图，在中，a，b,M为OB的中点，N为AB的中点，P为ON、AM的交点，则等（ ）
A ab B ab
C ab D ab

13．△ABC中，AB边的高为CD，若＝a，＝b，a·b＝0，
|a|＝1，|b|＝2，则＝(　　)
A.a－b B.a－b
C.a－b D.a－b
14．(2012·郑州质检)若向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)相互垂直，则9x＋3y的最小值为(　　)
A．12 B．2
C．3 D．6
15．(2012·山西省四校联考)在△OAB(O为原点)中，＝(2cos α，2sin α)，＝(5cos β，5sin β)，若·＝－5，则△OAB的面积S＝(　　)
A. B.
C．5 D.
16、若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为(　　)．
A.－1 B．1 C. D．2
17、已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－，则λ＝(　　)．
A. B. C. D.
18如图，已知平行四边形ABCD的顶点A(0，0)，B(4,1)，C(6,8)．
(1)求顶点D的坐标；
(2)若＝2，F为AD的中点，求AE与BF的交点I的坐标．

．

【课后练习题】
1．下列等式：①0a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0a；⑤a－b＝a＋(－b)．正确的个数是(　　)
A．2　　　　　　　　　　　　 B．3
C．4 D．5
解析：选C　
2．(2012·福州模拟)若a＋b＋c＝0，则a，b，c(　　)
A．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形
B．一定不可能构成三角形
C．都是非零向量时能构成三角形
D．一定可构成三角形
解析：选A　
3．(2012·威海质检)已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若＋2＝3，则的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　
4．(2012·海淀期末)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点(靠近B)，那么＝(　　)
A. －　　　　 B. ＋
C. ＋ D. －
解析：选D　
5．(2013·揭阳模拟)已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于(　　)
A．30° B．60°
C．90° D．120°
解析：选A　
6．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足＋＋＝，则点P与△ABC的关系为(　　)
A．P在△ABC内部
B．P在△ABC外部
C．P在AB边所在直线上
D．P是AC边的一个三等分点
解析：选D　
7．(2012·郑州五校联考)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝________.
答案：2
8．(2013·大庆模拟)已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式＋＝＋，则四边形ABCD的形状为________．
答案：平行四边形
9．设向量e1，e2不共线，＝3(e1＋e2)，＝e2－e1，＝2e1＋e2，给出下列结论：①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，D共线，其中所有正确结论的序号为________．
答案：④
10．设i，j分别是平面直角坐标系Ox，Oy正方向上的单位向量，且＝－2i＋mj，＝n i＋j，＝5i－j，若点A，B，C在同一条直线上，且m＝2n，求实数m，n的值．

或
7．已知向量a＝，b＝(x,1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x＝________.
答案：4
8． P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于________．
答案：
9．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________．
答案：k≠1
10．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；
(2)若＝2，求点C的坐标．

(5，－3)．
11．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．求：
(1)|a＋3b|；
(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？

方向相反．
12．已知O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，＝t1＋t2.
(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；
(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点都共线．

8．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
答案：3
9．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为________．
答案：8
10．已知a＝(1,2)，b＝(－2，n)，a与b的夹角是45°.
(1)求b；
(2)若c与b同向，且a与c－a垂直，求c.
c＝b＝(－1,3)．
11．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.
(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；
(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?

即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
12．设在平面上有两个向量a＝(cos α，sin α)(0°≤α<360°)，b＝.
(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；
(2)当向量a＋b与a－b的模相等时，求α的大小．

α＝30°或α＝210°.