广东省肇庆市高三数学上学期期末考试-理.doc

肇庆市中小学教学质量评估2011—2012学年第一学期统一检测题高三数学（理科）
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写
在答题卡的密封线内.
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

参考公式：1、锥体的体积公式，其中S为锥体的底面积，为锥体的高。
2、列联表随机变量
与k对应值表：

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数满足，则复数的共轭复数( )
A． B． C. D．
2. 已知集合,，则
A. B. C. D.
3. 命题“”的否定是
A. B.
C. D.
4．若向量满足，与的夹角为，则
A. B. C. 4 D.12
5. 若实数满足则的最大值是
A. 0 B. C. 2 D. 3
6．函数的单调递减区间是
A. B. C., D.,
7．从点向圆C:引切线,则切线长的最小值为( )
A. B. C. D.5
8．对任意实数，定义运算，其中是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算．已知，，并且有一个非零常数，使得，都有，则的值是（ ）
A. B. C. D.

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.
（一）必做题（9～13题）
9．不等式的解集是
10．图1是一个质点做直线运动的图象，
则质点在前内的位移为 m
11．图2-1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到12次的考试成绩
依次记为．图2-2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算
法流程图．那么算法流程图输出的结果是 ．

12. 在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则△ABC的面积等于
13．若函数满足且时，；函数 ，则函数与的图象在区间内的交点个数共有 个.
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14.（几何证明选讲选做题）如图3,PAB、PCD为⊙O的两条割线,若 PA=5,AB=7,CD=11,，则BD等于
15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，
点 到直线的距离等于

三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.（本小题满分12分）
设函数（）的图象过点．
（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）已知，，求的值.

17.（本小题满分12分）
现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对楼市“楼市限购令”赞成人数如下表．

月收入（单位百元）
[15,25
[25，35
[35，45
[45，55
[55，65
[65,75
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
8
12
5
2
1

（Ⅰ）由以上统计数据填下面2乘2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点对“楼市限购令” 的态度有差异；

月收入不低于55百元的人数
月收入低于55百元的人数
合计
赞成

不赞成

合计

（Ⅱ)若对在[15，25） ，[25，35）的被调查中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“楼市限购令”人数为 ，求随机变量的分布列及数学期望。

18. （本题满分14分）
如图4，已知平面是圆柱的轴截面（经过圆柱的轴的截面），BC是圆柱底面的直径，O为底面圆心，E为母线的中点，已知
（I））求证：⊥平面；
（II）求二面角的余弦值．
（Ⅲ）求三棱锥的体积.

19.（本小题满分14分）
一动圆与圆外切，与圆内切.
(I)求动圆圆心M的轨迹方程．(II)试探究圆心M的轨迹上是否存在点，使直线与的斜率？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

20. （本小题满分14分）
设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合：①， ②.其中，是与无关的常数.
（Ⅰ）若{}是等差数列，是其前项的和，，，证明：;
（Ⅱ）设数列{}的通项为，且，求的取值范围；
（Ⅲ）设数列{}的各项均为正整数，且.证明.

21．（本小题满分14分）
已知函数，（）.
（Ⅰ）已知函数的零点至少有一个在原点右侧，求实数的范围.
（Ⅱ）记函数的图象为曲线.设点,是曲线上的不同两点.如果在曲线上存在点，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”.
试问：函数（且）是否存在“中值相依切线”，请说明理由.

2011—2012学年第一学期统一检测题
高三数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题：
1. B解析：
2. D解析：，所以
3. C解：的否定是，的否定是故选择C。
4. B解析：，

5. D解析：平面区域如图，三个“角点”坐标分别为，
所以
6. C解析：函数的定义域为的实数，令解得，
当或时，所以函数的单调递减区间是,
7. A解析：利用切线长与圆半径的关系加以求解.设切点为M，则CM⊥MP，
于是切线MP的长MP=，显然，当时，MP有最小值.
8. D解：依题意得恒成立，因为，所以，又，所以
故

二、填空题：
9. 填： 解：由得
10. 填：9. 解1：由题图易知
∴s===6+3=9.
解2：质点在前6s内的位移为三角形的面积
11. 填：9. 解析：算法流程图输出的结果是“分数大于或等于90分的次数”，从茎叶图中可知共有9次分数大于或等于90分.
12. 填：. 解：由余弦定理cosA= = =，∴sinA=.
∴
13. 填：8.解： 函数以2为周期，是偶函数，画出图像可知有8个交点.

14. 填：6.
解析:由割线定理得PA·PB=PC·PD,∴5×(5+7)=PC(PC+11).∴PC=4或PC=－15(舍去).
又∵PA·PB=PC·PD,,∠P=∠P,∴△PAC∽△PDB.∴.
故
15. 填： 解：点 的直角坐标为，直线的直角坐标方程为，所以
三、解答题
16. 解（Ⅰ）∵的图象过点，∴
∴ (3分)
故的解析式为 （5分）
(Ⅱ) ∵
即, (7分)
∵，∴ （9分）
∴（12分）

17. 解:（Ⅰ）2乘2列联表

月收入不低于55百元人数
月收入低于55百元人数
合计
赞成

32
不赞成

18
合计
10
40
50
.
所以没有99%的把握认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异. （6分）
（Ⅱ）所有可能取值有0,1,2,3，，

所以的分布列是

0
1
2
3

所以的期望值是。 （12分）
18. 解：依题意可知， 平面ABC，∠＝90°，
方法1：空间向量法 如图建立空间直角坐标系，因为＝4，
则
（I），
，∴，∴
， ∴，∴
∵ 平面 ∴ ⊥平面 （5分）
（II） 平面AEO的法向量为，设平面 B1AE的法向量为
， 即
令x＝2，则
∴
∴二面角B1—AE—F的余弦值为 （10分）
（Ⅲ）因为，∴， ∴
∵，
∴ (14 分)
方法2：
依题意可知， 平面ABC，∠＝90°，，∴
（I）∵，O为底面圆心，∴BC⊥AO，又∵B1B⊥平面ABC，可证B1O⊥AO，
因为＝，则,∴
∴B1O⊥EO，∴⊥平面； （5分）
（II）过O做OM⊥AE于点M，连接B1M，
∵B1O⊥平面AEO，可证B1M⊥AE，
∴∠B1MO为二面角B1—AE—O的平面角，
C1C⊥平面ABC，AO⊥OC，可证EO⊥AO，
在Rt△AEO中，可求，
在Rt△B1OM中，∠B1OM＝90°，∴
∴二面角B1—AE—O的余弦值为 （10分）
（Ⅲ）因为AB=AC，O为BC的中点，所以
又平面平面，且平面平面，
所以平面, 故是三棱锥的高
∴ (14分)
19. 解：（1）设动圆圆心为，半径为．
由题意，得，， (1分)
, 由椭圆定义知在以为焦点的椭圆上， (3分)
且，． (5分)
动圆圆心M的轨迹方程为． (6分)
(II) 由（I）知动圆圆心M的轨迹是椭圆，它的两个焦点坐标分别为和 (7分)
设是椭圆上的点，由得 (9分)
即，这是实轴在轴，顶点是椭圆的两个焦点的双曲线，它与椭圆的交点即为点P。由于双曲线的两个顶点在椭圆内，根据椭圆和双曲线的对称性可知，它们必有四个交点.
即圆心M的轨迹上存在四个点，使直线与的斜率. (12分)
20. 解：（Ⅰ）设等差数列{}的公差是d，则，解得，
所以 (2分)
由=－1＜0
得适合条件①；
又所以当n=4或5时，取得最大值20，即≤20，适合条件②
综上， （4分）
（Ⅱ）因为,所以当n≥3时，，此时数列{bn}单调递减；当n=1，2时，，即b1＜b2＜b3，因此数列{bn}中的最大项是b3=7
所以M≥7 （8分）
（Ⅲ） 假设存在正整数k，使得成立
由数列{}的各项均为正整数，可得，即
因为，所以
由
因为
……………………依次类推，可得
设
这显然与数列{}的各项均为正整数矛盾！
所以假设不成立，即对于任意n∈N*,都有成立. ( 14分)
21. 解：(Ⅰ)(1)当时，，直线与轴的交点为，即函数的零点为0，不在原点右侧，不满足条件. (1分)
(2)当时，，抛物线的顶点为，即函数的零点为0，不在原点右侧，不满足条件. (2分)
（3）当时，，抛物线开口向上且过原点，对称轴，所以抛物线与轴的另一交点在对称轴的左侧，故函数的零点不在原点右侧，不满足条件. (3分)
（4）当时，，抛物线开口向上且过原点，对称轴，所以抛物线与轴的另一交点在对称轴的右侧，故函数有一个零点在原点右侧，满足条件. (4分)
（5）当时，，抛物线开口向下且过原点，对称轴，所以抛物线与轴的另一交点在对称轴的右侧，故函数有一个零点在原点右侧，满足条件. (5分)
综上可得，实数的取值范围是. (6分)
(Ⅱ)假设函数存在“中值相依切线”.
设,是曲线上的不同两点，且，
则，.

（8分）
曲线在点处的切线斜率
， （9分）
依题意得：.
化简可得： ， 即=. （11分）
设 ()，上式化为：, 即. （12分）
令,.
因为,显然，所以在上递增,显然有恒成立.
所以在内不存在,使得成立.
综上所述，假设不成立.所以，函数不存在“中值相依切线”. （14分）
10
用心 爱心 专心