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2012学年第一学期期中考试高三（理）数学试卷
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟.
第 Ⅰ 卷 （选择题 共50分）
注意事项：用钢笔或圆珠笔将题目做在答题卷上，做在试题卷上无效.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
(A) (B) (C) (D)
2.函数f(x)=的定义域是
(A) [-1,4] (B) [1,4] （C） (1, 4] （D）（-1, 4]
3. 若为实数，则“”是“且”的
(A)必要而不充分条件 (B)充分而不必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
4. 函数的图象是
x
y
O
1
(D)
x
y
O
1
(C)
x
y
O
1
(B)
x
y
O
1
(A)
5．已知，则
(A) (B) (C) (D)
6. 在△ABC中，点M满足，若 ，则实数的值是
(A) (B) (C) (D)
7．等差数列的前n项和为，且，则的最小值是
(A) 7 (B) (C) 8 (D)
8. 若实数满足不等式组，
（A）0 （B） （C）1 （D）2
9．函数的定义域为R，且定义如下：（其中M为非空数集且），
在实数集R上有两个非空真子集A、B满足，则函数的值域为
(A) (B) {} (C) {1} (D) {,1}
10．将函数图像绕原点逆时针方向旋转角，得到曲线.若对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图像，则的最大值是
(A) (B) (C) (D)
第 Ⅱ 卷 （非选择题 共100分）
注意事项：将卷Ⅱ的题目做在答题卷上，做在试题卷上无效.
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11.公差为1的等差数列满足，则的值等于 ▲ ．
12.已知a与b为两个不共线的单位向量，若向量a+b与向量ka-b垂直，则实数k= ▲ .
13．在直角三角形中， ，则的值等于 ▲ ．
第14题图
14．函数（，，是常数，，）的部分图象如右图所示，则的值是 ▲ .
15.圆关于直线 对称，则的取值范围
是_ __ ▲ ____ .
16.等比数列中，，函数，则曲线
在点处的切线方程为 ___ ▲ _____ .
17.函数y＝的图象与函数 ()的图象所有交点的横坐标之和等
于 ▲ .
三、解答题：本大题共5小题．共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（本题满分14分）在中，角所对应的边分别为且满足．
(Ⅰ)求角的值；
(Ⅱ)若，求的值．
19.（本题满分14分） 函数和的图象如图所示，其 中有且只有、、时，两函数数值相等，且，o为坐标原点．
(Ⅰ)请指出图中曲线、分别对应的函数；
(Ⅱ)现给下列三个结论： ①当时，< ；
第19题图
②；③， 请你选择两个结论判定其是否 成立，并说明理由．
20. (本题满分14分)已知数列，满足：，, (N)．
(Ⅰ)证明数列为等比数列．并求数列，的通项公式；
(Ⅱ)记数列，的前项和分别为，若对任意的N*都有，求实数的最小值．
21．(本题满分15分) 已知二次函数，，的最小值为．
(Ⅰ)求函数的解析式；
(Ⅱ)设，若在上是减函数，求实数的取值范围；
22．(本题满分15分)已知定义在R上的偶函数的最小值为1，当时，．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求最大的整数，使得存在，只要，就有．
(注:e为自然对数的底数)
高三数学（理科）参考答案
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
C
A
B
D
D
D
B
C
B
二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.请将答案填在答题卡对应的位置上.
11．18 ；12．1；13．； 14．；15． ； 16． ；17．8
三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18. 在中，角所对应的边分别为且满足．
(Ⅰ)求角的值；
(Ⅱ)若，求的值．
解：(Ⅰ)由正弦定理及已知条件得…………………2分
,………………………………………………4分
又因为,所以，即，……………………6分
又,所以;…………………………………………………7分
(Ⅱ)因为，所以,………………………9分
又,所以，由(Ⅰ)知，………………………11分
所以.…………14分
19．函数和的图象如图所示，其 中有且只有、、时，两函数数值相等，且，o为坐标原点．
(Ⅰ)请指出图中曲线、分别对应的函数；
(Ⅱ)现给下列三个结论： ①当时，< ；
②；③， 请你选择两个结论判定其是否 成立，并说明理由．
解：（Ⅰ）为，为； ………………………………………5分
（Ⅱ）结论①成立，理由如下：
函数在上是增函数，时，. 又函数在上是减函数， 时，而，所以当时，；
结论②成立，理由如下： 构造函数， 则
在区间内有零点.
同理在区间（5，6）内有零点，由题意 ；.
结论③成立，理由同② …………………………………14分
20．已知数列，满足：，, (N)．
(Ⅰ)证明数列为等比数列．并求数列，的通项公式；
(Ⅱ)记数列，的前项和分别为，若对任意的N*都有，求实数的最小值．
解：（Ⅰ）由已知得 ，……………………………2分
所以，
因为，所以为等比数列. ………………………………………4分
所以， ……………………………………………6分
进而. ……………………………………………7分
（Ⅱ）
……………………………10分
则对任意的N*成立． ……………………12分
所以数列是递减数列，所以
所以的最小值为． ……………………………………………………14分
21. 已知二次函数，，的最小值为．
(Ⅰ)求函数的解析式；
(Ⅱ)设，若在上是减函数，求实数的取值范围；
解: （Ⅰ） 由题意设，…………………………………………3分
∵ 的最小值为，∴ ，且，∴ ，
∴ . ………………………………………………………6分
（Ⅱ）∵ ， ………………………………8分
① 当时，在[-1, 1]上是减函数，
∴ 符合题意. ……………………………………………………10分
② 当时，对称轴方程为：，
ⅰ）当，即 时，抛物线开口向上，
由， 得 ， ∴ ；……12分
ⅱ）当， 即 时，抛物线开口向下，
由，得 ， ∴. ……14分
综上知，实数的取值范围为．………………………………15分
22. 已知定义在R上的偶函数的最小值为1，当时，．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求最大的整数，使得存在，只要，就有．
(注:e为自然对数的底数)
解：（Ⅰ）因为为单调函数，故，得, ………………2分
当时，，则
综上： ; …………………………………5分
（Ⅱ）因为任意，都有
故且
当时，，从而，
当时，，从而，
综上
，故
故得：
即存在，满足
，即
令，，则
当时，，单调递减
当时，，单调递增
又，，，
由此可见，方程在区间上有唯一解，
且当时，当时
，故，此时. ………………………………12分
下面证明：对任意恒成立
①当时，即，等价于
，，
②当时，即，等价于
令，则
在上递减，在上递增
而
综上所述，对任意恒成立. …………………15分
9
用心 爱心 专心
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