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2012学年第一学期期中考试高三（文科）数学试卷
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟.
第 Ⅰ 卷 （选择题 共50分）
注意事项：用钢笔或圆珠笔将题目做在答题卷上，做在试题卷上无效.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，3，4}，则等于
(A){2,3} (B){1,4,5} (C){4，5} (D) {1,5}
2．
(A) (B) (C) (D)
3．函数f(x)=的定义域是
（A） [-1,4] （B） [1,4] （C） (1, 4] （D）（-1, 4]
4． 若为实数，则“”是“且”的
(A)必要而不充分条件 (B)充分而不必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
5．
(A) (B) (C) 2 (D)
6．函数的图像是
(A)
(B)
(C)
(D)
7．在△ABC中，点M满足，若 ，则实数的值是
(A) (B) (C) (D)
8．等差数列的前n项和为，且，则的最小值是
(A)7 (B) (C) 8 (D)
9． 若实数满足不等式组，则的最小值是
（A）0 （B）/ （C）1 （D）2
10．函数的定义域为R，且定义如下： （其中M为非空数集且），在实数集R上有两个非空真子集A、B满足，则函数的值域为
(A) (B) {} (C) {1} (D) {,1}
第 Ⅱ 卷 （非选择题 共100分）
注意事项：将卷Ⅱ的题目做在答题卷上，做在试题卷上无效.
11．公差为1的等差数列满足，则的值等于 ▲ ．
12．已知a与b为两个不共线的单位向量，若向量a+b与向量ka-b垂直，则实数k= ▲ ．
（第15题图）
13．若sin α＋cos α＝，则sin 2α＝ ▲ ．
14．在直角三角形中， ，则的值等于 ▲ ．
15．函数（，，是常数，，）的部分图象如图所示，则的值是 ▲ ．
16． 类比等差数列求和公式的推导方法，解决下列问题：设，则__ ▲___．
17．等比数列中，，函数，则曲线
在点处的切线方程为 __▲__ ．
三、解答题：本大题共5小题．共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（本题满分14分）在中，角所对应的边分别为且满足．
(Ⅰ)求角的值；
(Ⅱ)若，求的值．
19．（本题满分14分） 函数和的图象如图所示， 其中有且只有、、时，两函数数值相等，且，o为坐标原点．
(Ⅰ)请指出图中曲线、分别对应的函数；
(Ⅱ)现给下列二个结论： ①当时，< ；
第19题图
②； 请你判定是否成立，并说明理由．
20．(本题满分14分)已知二次函数，
，的最小值为．
(Ⅰ)求函数的解析式；
(Ⅱ)设，若在上是减函数，求实数的取值范围.
21．(本题满分15分)已知数列，满足：，，
()．
(Ⅰ)证明数列为等比数列．并求数列，的通项公式；
(Ⅱ)记数列，的前项和分别为，若对任意的N*都有，
求实数的最小值．
22．（本题满分15分）设、是函数的两个极值点.
(Ⅰ)若，求函数的解析式；
(Ⅱ)若求实数的最大值；
(Ⅲ)函数若求函数在内的最小值．（用表示）
高三数学（文科）参考答案
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
D
C
A
C
B
D
D
B
C
二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．请将答案填在答题卡对应的位置上．
11．18；12．1；13．；14．；15．；16．；17．
三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．在中，角所对应的边分别为且满足．
(Ⅰ)求角的值；
(Ⅱ)若，求的值．
解：(Ⅰ)由正弦定理及已知条件得…………………2分
,………………………………………………………4分
又因为,所以，即，……………………6分
又,所以;…………………………………………………………7分
(Ⅱ)因为，所以,………………………9分
又,所以，由(Ⅰ)知，………………11分
所以．…………14分
19．函数和的图象如图所示， 其中有且只有、、时，两函数数值相等，且，o为坐标原点．
(Ⅰ)请指出图中曲线、分别对应的函数；
(Ⅱ)现给下列二个结论： ①当时，< ；
第19题图
②； 请你判定是否成立，并说明理由．
解：（Ⅰ）为，………3分为； ………5分
（Ⅱ）结论①成立，理由如下： 函数在上是增函数，时，．…7分 又函数在上是减函数， 时，而，所以当时，；……………10分
结论②成立，理由如下： 构造函数， 则
在区间内有零点．…14分
20．已知二次函数，
，的最小值为．
(Ⅰ)求函数的解析式；
(Ⅱ)设，若在上是减函数，求实数的取值范围.
解: （Ⅰ） 由题意设，…………………………………………2分
∵ 的最小值为，∴ ，且，∴ ，…………4分
∴ ． ………………………………………………………7分
（Ⅱ）∵ ， ………………………………8分
① 当时，在[-1, 1]上是减函数，
∴ 符合题意． ……………………………………………………10分
② 当时，对称轴方程为：，
ⅰ）当，即 时，抛物线开口向上，
由， 得 ， ∴ ；……12分
ⅱ）当， 即 时，抛物线开口向下，
由，得 ， ∴． ……13分
综上知，实数的取值范围为．………………………14分
21．已知数列，满足：，；
()．
(Ⅰ)证明数列为等比数列．并求数列，的通项公式；
(Ⅱ)记数列，的前项和分别为，若对任意的N*都有，
求实数的最小值．
解：（Ⅰ）由已知得 ，……………………………………2分
所以，
因为，所以为等比数列． ………………………………………4分
所以， ……………………………………………6分
进而． ……………………………………………7分
（Ⅱ）
……………………………10分
则对任意的N*成立． ……………………12分
所以数列是递减数列，所以
所以的最小值为． ……………………………………………………15分
22．设、是函数的两个极值点.
(Ⅰ)若，求函数的解析式；
(Ⅱ)若求实数的最大值；
(Ⅲ)函数若求函数在内的最小值．（用表示）
解：-------------------------------------------------------1分
（1）是函数的两个极值点，
由可得------------------------------- ------------3分
-------------------------------------------------------------------4分
（2）∵、是函数的两个极值点，
，
∴是方程的两根，
∵， ∴对一切恒成立，
而，，，
………6分
由 ………………7分
………………………………………… 8分
令
在（0，4）内是增函数；
∴h (a)在（4，6）内是减函数．
∴时，有极大值为，上的最大值是，
∴的最大值是…………………………………………………………………10分
（3）∵x1、x2是方程的两根，
-------------------------------------------------11分
----------12分
对称轴为，，
．-- ------15分
9
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