【解析版】河南省许昌市长葛三高高三数学上学期期中试题-理-新人教A版.doc

河南省许昌市长葛三高2013届高三（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）．
1．（5分）（2012•黑龙江）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（　　）

A．
A⊊B
B．
B⊊A
C．
A=B
D．
A∩B=∅

考点：
集合的包含关系判断及应用．
专题：
计算题．
分析：
先求出集合A，然后根据集合之间的关系可判断
解答：
解：由题意可得，A={x|﹣1＜x＜2}
∵B={x|﹣1＜x＜1}
在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如x=
∴B⊊A　　故选B
点评：
本题主要考查了集合之间关系的判断，属于基础试题

2．（5分）（2005•安徽）函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9，已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a=（　　）

A．
2
B．
3
C．
4
D．
5

考点：
利用导数研究函数的极值．
专题：
计算题．
分析：
因为f（x）在x=﹣3是取极值，则求出f′（x）得到f′（﹣3）=0解出求出a即可．
解答：
解：∵f′（x）=3x2+2ax+3，又f（x）在x=﹣3时取得极值
∴f′（﹣3）=30﹣6a=0
则a=5．
故选D
点评：
考查学生利用导数研究函数极值的能力．

3．（5分）（2009•辽宁）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加，则满足f（2x﹣1）＜的x取值范围是（　　）

A．
（，）
B．
[，）
C．
（，）
D．
[，）

考点：
奇偶性与单调性的综合．
专题：
压轴题．
分析：
本题考查的是函数的单调性和奇偶性的综合知识，并考查了如何解不等式．
解答：
解析：∵f（x）是偶函数，故f（x）=f（|x|）
∴f（2x﹣1）=f（|2x﹣1|），即f（|2x﹣1|）＜f（||）
又∵f（x）在区间[0，+∞）单调增加
得|2x﹣1|＜解得＜x＜．
故选A．
点评：
本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，在这里要注意本题与下面这道题的区别：已知函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加，则满足f（2x﹣1）＜的x取值范围是（　　）

4．（5分）（2012•陕西）设函数f（x）=xex，则（　　）

A．
x=1为f（x）的极大值点
B．
x=1为f（x）的极小值点

C．
x=﹣1为f（x）的极大值点
D．
x=﹣1为f（x）的极小值点

考点：
利用导数研究函数的极值．
专题：
计算题．
分析：
由题意，可先求出f′（x）=（x+1）ex，利用导数研究出函数的单调性，即可得出x=﹣1为f（x）的极小值点
解答：
解：由于f（x）=xex，可得f′（x）=（x+1）ex，
令f′（x）=（x+1）ex=0可得x=﹣1
令f′（x）=（x+1）ex＞0可得x＞﹣1，即函数在（﹣1，+∞）上是增函数
令f′（x）=（x+1）ex＜0可得x＜﹣1，即函数在（﹣∞，﹣1）上是减函数
所以x=﹣1为f（x）的极小值点
故选D
点评：
本题考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步骤，本题是基础题，

5．（5分）（2006•天津）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（　　）

A．
1
B．
2
C．
3
D．
4

考点：
利用导数研究函数的单调性．
专题：
压轴题．
分析：
根据当f'（x）＞0时函数f（x）单调递增，f'（x）＜0时f（x）单调递减，可从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，然后得到答案．
解答：
解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，
根据极值点的定义可知在（a，b）内只有一个极小值点．
故选A．
点评：
本题主要考查函数的极值点和导数正负的关系．属基础题．

6．（5分）（2005•浙江）设f（x）=，则f[f（）]=（　　）

A．

B．

C．
﹣
D．

考点：
分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．
分析：
判断自变量的绝对值与1的大小，确定应代入的解析式．
先求f（），再求f[f（）]，由内而外．
解答：
解：f（）=，
，即f[f（）]=
故选B
点评：
本题考查分段函数的求值问题，属基本题．

7．（5分）已知命题p：∀x∈R，9x2﹣6x+1＞0；命题q：∃x∈R，sinx+cosx=，则（　　）

A．
￢p是假命题
B．
p∨q是真命题
C．
￢q是真命题
D．
￢p∧￢q是真命题

考点：
复合命题的真假．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
根据二次函数的图象和性质，可以判断命题p的真假，根据三角函数的图象和性质，可以判断命题q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得正确答案．
解答：
解：9x2﹣6x+1=（3x﹣1）2≥0
当x=时，取等号
故命题p：∀x∈R，9x2﹣6x+1＞0为假命题，
故￢p是真命题，故A错误；
当x=时，sinx+cosx=，
故命题q：∃x∈R，sinx+cosx=是真命题
故p∨q是真命题，故B正确；
￢q是假命题，故C错误；
￢p∧￢q是假命题，故D错误；
故选B
点评：
本题考查的知识点是复合命题的真假，其中根据二次函数的图象和性质，三角函数的图象和性质，判断命题p和命题q的真假，是解答的关键．

8．（5分）（2012•黑龙江）复数z=的共轭复数是（　　）

A．
2+i
B．
2﹣i
C．
﹣1+i
D．
﹣1﹣i

考点：
复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．
专题：
计算题．
分析：
利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，把复数化为a+bi的形式，然后求法共轭复数即可．
解答：
解：复数z====﹣1+i．
所以复数的共轭复数为：﹣1﹣i．
故选D．
点评：
本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．

9．（5分）（2012•湖北）已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与X轴所围图形的面积为 （　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
定积分在求面积中的应用．
专题：
计算题．
分析：
先根据函数的图象求出函数的解析式，然后利用定积分表示所求面积，最后根据定积分运算法则求出所求．
解答：
解：根据函数的图象可知二次函数y=f（x）图象过点（﹣1，0），（1，0），（0，1）
从而可知二次函数y=f（x）=﹣x2+1
∴它与X轴所围图形的面积为=（）=（﹣+1）﹣（﹣1）=
故选B．
点评：
本题主要考查了定积分在求面积中的应用，解题的关键是求出被积函数，属于基础题．

10．（5分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）有下列结论中一定成立的是（　　）

A．
有极大值f（2）和极小值f（1）
B．
有极大值f（﹣2）和极小值f（1）

C．
有极大值f（2）和极小值f（﹣2）
D．
f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（2）

考点：
函数在某点取得极值的条件．
专题：
导数的概念及应用．
分析：
结合图象可得f′（﹣2）=0，f′（2）=0，根据图象判断﹣2，2左右两侧导数的符号即可得到正确答案．
解答：
解：由y=（1﹣x）f′（x）的图象知：f′（﹣2）=0，f′（2）=0，
且当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜1时，f′（x）＜0，
故f（x）在x=﹣2处取得极大值f（﹣2）；
当1＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，
故f（x）在x=2处取得极小值f（2），
故选D．
点评：
本题考查函数在某点取得极值的条件，考查数形结合思想，考查学生识图用图能力．

11．（5分）（2012•福建）已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：
①f（0）f（1）＞0；
②f（0）f（1）＜0；
③f（0）f（3）＞0；
④f（0）f（3）＜0．
其中正确结论的序号是（　　）

A．
①③
B．
①④
C．
②③
D．
②④

考点：
利用导数研究函数的单调性．
专题：
综合题；压轴题．
分析：
根据f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，确定函数的极值点及a、b、c的大小关系，由此可得结论．
解答：
解：求导函数可得f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）
∵a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．
∴a＜1＜b＜3＜c
设f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）=x3﹣（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）x﹣abc
∵f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc
∴a+b+c=6，ab+ac+bc=9
∴b+c=6﹣a
∴bc=9﹣a（6﹣a）＜
∴a2﹣4a＜0
∴0＜a＜4
∴0＜a＜1＜b＜3＜c
∴f（0）＜0，f（1）＞0，f（3）＜0
∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0
故选C．
点评：
本题考查函数的零点、极值点，考查解不等式，综合性强，确定a、b、c的大小关系是关键．

12．（5分）（2012•辽宁）若x∈[0，+∞），则下列不等式恒成立的是（　　）

A．
ex≤1+x+x2
B．

C．

D．

考点：
导数在最大值、最小值问题中的应用．
专题：
综合题；压轴题．
分析：
对于A，取x=3，e3＞1+3+32，；
对于B，令x=1，，计算可得结论；
对于C，构造函数，h′（x）=﹣sinx+x，h″（x）=cosx+1≥0，从而可得函数在[0，+∞）上单调增，故成立；
对于D，取x=3，．
解答：
解：对于A，取x=3，e3＞1+3+32，所以不等式不恒成立；
对于B，x=1时，左边=，右边=0.75，不等式成立；x=时，左边=，右边=，左边大于右边，所以x∈[0，+∞），不等式不恒成立；
对于C，构造函数，h′（x）=﹣sinx+x，h″（x）=cosx+1≥0，∴h′（x）在[0，+∞）上单调增
∴h′（x）≥h′（0）=0，∴函数在[0，+∞）上单调增，∴h（x）≥0，∴；
对于D，取x=3，，所以不等式不恒成立；
故选C．
点评：
本题考查大小比较，考查构造函数，考查导数知识的运用，确定函数的单调性是解题的关键．

二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）．
13．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是　π　．

考点：
由三视图求面积、体积．
专题：
空间位置关系与距离．
分析：
由三视图可知：原几何体是由上下两部分组成，其中下面是一个半径为1的半球体；上面是一个底与半球的大圆重合、高长为2的圆锥．据此可计算出答案．
解答：
解：由三视图可知：原几何体是由上下两部分组成：
下面是一个半径为1的半球体；上面是一个底面与半球的大圆重合、高长为2的圆锥．
则该几何体的体积是V=×π×13+×π×12×2=π．
故答案为：π．
点评：
本题主要考查了由三视图求面积、体积，由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键．

14．（4分）（2012•江西）计算定积分=　　．

考点：
定积分．
专题：
计算题．
分析：
求出被积函数的原函数，再计算定积分的值．
解答：
解：由题意，定积分===
故答案为：
点评：
本题考查定积分的计算，确定被积函数的原函数是关键．

15．（4分）已知函数f（x）在x=1处可导，且，则f′（1）=　　．

考点：
极限及其运算．
专题：
计算题．
分析：
变形使之符合导数的定义=f′（1），求出即可．
解答：
解：∵函数f（x）在x=1处可导，且，
则，
∴，
∴．
故答案为．
点评：
充分理解导数的定义式是解题的关键．

16．（4分）（2011•浙江）若实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最大值是　　．

考点：
基本不等式．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
利用基本不等式，根据xy≤把题设等式整理成关于x+y的不等式，求得其范围，则x+y的最大值可得．
解答：
解：∵x2+y2+xy=1
∴（x+y）2=1+xy
∵xy≤
∴（x+y）2﹣1≤，整理求得﹣≤x+y≤
∴x+y的最大值是
故答案为：
点评：
本题主要考查了基本不等式．应熟练掌握如均值不等式，柯西不等式等性质．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6个大题，共74分）．
17．（10分）命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立，命题q：函数f（x）=（3﹣2a）x是增函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．

考点：
命题的真假判断与应用；复合命题的真假；二次函数的性质；指数函数的单调性与特殊点．
专题：
计算题；函数的性质及应用．
分析：
由p∨q为真，p∧q为假，知p为真，q为假，或p为假，q为真．由此利用二元一次不等式和指数函数的性质，能求出实数a的取值范围．
解答：
解：∵p∨q为真，p∧q为假，∴p为真，q为假，或p为假，q为真．
①当p为真，q为假时，
，解得1＜a＜2．
②当p为假，q为真时，
，解得a≤﹣2
综上，实数a的取值范围是{a|a≤﹣2或1＜a＜2}．
点评：
本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．

18．（12分）（2012•安徽）设函数f（x）=aex++b（a＞0）．
（Ⅰ）求f（x）在[0，+∞）内的最小值；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=，求a，b的值．

考点：
利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：
综合题．
分析：
（Ⅰ）设t=ex（t≥1），则，求出导函数，再进行分类讨论：①当a≥1时，y′＞0，在t≥1上是增函数；②当0＜a＜1时，利用基本不等式，当且仅当at=1（x=﹣lna）时，f（x）取得最小值；
（Ⅱ）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=，建立方程组，即可求得a，b的值．
解答：
解：（Ⅰ）设t=ex（t≥1），则
∴
①当a≥1时，y′＞0，∴在t≥1上是增函数，
∴当t=1（x=0）时，f（x）的最小值为
②当0＜a＜1时，，当且仅当at=1（x=﹣lna）时，f（x）的最小值为b+2；
（Ⅱ）求导函数，可得）
∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=，
∴，即，解得．
点评：
本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，属于中档题．

19．（12分）已知抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a，b值，并求S的最大值．

考点：
直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：
综合题．
分析：
依题设可知抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，，所以=．由直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切，知ax2+（b+1）x﹣4=0中△=（b+1）2+16a=0，由此能求出S达到最大值的a，b值及S的最大值．
解答：
解：依题设可知抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，，
所以=（）
=+
=（1）…（4分）
又直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切，
即它们有唯一的公共点
由方程组，
得ax2+（b+1）x﹣4=0，其判别式△必须为0，
即△=（b+1）2+16a=0，
于是，…（8分）
代入（1）式得：，
．
令S′（b）=0，在b＞0时，得b=3；
当0＜b＜3时，S′（b）＞0；
当b＞3时，S′（b）＜0．
故在b=3时，S（b）取得极大值，也是最大值，
即a=﹣1，b=3时，S取得最大值，且．…（12分）
点评：
本题考查抛物线和直线的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意定积分的合理运用．

20．（12分）（2006•江西）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值
（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间．
（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．

考点：
利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．
专题：
计算题．
分析：
（1）求出f′（x），因为函数在x=﹣与x=1时都取得极值，所以得到f′（﹣）=0且f′（1）=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；
（2）根据（1）函数的单调性，由于x∈[﹣1，2]恒成立求出函数的最大值值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c2列出不等式，求出c的范围即可．
解答：
解；（1）f（x）=x3+ax2+bx+c，f'（x）=3x2+2ax+b
由解得，
f'（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），函数f（x）的单调区间如下表：
x
（﹣∞，﹣）
﹣
（﹣，1）
1
（1，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
↑
极大值
↓
极小值
↑
所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，﹣）和（1，+∞），递减区间是（﹣，1）．
（2），
当x=﹣时，f（x）=+c为极大值，而f（2）=2+c，所以f（2）=2+c为最大值．
要使f（x）＜c2对x∈[﹣1，2]恒成立，须且只需c2＞f（2）=2+c．
解得c＜﹣1或c＞2．
点评：
考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及理解函数恒成立时所取到的条件．

21．（14分）已知函数f（x）=2aln（1+x）﹣x（a＞0）．
（I）求f（x）的单调区间和极值；
（II）求证：（n∈N*）．

考点：
利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
专题：
计算题；综合题；压轴题．
分析：
（I）先求函数的定义域，然后求出函数的导函数，再讨论导数的正负，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和
fˊ（x）＜0，即可求出函数的单调区间，从而得出函数的极值；
（II）利用对数的运算性质将欲证不等式进行变形，即证
对函数f（x）令，由（I）可知f（x）在（0，+∞）上递减，故f（x）＜f（0）=0，即可得ln（1+x）＜x，最后令，取n=1、2、3…、n，将所得的不等式累加即可得出要证的不等式成立．
解答：
解：（I）定义域为（﹣1，+∞）
令f'（x）＞0⇒﹣1＜x＜2a﹣1，令f'（x）＜0⇒x＞2a﹣1
故f（x）的单调递增区间为（﹣1，2a﹣1）
f（x）的单调递减区间为（2a﹣1，+∞）
f（x）的极大值为2aln2a﹣2a+1
（II）证：要证
即证
即证
即证
令，由（I）可知f（x）在（0，+∞）上递减
故f（x）＜f（0）=0
即ln（1+x）＜x
令
故
累加得，

故，得证
点评：
本题主要考查了导数与不等式两方面的知识，考查运算求解能力、推理论证能力、化归与转化思想，属于中档题．
（I）考查了利用导数研究函数的极值，以及研究函数单调区间等有关基础知识；
（II）考查了运用不等式的性质进行等价变形，将（I）中的函数结论巧妙运用到不等式当中，从而达到证明的目的．

22．（14分）（2012•黑龙江）已知函数f（x）满足；
（1）求f（x）的解析式及单调区间；
（2）若，求（a+1）b的最大值．

考点：
导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．
专题：
综合题；压轴题；探究型；转化思想．
分析：
（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f′（1）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；
（2）由题意，借助导数求出新函数的最小值，令其大于0即可得到参数a，b 所满足的关系式，再研究（a+1）b的最大值
解答：
解：（1）
令x=1得：f（0）=1
∴令x=0，得f（0）=f'（1）e﹣1=1解得f'（1）=e
故函数的解析式为
令g（x）=f'（x）=ex﹣1+x
∴g'（x）=ex+1＞0，由此知y=g（x）在x∈R上单调递增
当x＞0时，f'（x）＞f'（0）=0；当x＜0时，有
f'（x）＜f'（0）=0得：
函数的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）
（2）得h′（x）=ex﹣（a+1）
①当a+1≤0时，h′（x）＞0⇒y=h（x）在x∈R上单调递增x→﹣∞时，h（x）→﹣∞与h（x）≥0矛盾
②当a+1＞0时，h′（x）＞0⇔x＞ln（a+1），h'（x）＜0⇔x＜ln（a+1）
得：当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b
∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）
令F（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则F'（x）=x（1﹣2lnx）
∴
当时，
即当时，（a+1）b的最大值为
点评：
本题考查导数在最值问题中的应用及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一题中要赋值求出f′（1），易因为没有将f′（1）看作常数而出错，第二题中将不等式恒成立研究参数关系的问题转化为最小值问题，本题考查了转化的思想，考查判断推理能力，是高考中的热点题型，难度较大，计算量也大，易马虎出错

四、附加题（实验班必做）（12分）
23．（2006•江苏）请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如图所示）．试问当帐篷的顶点O到底面中心o1的距离为多少时，帐篷的体积最大？

考点：
组合几何体的面积、体积问题；利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：
计算题；转化思想．
分析：
设出顶点O到底面中心o1的距离，再求底面边长和底面面积，求出体积表达式，利用导数求出高为何时体积取得最大值．
解答：
解：设OO1为xm，
则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）
于是底面正六边形的面积为（单位：m2）
帐篷的体积为（单位：m3）
求导数，得
令V'（x）=0解得x=﹣2（不合题意，舍去），x=2．
当1＜x＜2时，V'（x）＞0，V（x）为增函数；
当2＜x＜4时，V'（x）＜0，V（x）为减函数．
所以当x=2时，V（x）最大．
答当OO1为2m时，帐篷的体积最大．

点评：
本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力．

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