月考高二理科数学试卷.doc

月考高二理科数学试卷
一、选择题（共10小题，每题5分，共50分）
1.设，则中点在空间直角坐标系中的位置是（ ）
A. 轴上 B. 面内 C. 面内 D. 面内
2. 与直线平行的抛物线的切线方程是（ ）
A. B. C. D.
3.在空间直角坐标系中, 点关于平面对称的点的坐标为( )
A. B. C. D.
4. 已知函数在处的导数为3，则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
5.函数在区间内是减函数，则应满足（ ）
A. 且 B. 且 C. 且 D. 且
6. 若函数，则此函数图像在点处的切线的倾斜角为（ ）

A. B. 0 C. 钝角 D.锐角
7. 如下图，在正方体中，
为棱的中点，则异面直线与
所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知直线和平面，下列推论正确的是（ ）
A. B. C. D.

9. 若函数在R上可导且满足不等式＞恒成立，且常数满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.

O
10.如图，直线和圆，当从开始在平面上绕点
按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过）时，它
扫过的圆内阴影部分的面积S是时间的函数，这个函

数的图像大致是（ ）

A. B. C. D.
二、填空题（共7小题，每题4分，共28分）

M
11. 空间直角坐标系中，点，，若，则
12.如图所示，在长方体中，
,,. M是
与的交点,则M的坐标是

13. 已知，则
14. 函数的单调增区间为，单调减区间为
15. 过点作曲线的切线L,则L的方程为
16.已知，函数在上是减函数，则的最大值为
17.函数，已知函数在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，则的取值范围为

三、简答题（本大题共和小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
F
A
B

C
D

18.(14分) 正方体的棱长为1，点F为的中点.

(1)证明: ∥平面AFC；
(2)求二面角的余弦值

E
C
D
A
B
M
19. (14分)如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC,
AC⊥BC,且AC=BC=BD=2AE, M是AB的中点.
(1)求证：CM⊥EM
(2)求CM与平面CDE所成的角

20. (14分)已知定义在正实数集上的函数㏑，其中。设两曲线有公共点，且在该点处的切线相同。
（1）用表示
（2）求证： （＞0）
D
E
A
B
S
C
21. (15分)已知四棱锥的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任意一点。
（1）求证：平面EBD⊥平面SAC:
(2)设SA=4,AB=2,求点A到平面SBD的距离：
(3)当的值为多少时，二面角的大小为120°？

22. (15分)已知，其中
（1）若曲线在点处的切线方程为，求的解析式：
（2）讨论的单调性：
（3）若对任意的，总存在一个使得成立，求实数的取值范围。
高二理科数学答题卷
一、选择题（共10小题，每题5分，共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
A
A
B
C
D
D
B
D

二、填空题（共7小题，每题4分，共28分）

11. 11 12. 13. 14. ,
3

或

15. 16. 17.
三、简答题（本大题共和小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18.（14分）
E
F
A
B

C
D

解： 如图建立直角坐标系，
（1） 证：,,则=(1,0,1)-----（1分）
取AC中点E则E（，，0），∵F（0，，）
∴=-----（2分）
∴=2，即∥-------------(4分)
又 面AFC, 面AFC ∴∥面AFC-------- -----(5分)
(2)设，分别为面ABF与面AFC的一个法向量-----(6分）=(1,0,0),=( 0，，),=(1,1,0),
由⊥，⊥，⊥，⊥
∴;即，----------（9分）
∴取=（0，1，1），=（1，1，1）-----------（11分）
则＜，＞==---------（13分）
∵二面角为锐二面角，∴其余弦值为。-------（14分）

E
C
D
A
B
M

19.(14分)
解：作CZ∥EA,∵EA⊥平面ABC，∴CZ⊥平面ABC
∴CZ⊥AC, ∴CZ⊥BC,又AC⊥BC
∴如图建立直角坐标系--------（2分）
（1） 设AE=1，则AC=BC=BD=2，------(3分)
∴C（0，0，0），M（1，1，0），E（2，0，1）----（4分）
∴=（1，1，0），=（，1，）----（5分）
∵．=0---------（6分）
∴CM⊥EM------------（7分）
(2) 设为面CDE的一个法向量------------（8分）
∵D(0,2,2), ∴=(0,2,2),=(2,0,1), 由⊥，⊥得
即, ∴取=(1,2, 2) ------------（11分）
设CM与平面CDE所成的角为
sin=︱＜，＞︱=︱︱=,∴=45°------------（13分）
∴CM与平面CDE所成的角为45°------------（14分）
20. (14分)
（1）解：设公共点的坐标为（，）
∵=，= -------------（2分）
（1）
（2）
∴ -------------（4分）
由（2）得=a或=3a------------（5分）
∵a＞0且x＞0
∴=a, -----------（6分）
代入（1）式得b= (a＞0) -----------（7分）
(2)令F(x)=f(x)-g(x)=, ----------（8分）
则=x+2a=----------（10分）
∵a＞0且x＞0
x
(0,a)
a
(a,)

0

F(x)
递减
极小值
递增
极小值
=F (x)= F(a)= ----------（12分）
∵b=
∴=0，即F(x)≥0
∴（x＞0）----------（14分）
D
E
A
B
S
C
x
y
z
21. (15分)
(1) ∵SA⊥底面ABCD, ∴SA⊥BD,
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD, 且SAAC=A
∴BD⊥面SAC, 又BD面EBD
∴平面EBD⊥平面SAC------------（4分）
(2)如图建立直角坐标系，∵AB=2,SA=4
∴A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0), S(0,0,4)
=(2,0,-4),=(0,2,-4),=(0,0,-4) --------（5分）
设为面SBDE的一个法向量,由⊥，⊥得
即, ∴取=(2,2, 1) --------（7分）
设点A到平面SBD的距离为d
∴d==, 即点A到平面SBD的距离为--------（9分）
（3）设AB=a,SA=b，则B(a,0,0),D(0,a, 0),C(a,a,0),S(0,0,b),
=(-a,0,b), =(0,a,0)，=（0,-a,b）,=(a,0,0) ----------（10分）
设，分别为面BSC与面DSC的一个法向量
由⊥，⊥，⊥，⊥
∴;即，--------（12分）
∴取=（b，0，a），=（0，b，a）-----------（13分）
二面角的大小为120°,则＜，＞===
解得a=b，即=1--------------（15分）
22. （15分）
（1）=1，-------------（1分） ∵=3，∴a=-------------（2分）
由切点在y=3x+1上，可得b=9-------------（3分）
∴的解析式为=-------------（4分）
(2) =1
当a≤0时，显然＞0(x≠0)，这时在(,0)和(0,)上是增函数。-----（6分）
当a＞0时,由=0,得x=.此时
x
(,)

(,0)
(0, )

(,)

0

0

∴在(,)和(,)上是增函数，
在(,0)和(0, )上是减函数------------------（9分）
（3）由（2）知，在[,1]上的最大值为与中的较大者。-----（10分）
又∵当时
=（）（）==3（）＞0
即＞ ∴在[,1]上的最大值为----------------（11分）
对任意的，总存在一个使得成立，当且仅当≥10
∴≥10即≥ ----------------------------（13分）
对任意的成立，从而得≥=
所以满足条件的的取值范围是[,-----------------（15分）
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