高二数学试卷.doc

南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试
数 学 2014.01
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题纸内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．
参考公式：
样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝(xi－)2，其中＝xi．
锥体的体积公式：V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．已知集合A＝{－3，－1，1，2}，集合B＝[0，＋∞)，则A∩B＝ ▲ ．
2．若复数z＝(1＋i)(3－ai)(i为虚数单位)为纯虚数，则实数a＝ ▲ ．
3．现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为 ▲ ．
S ← 0
For I From 1 To 10
S ← S＋I
End For
Print S
第4题
4．根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为 ▲ ．
5．若一组样本数据2，3，7，8，a的平均数为5，则该组数据
的方差s2＝ ▲ ．
6．在平面直角坐标系xOy中，若中心在坐标原点的双曲线的一条
准线方程为x=，且它的一个顶点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，
则该双曲线的渐近线方程为 ▲ ．
第8题
P
A
B
C
D
E
7．在平面直角坐标系xOy中，若点P(m，1)到直线4x－3y－1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y≥3表示的平面区域内，则m＝ ▲ ．
8．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，
侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝2，E为AB的中点，则四面体PBCE的体积为 ▲ ．

9．设函数f(x)＝cos(2x＋φ)，则“f(x)为奇函数”是“φ＝”的 ▲ 条件． (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”其中之一)
10．在平面直角坐标系xOy中，若圆x2＋(y－1)2＝4上存在A，B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为 ▲ ．
11．在△ABC中，BC＝2，A＝，则·的最小值为 ▲ ．
12．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调增函数．如果实数t满足f(lnt)＋f(ln)≤2f(1)，那么t的取值范围是 ▲ ．
13．若关于x的不等式(ax－20)lg≤0对任意的x＞0恒成立，则实数a的取值范围是 ▲ ．
14．已知等比数列{an}的首项为，公比为－，其前n项和为Sn，若A≤Sn－≤B对n∈N*恒成立，则B－A的最小值为 ▲ ．
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．(本小题满分14分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c＝2，C＝．
（1）若△ABC的面积等于，求a，b的值；
（2）若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．

16．(本小题满分14分)
A
B
C
A1
B1
C1
F
E
第16题
如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别为BB1，AC的中点．
（1）求证：BF∥平面A1EC；
（2）求证：平面A1EC⊥平面ACC1A1．

17．(本小题满分14分)
如图，现要在边长为100 m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”．以正方形的四个顶点为圆心，在四个角分别建半径为x m(x不小于9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为x2 m的圆形草地．为了保证道路畅通，岛口宽不小于60 m，绕岛行驶的路宽均不小于10 m．
（1）求x的取值范围；（运算中取1.4）
A
B
C
D
草地
花坛
花坛
花坛
岛口
岛口
岛口
岛口
第17题
花坛
（2）若中间草地的造价为a元/m2，四个花坛的造价为ax 元/m2，其余区域的造价为元/m2，当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？

18． (本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中，已知过点(1，)的椭圆C∶＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(1，0)，过焦点F且与x轴不重合的直线与椭圆C交于A，B两点，点B关于坐标原点的对称点为P，直线PA，PB分别交椭圆C的右准线l于M，N两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点B的坐标为(，)，试求直线PA的方程；
第18题
x
y
O
F
P
B
A
M
N
l
（3）记M，N两点的纵坐标分别为yM，yN，试问yM·yN是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

19．(本小题满分16分)
已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ax2＋bx＋1(a，bR)．
（1）当a≠0时，则a，b满足什么条件，曲线y＝f(x)与y＝g(x)在x＝0处总有相同的切线？
（2）当a＝1时，求函数h(x)＝的单调减区间；
（3）当a＝0时，若f(x)≥g(x)对任意的xR恒成立，求b的取值的集合．

20．(本小题满分16分)
设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，S6＝22．
（1）求Sn；
（2）若从{an}中抽取一个公比为q的等比数列{ak}，其中k1＝1，且
k1＜k2＜…＜kn＜…，knN*．
①当q取最小值时，求{ kn}的通项公式；
②若关于n(n∈N*)的不等式6Sn＞kn＋1有解，试求q的值．

南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试
数学附加题部分
（本部分满分40分，考试时间30分钟）
21．[选做题] 在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
A.（选修4—1：几何证明选讲）
如图，，是半径为的圆的两条弦，它们相交于的中点，若，，求的长.

B.（选修4—2：矩阵与变换）
已知曲线：，若矩阵对应的变换将曲线变为曲线，求曲线的方程.

C．（选修4—4：坐标系与参数方程）
在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），若直线与圆相切，求实数的值.

D．(选修4-5：不等式选讲）
已知，，为正实数，若，求证：.

[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
22．（本小题满分10分）
已知点在抛物线：上.
（1）若的三个顶点都在抛物线上，记三边，，所在直线的斜率分别为，，，求的值；
（2）若四边形的四个顶点都在抛物线上，记四边，，，所在直线的斜率分别为，，，，求的值.

23．（本小题满分10分）
设是给定的正整数，有序数组（）中或.
（1）求满足“对任意的，，都有”的有序数组（）的个数；
（2）若对任意的，，，都有成立，求满足“存在，使得”的有序数组（）的个数

南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试
数学参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1. 2. －3 3. 4. 55 5. 6. 7. 6 8. 9、必要不充分 10. 11. 12. 13. 14.
二、解答题：
15．解：（1）由余弦定理及已知条件得，， …………2分
又因为的面积等于，所以，得． ………4分
联立方程组解得，． ………7分
（2）由题意得，即，
当时，，，，， …………10分
当时，得，由正弦定理得，
联立方程组解得，． …………13分
所以的面积． …………14分
16．证：（1）连交于点，为中点， ，
为中点，，
，四边形是平行四边形， ……4分
，又平面，平面，平面. …………7分
（2）由（1）知，，为中点，所以，所以，
…………9分
又因为底面，而底面，所以，
则由，得，而平面，且，
所以面， …………12分
又平面，所以平面平面. …………14分
17．解：（1）由题意得， …………4分
解得即. …………7分
（2）记“环岛”的整体造价为元，则由题意得

， …………10分
令，则，
由，解得或， …………12分
列表如下：

9
(9,10)
10
(10,15)
15

－
0
＋
0

↘
极小值
↗

所以当，取最小值.
答：当m时，可使“环岛”的整体造价最低. ………14分
18．解：（1）由题意，得，即， …………2分
又，，椭圆的标准方程为. …………5分
（2），，又， ，
直线：， …………7分
联立方程组，解得， …………9分
直线：，即. ………10分
（3）当不存在时，易得,
当存在时，设，，则，
，，两式相减，得，
，令，则， …………12分
直线方程：，，
， 直线方程：，，…………14分
，又，，
，所以为定值. ……………16分
19．解：（1），，又，
在处的切线方程为， ………………2分
又，，又，在处的切线方程为，
所以当且时，曲线与在处总有相同的切线 ………4分
（2）由，，，
， ………………7分
由，得，，
当时，函数的减区间为，；
当时，函数的减区间为；
当时，函数的减区间为，. ………10分
（3）由，则，，
①当时，，函数在单调递增，
又， 时，，与函数矛盾， ………………12分
②当时，，；，
函数在单调递减；单调递增，
（Ⅰ）当时，，又，，与函数矛盾，
（Ⅱ）当时，同理，与函数矛盾，
（Ⅲ）当时， ，函数在单调递减；单调递增，
，故满足题意.
综上所述，的取值的集合为. ……………16分
20．解：（1）设等差数列的公差为，则，解得，…2分
所以. …………4分
（2）因为数列是正项递增等差数列，所以数列的公比，
若，则由，得，此时，由，
解得，所以，同理； …………6分
若，则由，得，此时，
另一方面，，所以，即， ………8分
所以对任何正整数，是数列的第项．所以最小的公比．
所以． …………10分
（3）因为，得，而，
所以当且时，所有的均为正整数，适合题意；
当且时，不全是正整数，不合题意.
而有解，所以有解，经检验，当，，时，都是的解，适合题意； ……………12分
下证当时，无解, 设，
则，
因为，所以在上递减，
又因为，所以恒成立，所以，所以恒成立，
又因为当时，，所以当时，无解. ……………15分
综上所述，的取值为 ………………16分

附加题答案
21. A、解：为中点，，，…………5分
又，由，得. ………………10分
B、解：设曲线一点对应于曲线上一点，
，，，……5分
，，，曲线的方程为.…10分
C、解：易求直线：，圆：， ………………5分
依题意，有，解得.………………10分
D、证： ，
. ………………10分
22．解：（1）由点在抛物线，得，抛物线：，………3分
设，，
.…7分
(2)另设，则.………10分
23．解：（1）因为对任意的，都有，则或，共有种，所以共有种不同的选择，所以. ………5分
（2）当存在一个时，那么这一组有种，其余的由（1）知有，所有共有；
当存在二个时，因为条件对任意的,都有成立得这两组共有，
其余的由（1）知有，所有共有；……，
依次类推得：. ………10分

12