2014年全国初中数学联赛试题及答案(修正版).docx

第一试
一、选择题：
1 1 1 1
2 1 1
）
3
x y x
2
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
）
B．
C．
9
12
7
16
＝1，则 AE＝（
）
B．
C．
2
3
）
B．
C．
2
2
3
3
1
）
x
1
1
B．3－
D．1
5
5
2
1
A．4－2
B．2－
D． －1
3
3
3
3
2
1
1
a＋c－b
1
1．已知实数 a，b，c 满足 a＋b＋c＝1，
＋
＋
a＋b－c
b＋c－a
9
8
n
＜ 对唯一的整数 k 成立的最大正整数 n 为________．

4．已知正整数 a，b，c 满足: 1＜a＜b＜c，a＋b＋c＝111，b
2
＝ac，则 b＝________．
第一试 参考答案
一、选择题
1. 0
2. 144
3. 48°
4. 36
1 1
a,b
+
一、 设实数
满足
2
2
，
，求
的值．
2
2
二、如图，在□ABCD 中， D 为对角线 BD 上一点，且满足∠ECD＝∠ACB, AC 的延长线
A E
C
F
B
三、设 n 是整数，如果存在整数 x，y，z 满足 n＝x
3
＋y
3
3
－3xyz，则称 n 具有性质 P.

一、解 由已知条件可得a
b
2
2
2
+b = x
+ = 40
设 a
，则有 x
y
，
2
2
(x, y) = (2,6) (x, y) = (6,2)
或 .
若
，则
2
根，但这个方程的判别式
2
a,b
t - 6t + 2 = 0
是一元二次方程 的两根，
若
，则
2
D = (-6) -8 = 28 > 0
这个方程的判别式
2
，它有实数根.所以
(a + b) - 2ab 6 - 2´2
2
2
2
2
+ =
=
=
= 8.
a
2
b
2
a
2
b
2
a
2
b
2
二、证明 由 ABCD是平行四边形及已知条件知ÐECD = ÐACB = ÐDAF
.
又 A、B、F、 D 四点共圆，所以ÐBDC = ÐABD = ÐAFD
，所以△
=
.又ÐEDF = ÐBDF = ÐBAF
所以
EDF
∽△ BAF ，故
.
，所以 1 具有性质 P.
，所以 5 具有性质 P.
0
1 =1 + 0 + 0 - 3´1´0´0
，可得
三、解 取 x
3
3
3
= y = 2
=1，可得5 = 2 + 2 +1 - 3´ 2´ 2´1
取 x
， z
3
3
3
3
3
3
3
3
3
＝
3
1
2
2
2
= (x + y + z)[(x - y) + (y - z) + (z - x) ]
2
2
2 .
2

1
即 f
2
2
2
①
2
不妨设 x
，
- y =1,y - z = 0, x - z =1，即 x = z +1,y = z
，则有
f (x, y, z) = 3z +1；
；
如果 x
由此可知，形如
或
或
若2013具有性质P，则存在整数 x, y, z
使得
x y z
2013 = ( + + ) - 3( + + )( + + )
x y z xy yz zx .
3 |x (+ y+ z， 于 是 有
，但 2013＝9×223＋6，矛盾，所
3
注 意 到
， 从 而 可 得
x
3
9 | (x + y + z) - 3(x + y + z)(xy + yz + zx) ，即9 | 2013
3
第二试 （B）试题及答案
= AC D
OBC 的外接圆上一点，过点 A作
二．如图，已知O为△ ABC的外心，AB
直线OD 的垂线，垂足为 .若 BD
H
，求
A
N
O
D
E
B
C
M
解
延 长 BD 交 ⊙ O 于 点 N ， 延 长 OD 交 ⊙ O 于 点 E ， 由 题 意 得
又点 D在⊙O的半径OE 上，点C 、N 在⊙O上，所以点C 、N 关于直线OE 对称，
DN = DC .

，所以点 A、M 关于直线OD
.因此
=
，所以△ ABF ≌△ NMF ，所以MF BF ，
又
，
因此，AM
，即
2AH =10，所以 AH = 5
.
三．设 n 是整数，如果存在整数 x，y，z 满足 n＝x
（1）试判断 1，2，3 是否具有性质 P；
3
＋y
3
＋z －3xyz，则称 n 具有性质 P..
3
（2）在 1，2，3，…，2013，2014 这 2014 个连续整数中，不具有性质 的数有多少
P
个？
解 取 x
= y =1， z
，可得
0
1 =1 + 0 + 0 - 3´1´0´0
3
3
3
0
2 1 1 0 3 1 1 0
取 x
=
，可得
3
3
3
若 3 具有性质 P，则存在整数 x, y, z
使得
，
x y z
3 = ( + + ) - 3( + + )( + + )
3
x y z xy yz zx ，
3| (x + y + z)3
从
而
可
得
故
，z
于
是
有
9 | (x + y + z) - 3(x + y + z)(xy + yz + zx)
9 | 3，这是不可能的，所以 3 不具有性质
3
，即
P.
（2）记 f
3
3
3
，则
f (x, y, z) = (x + y)
3
3
3
＝
3
1
2
2
2
= (x + y + z)[(x - y) + (y - z) + (z - x) ]
2
2
2 .
2
1
(x, y, z) = ( + + )[( - ) + ( - ) + ( - ) ]
x y z x y
2
y z
2
z x
2
①
2
不妨设 x
，
- y =1,y - z = 0, x - z =1，即 x = z +1,y = z
f (x, y, z) = 3z +1；
；
x = z + 2, y = z +1，则有 f (x, y, z) = 9(z +1)；
，即

由 此可知 ，形 如
或
或
3
， 则
3 |x +( y+ z
，进而可知 f x y z
x y z xy yz zx .
3
= 9k +3 n = 9k + 6 k
n
（ 为整数）时，整数 不具有性质 P.
或
P

由 此可知 ，形 如
或
或
3
， 则
3 |x +( y+ z
，进而可知 f x y z
x y z xy yz zx .
3
= 9k +3 n = 9k + 6 k
n
（ 为整数）时，整数 不具有性质 P.
或
P

由 此可知 ，形 如
或
或
3
， 则
3 |x +( y+ z
，进而可知 f x y z
x y z xy yz zx .
3
= 9k +3 n = 9k + 6 k
n
（ 为整数）时，整数 不具有性质 P.
或
P