高考数学一轮复习文档 学生用书 第2章.pdf

第一节函数及其表示最新考纲,1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表 示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).考向预测考情分析：以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域，分段函数以及函数与 其他知识的综合仍是高考的热点，题型既有选择、填空题，又有解答题，中等偏上难度.学科素养：通过函数概念考查数学抽象的核心素养；通常通过函数定义域、函数解析式 及分段函数问题考查数学运算及直观想象的核心素养.积累必备知识基础落实赢得良好开端一、必记3个知识点1.函数与映射的概念函数映射两个集合A,5集合A,5是两个非空的_集合A,8是两个非空的_对应 关系按照某种确定的对应关系了,使对 于集合A中的_一个数,在集合B中都有_的数x)和它对应.按某一个确定的对应关系力使对 于集合A中的_一个元素a,在集合3中都有_的元素b与之对应名称称/：A-B为从集合A到集合B的 一个函数.称/：A-B为从集合A到集合B的 一个映射.记法2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数=/(%),%A中，%叫做自变量，入的取值范围A叫做函数的；与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合伏x)lxA叫做函数的.显然，值域是 集合8的子集.(2)函数的三要素：、和.(3)相等函数：如果两个函数的 和 完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：、.提醒函数图象的特征：与X轴垂直的直线与其最多有一个公共点.利用这个特征可 以判断一个图形能否作为一个函数的图象.3.分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的,这样的函 数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数.提醒分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并 集，值域是各段值域的并集.二、必明3个常用结论1.函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射.2.直线x=a（a是常数）与函数=/（%）的图象有0个或1个交点.3.判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致.三、必练4类基础题（一）判断正误1.判断下列说法是否正确（请在括号中打“或“”）.（1）对于函数/：A-B,其值域是A（）（2）函数与映射是相同的概念，函数是映射，映射也是函数.（）（3）只要集合A中的任意元素在集合B中有元素对应，那么这个对应关系就是函 数.（）（4）若两个函数的定义域与值域都相同，则这两个函数是相等函数.（）（5）分段函数不是一个函数而是多个函数.（）（二）教材改编2.必修LP18例2改编下列函数中，与函数y=%+l是相等函数的是（）A.y=（&+B.y=+1C.尸*+l D.产 旧+13必修IP例1改编已知/（%）=，若|-2）=0,则a的值为.（三）易错易混（x+l）2.x x 2|x3|+a,x 2,左6.2021浙江卷已知aR,函数於）=若胭 峋）=3,则提升关键能力考点突破掌握类题通法考点一函数的定义域基础性1.函数y=位门+（%1）。的定义域是（）A.无3xlB.%|-3%2 且 xW lC.%0 x2D.xlx22.如果函数/(%)=ln(2%+a)的定义域为(-8,1),那么实数。的值为()A.2 B.1C.1 D.23.2022江西抚州模拟若函数人%）的定义域为0,6,则函数 的定义域为（）A.(0,3)B.1,3)U(3,8 C.1,3)D.0,3)4.2022陕西渭南高三检测若函数y=范围是()占的定义域为R,则实数。的取值一题多变.幽1.（变问题）将题3中的函数 的定义域”改为“函数1%5）的定义域为，2.（变条件，变问题）将题3改为“已知函数人%5）的定义域为0,6J,则函数火%）的定 义域为.”反思感悟1.给定函数的解析式，求函数的定义域具体 函数 有解 析式分式,分母不等于0_rzT 开偶次方根，被开方数大于等于o根号/-对数函数真数部分大于0对数-底数大于0且不等于1_指数函数的底数大于0且不等于1.正切-.y=tanx,伏 GZ）。次方.x=l,x#0I_ _实际应用题考虑解析式有意义且考虑实际问题有意义2.求抽象函数定义域的方法已知函数./U)的定义域为 a,b,求复合函数/g(x)的定义域-v-由不等式aWg(x)Wb解 得X,则x的取值范围 即为所求定义域已知复合函数/g(x)的 定义域为a,b,求函数 Ax)的定义域v求出 y=g(x)(xGa,瓦|)的值域，即为),可(x)的 定义域考点二函数的解析式综合性G+i)例1(1)已知/、，=ig%,则/(%)的解析式为_.(2)(一题多解)已知二次函数凡x)满足式2%+1)=4%26%+5,则%)的解析式为.2022佛山一中月考已知函数人%)满足x)+纨-%)=e，则函数应x)的解析式为听课笔记：反思感悟求函数解析式常用的方法法一 配凑法由已知条件&(。)=尸(。可将A(a)改写成关 于g(x)的表达式，然后以X替代g(x),便得 Ax)面表达式。法二 换元法0对于形如)F/s*)的函数解析式，令 f=g(x),从中求出.1=p(/),然后代入表达 式求出/”),再将t换成K,得到/,(.2,d+2,x2,段）=则用)=(）A.-B.2C.4 D.11(2)2022郑州模拟已知r)=CDSWX,X 1,ni则/+/G）的值为()C.-1 D.1听课笔记：反思感悟分段函数的求值问题的解题思路(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现用3)的形式时，应从内到外依次求值.(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变 量的值，切记要代入检验.角度2分段函数与方程t尸，x0,+1,x 0.例3 2022长春模拟已知函数危）=若#4）+11）=0,则实数q的值等于（）A.13 B.1C.1 D.3听课笔记：反思感悟根据分段函数的函数值求自变量的值时，应根据自变量与分段函数各段的定义域分类讨 论，结合各段的函数解析式求解，要注意求出的自变量的值应满足解析式对应的自变量的范 围.角度3分段函数与不等式1,x 0,例4 2022湘赣皖长郡十五校一联设函数犬）=则满足%+2）次3%）的x的取值范围是（）A.%1 B.%三1C.2xl D.0 x 0,I 3X2,x0,1.2022长沙长郡中学月考已知函数凡r）=且火%o）=3,则实数%o的值为（）A.-1 B.11C.-1 或 1 D.-1 或一f x,x0,2.2022福州市高三质量检测函数r)=则犬2)+#-1)=(1+x2,x 03.2021深圳模拟已知函数抬尸，若八%4)42%3),则实数工的取值范围是.微专题学通学活巧迁移新定义函数交汇创新所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现或尚未介绍的 一类函数.函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题.例2022广东深圳模拟在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整 点，若函数_/(%)的图象恰好经过(N*)个整点，则称函数_/(%)为阶整点函数.给出下列 函数：售/(%)=sin2%；g(%)=R；/?(%)=W；(%)=ln%.其中是一阶整点函数的是()A.B.C.D.解析：对于函数/U)=sin 2%,它的图象(图略)只经过一个整点(0,0),所以它是一阶整 点函数，排除D项；对于函数g(%)=R,它的图象(图略)经过整点(0,0),(1,1),，所以1它不是一阶整点函数，排除A项；对于函数/(%)=(3)它的图象(图略)经过整点(0,1),(-1,3),所以它不是一阶整点函数，排除B项.故选C项.答案：C名师点评本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.破解新定 义函数题的关键是紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问 题顺利获解.如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数丹%)的图象恰好经过1个整 点，问题便迎刃而解.变式训练1.2022山东滨州月考具有性质/3=一/(%)的函数，我们称为满足“倒负”变换x(0 x1)的函数.下列函数：尸L。尸+；尸 I 中满足“倒负”变换的函数是()A.B.C.D.只有2.若函数1%)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：(l)Vxe R,都有人一x)+x)=o；)(2)Vxi，X2e R,且1W%2，都有 1rl 0.在/(%)=sin%,*%)=-2s3,%这三个函数中，是”优美函数”.第二章 函数的概念与基本初等函数I第一节函数及其表示积累必备知识1.数集集合任意唯一确定任意唯一确定2.(1)定义域值域(2)定义域值域对应关系(3)定义域对应关系解析法 图象法列表法3.对应关系、1.答案：(l)x(2)X(3)X(4)X(5)X2.解析：对于A,函数y=(6+1)2的定义域为无以2 1,与函数y=%+l的定义域不同，不是相等函数；对于B,定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C,函数y=+1的定义域为M xW O,与函数y=%+l的定义域不同，不是相等函数；对于D,定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数.故选B.答案：B3.解析：因为火%）=V-2+3+所以火一2）=一升=0,解得。=1.答案：14.解析：因为火%）是分段函数，所以应分段求解.当1时，兀021,即（X+1）221.解得 2 或 所以 2 或 014=2,所以胆 蝎）=42）=|23|+。=1+。=3,解得。=2.答案：2提升关键能力考点一J 2-x0.，12+x d 0l x10.*1.解析：要使函数解析式有意义，须有J x 2-3 Vx4.I x*1.解得 所以一3x2且故函数的定义域为x|-3x0,所以0恒成立.当。=0时，不等式为f a0.lA=(-4a)J-4a-20,恒成立；当aW O时，要使不等式恒成立，则 即J a0.1a(2a1)VO.-z解得0 z由得OWq0,所以/1,所以即=(2)方法1：(换元法)令2%+1=也 R),则=?，所以财=4 6X9-1+5=P5r+9R),所以1).方法3：(待定系数法)因为/(%)是二次函数，所以设兀0=公+法+以。/。)，则火2x+l)=a(2%+l)2+/?(Zx+l)+c=4a%2+(4a+2h)%+a+/?+c.因为 fi2x-1)4a:26%+5,所以4a=4.4a+2b=6l+b+c=5*解得a=1.b=-5.c=9.所以火%)=%25%+9.解析：(3)(消去法次r)+%)=e X,4一%)+%)=1，联立消去八一%)得37U)=2e re x,所以八%)=答案：(1次0=坨*-3(xi)*2 Ei=B(2)f(x)=x25x+92 1(3)1Ax尸%-x-V对点训练I1.解析：(1)方法 1：由于八12r)=7(x#0),1 1 萋当x=时，犬)=函=15.故选C.1-1方法2：设12r=r,贝|T 结合式12x)=7(%#0)可知,所以八 3=答案：cS可=6故选C2.解析：令t=(x0).5+因为122,则=%+=+222),得到 X+、=/22,Q22).所以由人)=叶，得：大。=F2Q22),即X)=%22。22).答案：f(x)=x22(x2)3.解析：(待定系数法)设凡x)=or+b(aW O),则 3/(+1)2/(x1)ax-5ab,所以以+5a+b=2%+17对任意实数都成立,f a=2.l5a+b=17,fa=2*所以 解得 b=7.所以凡x)=2x+7.答案：2x+74.解析：(解方程组法)因为纨%)+/3=3%,2 -所以将用,替换，得2f 3+危尸、，1由解得 _/(%)=2%(%W 0),即/(%)的解析式是r)=2x、(%W 0).答案：2x-(xWO)考点三例2解析：(1)因为式l)=y+2=3,所以胆1)=#3)=3+3T=4.故选c项.(2)/Q可 1)+1可 0+1=cos Li=,(-汇(T_ 上：f cos cos ,答案：(1)C(2)D例 3 解析：力(1)=21=2,./(q)+2=0,./(q)=-2,当 qW O 时，y(a)=a+l=2,3,当a0时，犬0=2=-2,方程无解，综上有a=3.答案：A例4解析：1.x 0._因为函数人)=作出函数x)的图象，如图所示.则由函数的图象可得当+2W 0时，於+2)=1,火3x)=1,不满足於+2)次3%).当+20时，要满足於+2)习(3%),卜+2 0.则需 t 3x3x0,解得一 2rW 0或0rl.综上可得一241.故选C.答案：C对点训练1.解析：由条件可知，当oO时，/U o)=2%o+1=3,所以沏=1;当oO时，加o)=34=3,所以Xo=1,所以实数o的值为-1或1.答案：Cf x.x02.解析：因为式x)=所以式2)+_/(l)=e 21 l=e 22.答案：e?-2(1+x2.x 03.解析：函数式x)=在(-8,0上是减函数，在(0,+8)上函数值fx4 0保持不变，若应广-4)42%3),则 匕*一3或%42r3W 0,解得(1,4).答案：(一1,4)微专题学通学活巧迁移新定义函数变式训练1.解析：(逐项验证法)对于，/3=%=/(%),满足“倒负”变换；对于，/3=不满足“倒负”变换；对于，/=x(Ox 1).岭=1),*满足/w=-/u).故满足“倒负”变换，故选C答案：c2.解析：由条件(1)得五%)是R上的奇函数，由条件(2)得/(%)是R上的减函数.对于,/U)=sinx在R上不单调，故不是“优美函数”；对于，/(%)=既是奇函数，又在R 上单调递减，故是“优美函数”；对于，凡r)=l-x不是奇函数，故不是“优美函数”.答案：第二节函数的单调性与最值,最新考纲，1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数图象分析函数的单调性.考向预测考情分析：以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与 应用，其中函数单调性及应用仍是高考考查的热点，题型多以选择题为主，属中档题.学科素养：逻辑推理、数学抽象、数学运算.积累必备知识基础落实赢得良好开端一、必记2个知识点1.函数的单调性单调函数的定义增函数减函数一般地，设函数凡X)的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间。上的任意 两个自变量值1，X2定义当142时，都有兀勺)，那么就说函数X%)在区间D上是_当1=/(%)的.(3)若函数=/(%)在区间。内可导，当_时，火%)在区间D上为增函数;当_ 时，火%）在区间。上为减函数.（4）复合函数的单调性.若构成复合函数的内、外层函数单调性相同，则复合函数为增 函数，否则为减函数.简称“同增异减”.提醒有多个单调区间时应分开写，不能用符号“U”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”连接.2.函数的最值前提设函数y=/U）的定义域为/,如果存在实数满足条件（1）对于任意入/,都有_；（2）存在%（）/,使得_（1）对于任意都有_;（2）存在%（）/,使得_结论M是y=/U）的最大值M是的最小值提醒（1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到.（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大值（或最小值）.二、必明3个常用结论11.函数y=x）（/（x）0或段）0）在公共定义域内与=一/（%）,y=碗的单调性相反.2.“对勾函数 y=x+（q0）的单调递增区间为（一8,-病,（5，+8）；单调递减区间是一 下,0）,（0,何3.增函数与减函数形式的等价变形：Vxi,X2a,且则（为一12）伏1）一危2）00。=加）在。，加上是增函数；（%1 2）伏1）-兀X2）00 0=/）在口上是减函数.三、必练4类基础题（一）判断正误1.判断下列说法是否正确（请在括号中打“或“X”）.（1）函数y=hl是R上的增函数.（）1（2）函数=的单调减区间是（一8,0）U（O，+1（）（3）若函数=/（%）在1,+8）上是增函数，则函数的单调递增区间是1,+8）.（）（4）对于函数xD,若对任意汨，X2D,制W%2且（占一%2）/（乃）一/（%2）0，则函数 凡x）在区间。上是增函数.（）（5）已知函数y=%）在R上是增函数，则函数y=/（一%）在R上是减函数.（）（二）教材改编2.必修139习题A组T3改编下列函数中，在区间（0,1）上是增函数的是（）A.y=2|x|B.y=6x1c.尸D.y=N+63.必修1-P3i例4改编函数y=:在2,3上的最小值为（）A.2 B.1 C.3 D.-1（三）易错易混4.（忽视函数的定义域出错）函数火%）=ln（4+3%-N）的单调递减区间是.5.（忘记函数的单调区间出错）已知函数y=/U）是定义在-2,2上的减函数，且犬。+1）勺（2a）,则实数。的取值范围是.（四）走进高考6.2021全国甲卷下列函数中是增函数的为（）宵A.段）=一 B.於）=Wc.於）=%2 D.婚）=我提升关键能力考点突破掌握类题通法 考点一确定函数的单调性或单调区间基础性角度1判断或证明函数的单调性1.（一题多解）试讨论函数抬尸 h%#o）在J1,1）上的单调性.听课笔记：反思感悟 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤（1）取值：设%1,%2是定义域内的任意两个值，且%1%2.（2）作差、变形：作差X2）-/U 1）,并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判 断差的符号的方向变形.（3）定号：确定差的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论.（4）判断：根据定义作出结论.提醒判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等.角度2利用函数图象求函数的单调区间2.求函数兀0=N+2团+1的单调区间.听课笔记：一题多变(变条件)若题2中函数变为八%)=1%2+1,如何求解?反思感悟 由图象确定函数的单调区间需注意两点(1)单调区间必须是函数定义域的子集；(2)图象不连续的单调区间要分开写，用“和或“，”连接，不能用“U”连接.角度3复合函数的单调区间3.函数1%)=111(%22%8)的单调递增区间是()A.(一8,-2)C.(1,+8)听课笔记：B.(一8,1)D.(4,+0)反思感悟复合函数单调性的确定方法若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的 单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”.考点二函数单调性的应用综合性 角度1比较函数值的大小例12022武汉模拟已知函数於尸 口1 5若=/213),8=m7),c=1)7(沏)(%2一项)ab B.cbaC.acb D.hac听课笔记：Xlog38),则a,b,c的大小关系为()A.cab B.acbC.bac D.ab0时，r)1.(1)求人0)的值，并证明贝x)在R上是单调增函数；(2)若解关于的不等式丹%2+2%)+式i门4.听课笔记：一题多变(变条件，变问题)例3中，函数/(%)满足的条件改为定义域为(0,+8),/=当X1 时，於)0”.求。1)的值;(2)证明：/(%)为单调递减函数；(3)求不等式式2x+1)42%)的解集.反思感悟求解含的不等式，应先将不等式转化为犬勺5)的形式，再根据函数的单调性去掉 应注意根，应在定义域内取值.角度4求参数的值或取值范围例4(1)2022哈尔滨模拟已知函数段)=卜板一2,0 x 1,在(0,+8)上为单调递增函数，则。的取值范围为()A.(1,+8)B.(1,2)C.(1,2 D.(0,2x52022贵阳市高三摸底函数y=在(-1,+8)上单调递增，则。的取值范围是()A.a3C.gW3 听课笔记：B.a2)/1)卜(%2i)ab B.cbaC.acb D.bac1)”,b=,c=f(e),则 a,h,c2.设函数火%)=l在区间3,4上的最大值和最小值分别为M,m,则2 3 3 8A.3 B.8 C.3 D.3(2-a+1,x0成立，那么实数。的取值范围是()A.(0,2)B.(1,2)原2)C.(2,+8)d.J(已 0,4.2022济南模拟已知函数x)=若犬2%2)4%),则实数%的取值范围是.微专题求函数最值的常用方法 思想方法一、单调性法：12例1函数於)=一+仇”0)在 5 1,b=上的值域为停刃,贝I。1 21解析：:抬尸+仇40)在*上是增函数,/U)min=K Z)=2,/(X)max=/(2)=2.即-2a+b=p 一：+b=2解得。=1,b=答案：1 2名师点评利用函数的单调性求解函数的值域是最基本的方法，解题的关键是准确确定 函数的单调性.二、不等式法主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法.常用的不等式 有以下几种：a22 22ab(a,一为实数);1(心0,40);abWI 2 J-2(a,b 为实数).例2已知函数1%)=M F,则火%)的最大值为.解析：设，=sin%+2,则/1,3,则 sin2%=2)2,贝U g Q)=1=/+4(1W/W 3),由“对勾函数”的性质可得g在1,2)上为减函数，在(2,3上为增函数，又g=1,g(3)=3,所以g(/)max=g(l)=l.即负力的最大值为1.答案：1名师点评在利用均值不等式法求函数最值时，必须注意“一正”“二定”“三相 等”，特别是“三相等”，是我们易忽略的地方，容易产生失误.三、换元法换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择 换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最 值.如可用三角代换解决形如屋+抉=1及部分根式函数形式的最值问题.例3(1)函数1%)=%+2。1一区的最大值为；(2)求函数=%厘的值域.解析：设.1一区=，020),所以=1户，所以y=*%)=%+2，匚至=1一户+2/=F+2f+l=1/+2.所以当，=1 即=0 时，ymax=A%)max=2.(2)换元法：由4%220,得一2WxW 2,所以设=2cos9(9 0,7r),贝!y=2cos 0 V4 4 ms=2cos。-2sin 0=2短cos.因为e+*eG+3所以cos 4/e L 叫所以y2 也,2,答案：（1）2（2口一2 显,2名师点评在使用换元法时注意换元后新元的范围（即定义域），特别是三角换元后新函 数的周期性对值域的影响.四、数形结合法数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值 的一种常用的方法.例 4对，记 maxa,。=a,agb 上,ap1-=lx 21 xo r(x)。得出函数八%)的定义域为 ia4.令，=4+3%2,则y(%)=ln(T.4)t.因为函数/在 飘上单调递增，在 U/上单调递减，而函数y=lnr在定艮4)义域上单调递增.根据复合函数的单调性性质可知，函数的单调递减区间为 巨，,答案：(-2 a+1 2-2 2a2a,解得：一1式。1.答案：1,1)6.解析：对于凡x)=-x,由正比例函数的性质可知，火%)是减函数，故A不符合题意;对于%)=由指数函数的单调性可知，0,Xl 10,X2 10时，八%1)-/2)0,即T1)次%2),函数人%)在(-1,1)上单调递减;当。0时，危1)一段2)0时，/(%)0,函数/U)在(-1,1)上单调递减；当。0,函数凡r)在(-1,1)上单调递增.(x2+2x4-1 x 0 x2 2x4-1.x 0.t-(x+2.x0,得4 或2.设，=9-2%8,则y=lnr为增函数.要求函数x)的单调递增区间，即求函数/=%2匕-8在定义域内的单调递增区间.,函数，=?-2r8在(-8,2)上单调递减，在(4,+8)上单调递增，函数兀x)的单调递增区间为(4,+8).答案：D考点二例1解析：函数加尸 是R上的减函数，又1噌822区214=4。乙所以大4。7)勺3)勺(log 38),g p ba为1时，区%2)-/(a)(%2即)=在1,4上是增函数,所以凡x)=31 ai在1,4上是增函数，所以 M=/a)max=A4)=2=,m=/U)=O.因此“一根=31正故选A项.(2)令 4+4=7,则后2,.%2=户一4,.y+设/)=/+,则力在2,+8)上为增函数,5，g)min=%(2)=7=5(%=0 时取等号).即y最大值为答案：(1)A(2)5例3解析：令=y=0,得40)=-1.在R上任取XX2,则%20,八工112)1.又 fiXl)=j(Xl X2)+X2=fiXl X2)+/(2)+1/%2),所以函数凡r)在R上是单调增函数.(2)由1)=1,得4,得凡必+2%)+41 x)+15,即+%+1)次 3),又函数兀0在R上是增函数，故/+x+i3,解得1,故原不等式的解集为 xxl.一题多变解析：(1)令汨=%20,代入得人1)=人为)一/(%1)=0,故7U)=0.(2)任取%1,%2$(0,+),且1%2,则*1,由于当1时，X%)0,所以/W0,即於)加2)0I 2-x0 1(2x+1 2-x 物火,解付一 x故原不等式的解集为卜卜2得例4解析：(1)要使函数火%)=卜病一2.O x 1,在(0,十8)上为增函数，则|al满足 2 0,故laW 2,则。的取值范围为(1,2,故选C.X5尸=1+x5所以当a-3=(1,+8)上单调递增，所以(一1,+)(a+2,+),所以 a+2 1,即 3,综 上知，。的取值范围是(一8,3,答案：(1)C(2)C对点训练1.解析：依题意凡X)在(1,+8)上单调递减，在(-8,1)上单调递增，且凡T)关于=1对称，,a=f(-3=/a J J，n卬火2).即 ca0,所以y=/U)在R上是增函数.J 2一鼻0，a 13i(2-a)X 1+1 a z所以 解得&答案：D4.解析：根据函数凡r)的图象(图略)可知，大%)是定义在R上的增函数.2 x2x,2x=#%),如果存在一个非零常数T,使得当取定义域内的任何值时，都有r+7)=,那么就称函数y=A%)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数/(%)的所有周期中 的正数，那么这个就叫做/(%)的最小正周期.二、必明3个常用结论1.函数奇偶性常用结论(1)如果函数;U)是偶函数，那么应0=/3|).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相 反的单调性.(3)在公共定义域内有：奇土奇=奇，偶偶=偶，奇乂奇=偶，偶乂偶=偶,奇义偶=奇.2.函数周期性常用结论对H%)定义域内任一自变量的值：(1)若凡x+a)=-/U),贝lj T=2a(a0).1(2)若犬%+a)=3,则 7=2的0).若於+。)=一 9，则 T=2a(a0).3.函数对称性常用结论(1)若函数y=r+q)是偶函数，则函数y=x)的图象关于直线=。对称.(2)若对于R上的任意都有人2。一%)=/(%+力是奇函数，则函数y=/(x)的图象关于点S，0)中心对称.三、必练4类基础题(一)判断正误1.判断下列说法是否正确(请在括号中打“或“X”).(1)“。+8=0”是“函数人%)在区间仅，口上具有奇偶性”的必要条件.()(2)若函数/(%)是奇函数，则必有10)=0.()(3)若函数=火%+。)是偶函数，则函数y=A%)的图象关于直线=。对称.()(4)若函数=/(%+/?)是奇函数，则函数=/(%)的图象关于点S，0)中心对称.()(5)已知函数y=r)是定义在R上的偶函数，若在(一8,0)上是减函数，则在(0,+)上是增函数.()(6)若T为y=A%)的一周期，那么T(Z)是函数人%)的周期.()(二)教材改编2.必修LP36练习Ti改编下列函数为偶函数的是()A.1 B.J(x)x2+xC.fix)=2x2x D.犬%)=2、+23.必修145复习题B组T4改编设/(%)是定义在R上的周期为2的函数，当工1,f-4x2+2,-1 x 0,t x，0 x0,x2+2x 1,x 0.（4求%）=听课笔记：反思感悟判定函数奇偶性的两种常用方法(1)定义法注意对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在刈使八一%0)=一xo),不能判 断函数凡X)是奇函数.考点二 函数奇偶性的应用综合性、应用性例22019全国H卷已知危)是奇函数,且当0时，次%)=一/,若加2)=8,则 Q=(2)设奇函数兀r)的定义域为-5,5,若当%0,5时，凡r)的图象如图所示，则不等式火%)0的解集是听课笔记：反思感悟函数奇偶性的应用(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值.(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定 义求出.(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据凡x)切一%)=0得到关于参数的恒等 式，由系数的对等性或等式恒成立的条件得方程(组)，进而得出参数的值.(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象.(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值.注意对于定义域为/的奇函数八%),若0,则10)=0.【对点训练】1.2022武汉质检下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A.yx sin x B.yx In xE1-1C.产 H D.y=xln(信+1-%)2.已知人%)为定义在R上的奇函数，当20时，%)=2，+m，则火-3)=.3.2022贵阳市第一学期监测考试函数黄%)=(%1)2可以表示为奇函数/%)与偶函数 g(%)的和，则g 等于()A.-2 B.0C.1 D.2考点三函数的周期性及其应用综合性例3(1)2022重庆质检已知函数於)是定义在R上的奇函数，对任意的实数%,fix-2)=八%+2),当%(0,2)时，则/?=()A._，B._ 4 c.，D.*(2)已知人%)是定义域为(-8,+8)的奇函数，满足火1一%)=41+%).若41)=2,则式1)+/(2)+A3)+-+X50)=()A.-50 B.0 C.2 D.50(3)已知火%)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0W%2时，火%)=/一%,则函数y=/(%)的图象在区间0,6上与轴的交点个数为.听课笔记：反思感悟求函数周期的方法方法解读适合题型定义法具体步骤为：对于函数y=/Q),如果能够 找到一个非零常数T，使得当工取定义域 内的任何值时，都有H%+7)=A%)，那么 T就是函数y=/U)的周期非零常数T容易确定的函数递推法采用递推的思路进行，再结合定义确定周 期.如：若/(x+a)=x),则 x+2a)=/(%+a)+a=-/Cx+a)=/(%)，所以 2a 为4%)的一个周期含有凡x+a)与人工)的关系式换元法通过换元思路将表达式化简为定义式的 结构，如：若q),令 xa=t,则=f+a,则/(f+2a)=/(/+Q+a)=火/+。-4)=义。，所以2a为加;)的一个 周期jbxd)=j(bxc)型关系式【对点训练】1.已知函数人%)的定义域为R,且满足火工+y)+次v)，且式 2)=型产0,则42021)=()A.2021 B.1 C.0 D.-12.已知函数火%)的定义域为R,火%+2)为偶函数，火2%+1)为奇函数，则()B./-1)=0c.12)=0 D.14)=0考点四函数性质的综合运用综合性角度1函数的单调性与奇偶性例 4(1)已知奇函数於)在 R 上是增函数，g(x)=xj(x).若 a=g(log 25.1),b=g(20S),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.abc B.chaC.bac D.bca(2)2020新高考I卷若定义在R的奇函数火%)在(一8,0)单调递减，且2)=0,则满 足欢%1)20的x的取值范围是()A.-1,1 u(3,+6)B.-3,-1 U(O,1)C.-1,0 u(l,+b)D.-1,0 U(l,3)听课笔记：反思感悟1.比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自 变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小；2.对于抽象函数不等式的求解，应变形为X1)M X2)的形式，再结合单调性，脱去，了 变成常规不等式，转化为为%2)求解.角度2函数的奇偶性与周期性例5(1)2022贵阳调研定义在R上的奇函数危)满足人2%)=小)，且当一 lW x0 时，段)=2工一1,则川og 220)=()A.B.C.D.(2)已知八%)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若41)1,犬5)=H，则实数。的取值范围为()A.(-1,4)B.(-2,0)C.(-1,0)D.(-1,2)听课笔记：反思感悟周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求 函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.角度3函数的奇偶性与对称性相结合例6已知定义在R上的函数八%),对任意实数%有1%+4)=火%),若函数4%1)的图象关于直线=1对称，3的解集为()A.信，】。)B.(一 aUQO,+8)C.(1,10)G，l)u(l，1。)2.已知_/(%)是定义域为R的奇函数，且函数/U+2)为偶函数，则下列结论不正确的是()A.函数y=r)的图象关于直线=1对称B.犬4)=0C./U+8)=r)D.若火-5)=1,则火2019)=-1微专题函数性质中“三个二级”结论的应用 数学抽象函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题 时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.结论1抽象函数的对称性已知函数火%)是定义在R上的函数.(1)若a+%)=/S一%)恒成立，则的图象关于直线=对称，特别地，若%)恒成立，则y=x)的图象关于直线x=a对称.(2)若函数y=x)满足式1+%)+14一%)=0,即则1%)的图象关于点(a,0)对称.例1定义在R上的函数段)满足：对任意xR有加+4)=危)；/)在0,2上 是增函数；41+%)=黄3%),则下列结论正确的是()A.犬7)勺(6.5)勺(4.5)B.17)勺(4.5)勺(6.5)C.火4.5)勺(6.5)47)D.犬4.5)47)勺(6.5)解析：由知函数/(%)的周期为4,由式1+%)=/(3一%),知函数/(%)图象关于直线=2 对称，由知函数4%)在0,2上单调递增，则在2,4上单调递减，且在0,4上越靠近x=2,对应的函数值越大，又火7)=犬3),式6.5)=火2.5),火4.5)=,则火0)=0.例2设函数0.t|x+3|-3*0,4.解析：由 得一且W 0,所以函数7(%)的定义域为(一1,虱-D0)U(0.1).所以於尸 ET=,)因为八-%)=r 所以/(%)是奇函数.答案：奇(*+-)+-1 卜+35.解析：因为於)=_/2/,所以於+1)=/-”=f 引s葭=解析：(3)由 1恒+31 3*0得2W%W 2 且W 0.次0的定义域为2,0)U(O*2.关于原点对称.此时，有段产 金尹=x.火一%)=一火),.7A)是奇函数.(4)当%0 时，犬%)=%2+2%+1,%0,%)=(%y+2(-%)1=2x 1=/(-X);当 0,人一%)=一(一%)2+2(%)+1=一/2%+1 fix).所以火%)为奇函数.考点二例 2 解析：由题意得，当 x0,x0 时，fix)=-Xx)=(eax)=e-av,所以 川n2)=e-E2=*厂=21=8=23,即 21=23,所以。=一3.(2)由图象知，当040；当2%W 5时，又/U)是奇函数，当一 2a0 时，八%)0,当一5W%2 时，0.综上，x)0 的解集为(-2,0)U(2.5.答案：(1)-3(2)(-2,0)U(2,5对点训练1.解析：A中，yxsinx为偶函数，D中，yx In(4十1一x)是偶函数.B中，1-e*函数y=x In%的定义域为(0,+),非奇非偶函数.C中，/(-%)=B-I