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2010学年第一学期高三六八九三校期中考试理科数学试题卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1.设集合，，，则
A． B． C． D．
2.设分别是的三个内角所对的边，若
的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.下列命题中的真命题是
A．,使得 B.
C． D.
4.函数的零点所在的区间是
A． B． C． D．
5.已知，则等于
A． B． C． D．
6.已知等差数列的公差为，且，若，则为
A． B. C． D.
7.关于的不等式的解集为则关于的不等式的解集为A．（1，2） B．（， 2） C． D．
8.已知的图像与的图像的两相邻交点间的距离为，要得到 的图像，只须把的图像
A.向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
9.如图，函数的大致图象是
A． B． C． D．
10.设数列的前n项和为，令，称为数列的“理想数”，已知数列的“理想数”为2005，则的“理想数”为
A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分。请把答案填在答题卷上。）
11. 的值等于 .
12.设= 。
13.不等式的解集为______________。
14.已知幂函数在其定义域内是偶函数，且在区间上是增函数，则的值为 。
15.已知函数在区间上恰有一个极值点，则实数的取值范围是 。
16.已知中，角 所对的边分别是，若的面积为，则的度数为 。
17.已知函数
的图象如图所示，则方程
有且仅有 个根；方程
有且仅有 个根。
三、解答题（本大题共5小题，第18—20题每小题14分，第21—22题每小题15分，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
18.（本小题14分）记函数的定义域为，
（）的定义域为.
(1)求； (2)若，求实数的取值范围。
19.（本小题14分）已知函数
（1）当时，求函数的值域；
（2）若，且，求）的值．
20.（本小题14分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．
（1）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求；
（2）现有两个奖励函数模型：（1）y＝；（2）y＝4lgx－3．试分析这两个函数模型是否符合公司要求？
21.（本小题15分）数列的前项和记为，，．
（1）求；
（2）求数列的通项公式；
（3）等差数列的前项和有最大值，且，又
成等比数列，求．
22.（本小题15分）已知函数
上恒成立.
（1）求的值；
（2）若
（3）是否存在实数m，使函数上有最小值－5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由.
2010学年第一学期高三六八九三校期中考试（2010、11）
理科数学答案
19.解：由已知 ………3分
当时， ……………………… 5分
故函数，的值域是（3，6] ………………………7分
（II）由，得，即
因为），所以 ………………………10分
故 ……14分
20. 解：（1）设奖励函数模型为y＝f（x），则公司对函数模型的基本要求是：
当x∈[10，1000]时，①f（x）是增函数；②f（x）≤9恒成立；③恒成立
…………………………………………………… 5分
（2）①对于函数模型：
当x∈[10，1000]时，f（x）是增函数， …………………… 6分
则．所以f（x）≤9恒成立．……… 8分 因为函数在[10，1000]上是减函数，所以．
从而，即不恒成立．
故该函数模型不符合公司要求． …………………………………………………… 10分
②对于函数模型f（x）＝4lgx－3：
当x∈[10，1000]时，f（x）是增函数， …………………… 11分
则．所以f（x）≤9恒成立．………………… 13分
设g（x）＝4lgx－3－，则．
当x≥10时，，
所以g（x）在[10，1000]上是减函数，从而g（x）≤g（10）＝－1＜0．所以4lgx－3－＜0，即4lgx－3＜，所以恒成立．
故该函数模型符合公司要求． …………………………………………………… 15分
21.解：（1）
……………………………………………………4分
（2）an+1=2Sn+1；an=2Sn-1+1 两式相减得an+1=3an(n≥2),
又a2=2S1+1=2a1+1=3=3a1 ∴
{an}是以a1=1为首项，3为公比的等比数列，an=3n-1 …………………………8分
（3）等差数列中，设首项为，公差为d 由得：
成等比数列得：
解之得 (不合) ∴Tn=5n2+20n ……………………14分
22.解：（1） ………1分
……2分
恒成立
即恒成立 ……………3分
显然时，上式不能恒成立
是二次函数
由于对一切于是由二次函数的性质可得
……………………………………5分
（2）
即 ………………………………7分
当当 …9分
（3）
该函数图象开口向上，且对称轴为
假设存在实数m使函数区间 上有最小值－5.
①当上是递增的.
解得舍去.………………………………11分
②当上是递减的，
而在区间上是递增的，
即
解得…………………………13分
③当时，上递减的,
即
解得应舍去.
综上可得，当时，
函数…………15分
8
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