小学数学教学中的名词解释(百分数、比和比例).doc

小学数学教学中的名词解释及教学建议（百分数、比和比例）
[百分数]
　　表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数．百分数也叫百分率或百分比．百分数通常不写成分数形式，而用百分号“％”来表示．如百分之九十六写作96％，百分之一百二十点四写作120.4％．
　　同样，表示一个数是另一个数的千分之几的数，叫做千分数．千分数用千分号“％”来表示．如我国人口出生率应控制在13‰(千分之十三)以内．
　　百分数、千分数，由于分母固定，便于比较分析，所以在生产和日常生活中有着广泛的应用．百分数有时也定义为分母是100的分数，但这样定义不能突出它是用来表示两个数(量)的倍比关系的．
　　教学时，应通过实例使学生理解百分数的意义．在学生初步掌握了百分数的意义和写法后，可向学生指出百分数与分数的区别：分数既可表示具体
又叫百分比、百分率．在百分数后面不能带计量单位名称(即百分数是不名数
要多举实例帮助学生理解．
[百分比] 　　见[百分数]
[百分号]　　见[百分数]
[千分数]　　见[百分数]
[千分号] 　　见[百分数]
[成数]
　　我国传统算术中，以“成”表示十分之一，如“三成”就表示十分之三，九成三就表示十分之九点三．这在农业收成的统计中应用较多，如“今年油菜比去年增产二成”等．根据分数基本性质，很容易把成数化成百分数．如“三成”即30％，“九成三”即93％．小学里，一般结合百分数的认识介绍成数．
[折扣]
　　折扣是商业用语，打折扣表示按成数减少．如某商品打八折，即按原价的八成(80％)出售，打七五折即按原价的七成半(75％)出售．打对折即按原价的50％出售．
[利率]
　　利率是金融用语，又称“利息率”，它表示一定时期内利息数与本金的比值．如每月的利率是4.8‰(月息4厘8毫)，一年的利息是
　　本金×利率×12．
　　如本金是100元，则一年利息数为
　　100 ×4.8‰×12=5.76(元)．
[百分率] 　　见[百分数]
　　百分率在工农业生产中应用很广．例如：

　　上列式子中“×100％”是表示其结果用百分数表示．
[物价指数]
　　也称“商品价格指数”．反映各个时期商品价格水平变动情况的指数．计算公式为：

　　式中，Σ为总计符号，p1为报告期的商品价格，p0为基期的商品价格，q1为报告期的商品销售量．小学数学教材里，一般不讲这个知识．
[复种指数]
　　一年内播种面积占耕地面积的百分数，叫做复种指数．用来表示复种程度的高低．

　　例如，耕地面积30公顷，一年内播种的总面积为75公顷，则

[百分数、小数的互化]
　　百分数、小数互化的方法是：把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位，就可把百分数化成小数；把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号，就可把小数化成百分数．
　　教学时，通常先讲小数化百分数，再讲百分数化小数．小数化百分数，可联系小数化分数的方法．如：

　　引导学生观察比较，得出小数化百分数的方法．也可以扩展到整数化百分数，如把2化成百分数是200％．
　　百分数化小数可运用上例逆向分析，学生容易理解百分数化小数的方法．也可以让学生用分母100去除百分数的分子，36％＝36÷100＝0.36，确信化的方法的可靠性．
　　练习中可安排0.6％，300％等化成小数或整数的题目，对于百分号前面是小数的，化成小数时，小数点移位方向容易弄错，要注意指导．
[百分数、分数的互化]
　　百分数化分数的方法是：先把百分数改写成分数形式，然后能约分的要约成最简分数．分数化百分数的方法通常是，先把分数化成小数，再把小数化成百分数．遇到除不尽时，如没有特定要求，则通常除到小数第四位，四舍五入取三位小数，然后化成百分数．
　　教学时，通常先讲分数化百分数，再讲百分数化分数．分数化百分数，可以采取从特殊到一般的教学过程．例如，先讨论分母是100的约数或倍数的分数化成百分数．

　　再讨论任意一个分数化百分数，启发学生从分数化小数，再将小数化百
分子除以分母所得的商要保留三位小数，再化成百分数．书写时要注意等号的运用，因为

　　所以前面用约等号，后面用等号．如果把分数直接写成百分数，则应写
　　百分数化分数，学生容易理解，着重指导改写成分数后，能够约分的要约成最简分数，是假分数的一般要化成带分数或整数．如：

　　其中百分号前是小数的化成分数，通常运用分数的基本性质，使分子成为整数，能约分的再约成最简分数．

数的互化])．(2)可以安排包括分数、百分数、小数等形式的几个数的大小比较的练习．例如：
　　①选择题．
　　和75%不相等的数是( )．

　　②把下面各组数，按从大到小的顺序排列，并用“＞”连接．

[比]
　　两个数相除又叫做两个数的比．如 3比 2表示 3÷2，记作3∶2．其中“∶”是比号，读作“比”．比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项．比的前项除以后项所得的商叫做比值．比也可以写成
　　比的概念是从两个同类量之间比较倍数关系而产生的．在实际应用中，也需要把两个不同类量作比较，如路程与时间之比．但不论是同类量还是不同类量的比，总可以抽象为两个数的比．两数相比较，既可比较相差多少(差比)，又可比较两者的倍数关系(倍比)．比在数学中只是比较两数的倍数关系．在教学中，还要指出体育比赛中用的“比”，虽然也借用“∶”号，但只是表示对抗双方的成绩记录而已，与数学中的比有本质的不同：(1)数学中，根据比的定义，比的后项不可为零，而体育比赛记分可出现2∶0、0∶0等情况；(2)数学中比是可以化简的，而体育比赛的记分不可化简．
　　两个不同类量的比，形成一种新的量．如路程与时间之比，就是速度这个新的物理量．如：100千米：2时=50千米/时．在小学里只要求写出数值比，比式中不写单位名称．
　　两个数的比是一个有序概念，颠倒两个数的位置，就得到另一个比．如，甲数是5，乙数是7，甲数和乙数的比是5∶7；乙数和甲数的比是7∶5．按语言叙述的顺序，可区分谁与谁比．在小学里，一般不出“反比”的名称．如，3∶5的反比是5∶3．
　　求比值时，如果题中没有直接给出比式，那么要注意根据题意确定比的前、后项．同类量相比要注意化成同单位后，再行计算．

不同类量相比，只要写出相应数值的比，再求值．比值可以用整数、小数或分数(百分数)来表示．应向学生说明比与比值的联系与区别．如5∶3

指出，当比值大于1时，表明前项大于后项，习惯上称前项是后项的若干倍，当比值小于1时，表明前项小于后项，习惯上称前项是后项的几分之几．目的是把比与分数意义、分数的应用联系起来．
　　练习组织：1．认识比的意义的练习．
　　(1)填空．
　　①一项工作，甲独做8天完成，乙独做10天完成，甲乙两人工作时间的比是( )；工作效率的比是( )．
　　②如果A∶B＝C，那么A是比的( )，B是比的()，C是比的( )．

　　(2)选择题．
　　1克白糖完全溶解在10克水中，白糖与糖水的比是( )。
　　A．1∶10 B．10∶1
　　C．1∶11 D．11∶1．
　　2．求比值的练习．

　　(2)求下列各比的比值．

[比号]　　见[比]
[比值]　　见[比]
[比的前项]　　见[比]
[比的后项]　　见[比]
[反比]
　　把一个比的前项与后项颠倒位置后所得到的新的比，叫做原来这个比的反比．如a∶b是b∶a的反比，b∶a也是a∶b的反比(a≠0、

[比的基本性质]
　　比的前项和后项都乘以(或除以)相同的数(零除外)，比值不变，这叫做比的基本性质．用式子表示是：

　　教学时，启发学生根据比和除法、分数三者之间的关系来推导比的基本性质．
　　比、分数与除法的关系如下表：

　　表中相应名称间只是“相当于”的关系，而非完全等同．三者还是有区别的：“比”表示两个数间的倍比关系，比号是一种“关系符号”；除法是一种运算，除号是一种“运算符号”；分数是一个数．
　　由分数的基本性质可以推得比的性质：比的前项和后项都乘以或者除以相同的数(零除外)，比值不变．也可由除法里商不变的性质推出比的性质．从而进一步让学生理解除法、分数与比三者间的关系．要训练学生正确地叙述比的性质，分数的基本性质以及商不变的性质．
[比的化简]
　　前项、后项是互质数的比叫做最简整数比．把一个比化为最简整数比，叫做比的化简．化简比的依据是比的基本性质．
　　教学时，通常分三种情况：(1)整数比的化简．联系分数中的约分和最简分数的概念，建立“最简整数比”的概念，得出化简的方法．(2)含有小数的比的化简．引导学生运用小数点移动规律，把小数比化成整数比，再把整数比化简．(3)含有分数的比的化简．用分母的最小公倍数去乘比的前、后项，把分数比化为整数比，再把整数比化简．亦可用“前项+后项”来化简．如：

0.25等．让学生在比较中挑选最合理、灵活的方法．
　　学生容易把比的化简和求比值混淆，可用下表加以对照．

　　还可以通过以下的例子让学生掌握：

[最简整数比]　　见[比的化简]
[求比的未知项]
　　已知比值和前项、后项中的一项，可以求出另一项．
　　根据比和除法的关系，学生容易理解求比的前项相当于求除法里的被除数，求比的后项相当于求除法里的除数，并概括出求比的未知项的关系式：

[单比]
　　两个数量所成的比，叫做单比．例如，7∶4，5∶11都是单比．现行小学数学课本里一般不出这个名称．
[复比]
　　有两个或两个以上的单比，把各单比的前项相乘的积作为前项，各单比的后项相乘的积作为后项，这样所得的新比，叫做复比．例如，7∶4和5∶11的复比是(7×5)∶(4×11)．

　　复比的值等于各单比的值的连乘积．现行小学里一般不讲复比．
[连比]
　　表示三个(或三个以上)同类量的倍比关系的比式叫连比．如，甲∶乙∶丙=7∶3∶5表示：
　　甲∶乙=7∶3，乙∶丙=3∶5，甲∶丙=7∶5．
　　可以把几个比化为一个连比：(1)第一个比的后项正好等于第二个比的前项时，可直接写出连比．如：
　　甲∶乙=7∶3， 乙∶丙=3∶5，
　　则 甲∶乙∶丙=7∶3∶5．
　　(2)第一个比的后项不等于第二个比的前项时，可运用比的性质，使它们变成相等．如：
　　甲∶乙=7∶3， 乙∶丙=2∶5，
　　因为7∶3=14∶6， 2∶5=6∶15，
　　所以甲∶乙∶丙=14∶6∶15．
　　目前小学里一般结合按比例分配应用题的教学对连比附带作些介绍．要注意，连比中的“∶”不能用“÷”代替，连比不是连除．
[比例尺]
　　在绘制地图或机器零件的平面图时，需要把实际距离(长度)缩小或放大一定的倍数，画在图纸上．图上距离与实际距离的比就叫做这张图纸的比例尺．即
　　图上距离∶实际距离=比例尺，
　　或

　　地图是把实际距离缩小若干倍得到的，所以地图的比例尺的值是小于1的．为了计算的方便，绘制地图时通常选用前项为1的比例尺，如1∶5000、
比例尺的值是大于1的，如5∶1(表示放大5倍)．
　　比例尺是一个比，但实际上它是表示图上距离和实际距离成正比例．所以它既可以作为比的知识的应用，放在比的部分教学，又可作为正比例的应用，放在正比例部分教学．前者，在求图距或实距时，把比例尺作为一个比值看，用求比的未知项的方法来计算；后者，在求图距或实距时，把比例尺作为一个比看，用解比例来计算．目前小学里一般采用前者的编排方法，并以地图比例尺为重点．为了扩大学生的知识面，小学里还介绍线段比例尺：在图上附一条注有数目刻度的线段，来表明地面上相应的实际距离．如上图表示图距1厘米相当于实距50千米，换成数字比例尺是1∶5000000．

　　教学中要注意说明：(1)比例尺是一个比值，是不名数，后面不应带有长度单位名称．(2)计算中，图距与实距应化成相同单位的量值．(3)选用比例尺或化简比时，力求把前项化简为1．(4)比例尺是长度比，而不是面积比．在求图形的实际面积或图纸上面积时，应根据比例尺先求出计算面积所需要的长度，再算面积．如：
　　在比例尺是1∶100的图纸上，量得一个长方形的长是5厘米，宽是3厘米．这个长方形的实际面积是多少？
　　解： 5×100=500(厘米)，3×100＝300(厘米)．
　　500×300＝150000(平方厘米)．
　　答：这个长方形的实际面积是15平方米．
　　教学时，可组织学生测量教室或操场，然后选用恰当的比例尺，绘制出教室、操场的平面图．
　　比例尺应用题举例如下：
　　北京到天津的实际距离是120千米，量得图上距离是4.8厘米，求这幅地图的比例尺．
　　解：4.8厘米∶120千米
　　=4.8∶12000000(单位统一为厘米)
　　=1∶2500000．(化简)

[线段比例尺]　　见[比例尺]
[比例]
　　表示两个比相等的式子叫做比例．组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项．如：

　　如果一个比例的两个内项相等，那么这样的内项就叫做两个外项的比例中项．如：
　　1∶2=2∶4，
　　2是1和4的比例中项(比例中项的概念，在小学一般不作介绍)．
　　教学时，要使学生理解组成比例的条件是：等号两边的两个比的比值相等．可通过各种练习帮助学生理解组成比例的条件．如给出一组比或一些数，要学生组成比例式．
　　比和比例既有联系又有区别，要让学生明确它们的区别：比由两个数组成，表示两个数的倍比关系；比例是由两个比组成的等式，表示四个数间成比例的关系．
[比例的项] 　　见[比例]
[比例的内项] 　　见[比例]
[比例的外项] 　　见[比例]
[比例中项] 　　见[比例]
[比例的性质]
　　在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质．即
　　若a∶b= c∶d，则ad=bc
　　由比例的基本性质还可推得比例的其他性质：
　　(1)反比定理．如果两个比相等，那么它们的反比也相等．即

　　(2)更比定理．交换比例式的两个内项(或外项)，所得的比例式仍旧成立．即

　　(3)等比定理．几个相等的比的前项之和与后项之和的比，等于这些比中的任何一个比．即

　　(4)合比定理．在一个比例里，第一个比的两项之和与它后项的比，等于第二个比的两项之和与其后项的比．即

　　(5)分比定理．在一个比例里，第一个比的两项之差与它后项的比，等于第二个比的两项之差与其后项的比．即

　　(6)合分比定理．在一个比例里，第一个比的两项之和与两项之差的比，等于第二个比的两项之和与两项之差的比．即

　　　比例的基本性质实际上是四个数成比例的充分必要条件，可以让学生自己找出规律；要判断四个数是否成比例，只要看其中最大数和最小数的乘积是否等于另两个数的乘积．然后可让学生把成比例的四个数(都不等于0)写成不同的比例式．如：由2×6＝3×4可写出2∶3＝4∶6，2∶4＝3∶6，4∶2＝6∶3等比例式(有八个不同的比例式，但不必要求学生写全)．
　　练习组织举例：(1)认识比例意义的练习．
　　①选择题．

　　②填空．
　　在2、3、4、5、10这几个数中，选出其中四个数组成比例是( )．
　　③ 判断题．
　　下列各组的两个比能否组成比例？把组成的比例写出来．

　　B．10∶12和15∶18
　　(2)掌握比例基本性质的练习．

[比例的基本性质] 　　见[比例的性质]
[反比定理] 　　见[比例的性质]
[更比定理] 　　见[比例的性质]
[等比定理] 　　见[比例的性质]
[合比定理] 　　见[比例的性质]
[诱导比例]
　　对于一个已知比例的某些项，施行某些运算，可以得到一些新的比例，这些新的比例叫做从已知比例得到的诱导比例。例如，反比定理、更比定理、等比定理、合比定理、分比定理、合分比定理等都是诱导比例．
[解比例]
　　已知比例中的任何三项，求另外一个未知项，叫做解比例．解比例可根据比例的基本性质，如：由3∶8＝15∶x得3x＝15×8，x＝40；也可先算出一个比的比值，把解比例转化为求比的未知项，如x∶7=2∶5可变成x∶7＝0.4，求比的前项，得x＝0.4×7＝2.8．
　　解答后，把求得的未知项x的值，代入原比例式，再根据比例的意义或比例的基本性质进行验算，判断比例是否成立．
[成正比例的量]
　　两种相关联的量，如果它们相对应的两个数的比值一定，那么就叫做成正比例的量．它们的关系叫做正比例关系．如果用字母x、y分别表示两种成正比例的量，用k表示一定的比值，其关系式就是：

　　学习成正比例的量，要求学生对“变量”有个初步的认识．虽然
成正比例的量时，还应从“两种量变化(变量)，一种量一定(常量)”的角度，重新加以认识．教学时应从具体实例出发，列举有关量变化的数值，然后得出关系式，并归纳出两种量成正比例的条件：(1)这两种量是相关联的，其中一种量随着另一种量的变化而变化．(2)相对应的两个数的比值(商)一定．
　　要帮助学生掌握判断两个量是否成正比例的思考步骤：(1)判断是哪几种量；(2)这几种量是不是相关联的量；(3)哪一种量是常量；(4)确定两种变量之间所存在的关系；(5)根据正比例的意义，作出结论．例
　　=单价，根据正比例的意义，可以判断总价与数量这两种量成正比例关系．如果单价不一定，就不存在这种关系．
　　有时正比例关系中的“常量”不明显，学生在判断时会感到困难．如：(1)圆的直径和它的周长成正比例(常量是π)．(2)同一时刻里，杆长和影长成正比例(一定量是阳光——平行光线与地面交角的正切函数值)．对此，可通过教具演示，借助生活经验加以说明．
[正比例关系]　　见[ 成正比例的量]
[成反比例的量]
　　两种相关联的量，如果它们相对应的两个数的积一定，那么就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．如果用字母x、y分别表示两种相关联的量，k表示积(一定)，那么反比例关系可以用xy=k(一定)来表示．
　　教学时，可以仿照成正比例量的教法，让学生从一些实例中认识到，某些相关联的两种量，它们的对应数值的乘积是不变的．然后归纳出成反比例量的意义．再举些实例让学生判断．
　　正比例关系和反比例关系有内在的联系．如速度、时间与路程这三种量，当一种量的值一定时，另外两种量就成正比例或反比例关系．

　　教学时可在多举实例的基础上，最后概括为乘除法算式。

[反比例关系]　　见[ 成反比例的量]