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交通大学2000年保送生数学试题一、选择题（本题共15分，每小题3分.在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填 在括号内）1.若今天是星期二，则3期8天之后是（）A.星期四 B.星期三 C.星期二 D.星期一2.用13个字母A,A,A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率是(),48 216 1728A.B.C.13!13!13!8D.-13!3.方程cos2x-sin2x+siiu=+l有实数解，则实数机的取值范围是A.m-3 C.m-18(D.-3 m 0）.HT8 力X+hx+e x 0 14.（10分）设/（%）=在=0处可导，且原点到/（x）中直线的距离为一，原点到/（x）中lx+m,x 0）5.（8 分）证明不等式：1 W Js inx+Jcosx W 2 x e 0,y .6.（8分）两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是.若射手甲先射，谁先2命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率.7.（11分）如图所示，设曲线y=L上的点与x轴上的点顺次 X构成等腰直角三角形AAxB2A2,直角顶点在 曲线丁 二上.试求4的坐标表达式，并说明这些三角形 的面积之和是否存在.AX复旦大学2000年保送生招生测试数学试题(理科)一、填空题(每小题10分，共60分)1.将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，第组含”个数,即1；2,3；4,5,6；令恁为第八组数之和，则为=.2.sin c c+sin oc+)+sin oc)=.3.lim(77+2)log2(4-2)-2(+1)log2(77+1)+wlog2 n=_.，一8 一 4.已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角，和底 面成60度角,则两对角面面积之比为.5.正实数满足关系式2_呼+4=0,又若烂1,则y的最小值为.6.一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从站台追赶火车 给火车司机送上急件，然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离站台1000米处，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了 米.二、解答题(每小题15分，共90分)1.数列适合递推式。+1=3恁+4,又6=1,求数列前n项和S.2.求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点.你还知道其它圆锥曲线的光 学性质吗？请叙述但不必证明.3.正六棱锥的高等于，相邻侧面的两面角等于2a rcsin；(3行-指),求该棱锥的体积.(行+病)4.设Zi,Z2/3/4是复平面上单位圆上的四点，若Z+Z2+Z3+Z4=0.求证：这四个点组成一个矩形.5.设（1+夜）二%十以后，其中%,%为整数，求一00时，区的极限.6.设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过1.问：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点.请 证明你的结论.2000年交大联读班试题1.直线=QX+b关于=的对称直线为 O2.已知 a,b,c 是 48。的三边,a wl,bc,且满足 10g He a+log.b。=2 log 5。log j，则ABC是 的三角形。3.已矢口(31+1)8=+%7 H-F671X+8 卜13.已知/为整数，为非负整数，国+回0)上，点/坐标为(_；,0),抛物线在尸点的切线与歹轴及直线尸4夹角 相等，求点P的坐标。15.在%中，q=4,a.=J*+6，求证：|风一3|v 一3求呼凡。16.已知 =/一12,v=2xy,若点(%/)在单位圆上以(0,1)为起点按顺时针方向转一圈，求点(#)的轨迹;若点(/)在直线=a x+b上运动，而点(%v)在过点(1,1)的直线上运动，求a,b的值。17.若%/满足2-2盯+y 2-r Gy+12=0,求下列函数的最小值：+y；中；x3+y3 o18.若方程d-27%+加=0有3个不同实根，求实数机的取值范围。19.己知函数%)满足/(%+y)=x)+/(y)+孙(+y),又/(0)=1,求函数/(%)的解析 式。20.口袋中有4个白球，2个黄球，一次摸2个球，摸到的白球均退回口袋，保留黄球，到第 次两个黄球都被摸出，即第+1次时所摸出的只能是白球，则令这种情况的发生概率是Pn，求舄,EM。2001复旦基地班数学试题1.设函数丁=上的反函数是它自身，则常数。=O x+a2.不等式log2（-x）2 log2 x2 的解集是 o3.直线2%7y+8=0与2x-7y 6=0间的足巨离是。4.如果（3+%）的展开式的系数和是（1+厂的展开式的系数和的512倍，那么自然数与冽的关系为 O5.椭圆,:一-一的焦距是_。4一 2cos，6.己知4x-3y-5=0,那么（-1/+（y-37的最小值为。7.与正实轴夹角为a rcsin（sin 3）的直线的斜率记为k,则a rct a n k=。（结果 用数值表示）8.从个人中选出机名正式代表与若干名非正式代表，其中非正式代表至少1名且名额不限，则共有 种选法（冽）。9.正方体ABC。-48GA中，BQ与截面所成的角为 o10.sec 50+=_o（结果用数值表示）cot 1011.函数g（%）=C0SG-C0s（g-的最小正周期是（）A.2万 B.7i C.2 D.112.设函数/（%）=4的反函数为广1（）,则对于0内的所有%值，一定成立的是（）A./(x)/-(%)B.C./(x)=/-l(x)D./(x)/-(x)13.肝除以9所得的余数是（）A.6 B.-1 C.8 D.114.抛物线/=4（%-1）的准线方程为（）A.x=1 B.x=2 C.x=3 D.%=4 1x=t+-15.由参数方程；所表示的曲线是（）y=t、tA.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆16.己知抛物线=%2一5%+2与=依2+6%+0关于点(3,2)对称，则a+b+c的值为()A.1 B.2 C.3 D.417.作坐标平移，使原坐标下的点(a,0),在新坐标下为(O,b),则=/(%)在新坐标下的方程为()A.=/(x+7)+Z)B.y=f(x+0)的圆锥中，体积的最大值为()A.-7ra3 B.0,(“=2,3,)其前项乘积(二,-5)(=1,2,)，证明2是等比数列。求4中所有不同两项的乘积之和。25.己知棱柱48C-4与G的底面是等腰三角形，AB=AC,上底面的项点同在下底面的射影是48。的外接圆圆心，设8C=a,ZA1AB=-,棱柱的侧面积为2百3证明:侧面AXABBX和AXACCX都是菱形，BXBCCX是矩形。求棱柱的侧面所成的三个两面角的大小。求棱柱的体积。26.在直角坐标系中，。是原点，48是第一象限内的点，并且4在直线=(t a ne)x上(其中夕/工二),=3，8是双曲线廿二1上使048的面积最小的点，求:U 2J 1 1 夜 cos。当。取(5弓)中什么值时，0/5的面积最大，最大值是多少？2001年交大联读班数学试卷1.数N=2“x 58的位数是 o2.log2log3(log4 x)=log3 log4(log2)=log4 log2(log 3 z)=0 求x+y+z=o3.p=log8 3,q=log3 5,则用 p应表示 lg 5=。4.2 sin 0,5=(x,j)(x-/)2+/0,b0,若(a+1)3+1)=2,贝Ia rct a na+a rct a nb=()12.一个人向正东方向走x公里，他向左转150。后朝新方向走了 3公里，结果他离出发点百公里，则工是()A.V3 B.2百 C.3 D.不能确定_j _ _j _ _j _13.(1+2-豆)(1+2一M)(1+2专(1+2力(1+2”)=()i _ _ _ 1,A.-(1-2 32)-1 B.(1 2 32尸 c.1-2 32 D.-(1-2 32)14.设团表示士的最大整数，其中仑0且3=(%,刃|(%-7)2+/咒7=一用,则()A.对于任何3点(0,0)不属于S B.S的面积介于0和%之间C.对于所有的仑5,S被包含在第一象限 D.对于任何3 S的圆心在直线y=x上15.若一个圆盘被2(心0)条相等间隔的半径和一条割线所分隔，则这个圆盘能够被分成的不交迭区域的 最大个数是()A.2+2 B.3w-l C.3 D.3w+l16.若券=7,IjIiJ cos45+zcosl35+.+fcos(45+90w)+.+z40cos3645=()A.+B.C.(21-200 D.(2l+20z)17.若对于正实数x和歹定义*y=贝ij（）x+yA.是可以交换的，但不可以结合 B.是可以结合的，但不可以交换C.*“既不可以交换，也不可以结合 D.是可以交换和结合的18.两个或两个以上的整数除以N（N为整数，N1）,若所得的余数相同且都是非负数，则数学上定义这两个或两个以上的整数为同余.若69,90和125对于某个N是同余的，则对于同样的N,81同余于（）A.3 B.4 C.5 D.7三、计算题（本题共78分）19.（木题10分）已知函数而）=f+2x+2,的最小值是g.试写出g的解析表达式.(X+-)6-，+1)-220.(本题12分)设对于x 0,/(%)二 号-工1一，求/(%)的最小值.(x+-)3+x3+-X X_ 121.（本题16分）已知函数8复旦大学2001年选拔生考试数学试题一、填空(每小题5分，共45分)1.sirLx+siny=0,则 cosNx-sii?产_.2.平面标功成a的二面角，平面为中的椭圆在平面态中的射影是圆，那么椭圆短轴与长轴之比为3.(?+2x+2)(y-2+2)=l,则x+尸_.24.电话号码0,1不能是首位，则本市电话号码从7位升到8位，使得电话号码资源增加5.2002=8%3+82。2+8。1+。()，OSa oMC。正整数，贝U。0=.6.的常数项为.yJX7.limG(J+l&)=.一88.空间两平面a/，是否一定存在一个平面均与平面。,尸垂直？.9.在/3C中，cos(2-Q=cos(2C-5),则此三角形的形状是.二、解答题(共87分)1.求解：cos3x t a n5x=sin7x.2.数列3,3-怆2,3-(-1)怆2.问当为几时，前项的和最大?3.求证：xR 时，|jc-1|4|x-1|.34.。为何值时，方程昼十一二=log,(4 1)有解?只有一解？1g 2 1g 25.一艘船向西以每小时10公里的速度航行，在它的西南方向有一台风中心正以每小时20公里速度向正 北方向移动，船与台风中心距离300米，在台风中心周围100米处将受到影响，问此船航行受台风影 响的时间段长度？6.x-4-1-2/=1的所有整数解Q,y),试证明：|23 K-y 32002复旦基地班数学考题1.已知：sin x+sin 歹=0 贝U cos2 x-cos2 y=。2.x,ye.R,(x2+2x+2y2-2y+2=l,贝Llx+y=。3.空间两平面见，%与，%均垂直？(请填“存在”或“不存在”)4.从奇偶性看：函数=ln(x+VP Ti)是 o5.平面%，/成a角，一椭圆Ee%在为内射影为一个圆，求椭圆长轴与短轴之比 O6.2002=外%+8匕2+8q+g(1 Wq W 7,q e N),a3=。7.43。中，cos(2-C)=cos(25-C),贝ij ABC 为。8.若0作为特殊号码不能放在首位，则电话号码由7位升至8位后，理论上可以增加 _电话资源。9.1 近-9中不含%的项为 o10.解方程：cos 3x-t a n 5x=sin 7x11.一艘船以=10h w/向西行驶，在西南方向300h w处有一台风中心，周围100h w为暴雨区，且以岭二20批/向北移动，问该船遭遇暴雨的时间段长度。12.已知：0.3010 lg 2v 0.3011,要使数列3,3 lg 2,3(l)lg 2 的前 n 项和最大，求。13.参数。取何值时:log。Jog x(2Q x)log。2 logx 21哨j2有解?仅有一解?14.在0,句内，方程a cos2x+3a s inx-2=0有且仅有二解，求a的范围。15.证明方程：d2j?=i的任一组整数解(工,田任。0)都有:1-32-X-V4=qx+力Z)的图象与三条抛物线=犬+3、j;=x2+6x+7 =/+4%+5分 别有2,1,0个交点，贝lj(a,b)=。3.若3=4=6。，贝p 十 二L。a 2b c4.若227=2,则8、=o5.函数仁:sec：%Ta n%的值域为_。sec x+t anx7.正实数满足Y+V+z2=i,贝ij+二十二的最小值是_X y Z8.一个圆内接四边形ABCD,已知AB=4,BC=8,CD=9,DA=7,则9.实数a1满足a jl-J+bJl J=i,贝 1/+/=o10.口2+1_，的展开式中，的系数为。H.方程V7=7=后-国，i67V2,则方程有 个实数解。12.4SC三边长a,b,c满足a WbWc,b=n,a,b,c e N*),则不同的三角形有 个。13.掷3个骰子，掷出点数之和为9的倍数的概率为 o14.若不等式04%2+。%+54只有唯一实数解，贝lj a=o15.有两个两位数，它们的差是56,两数分别平方后，末两位数相同，则这两个两位数为16.在一个环形地带上顺次有五所学校A、B、C、D、E,它们各有15、7、11、3、14台机 器，现要使机器平均分配，规定机器的运输必须在相邻学校间进行，为使总的运输台数 最少，则A应给B 台，B应给C 台，A给E_台，总共运输_台。17.用数学归纳法证明以下结论：1+5+5+50 且 x2+y2+z2l,则H-H-的最小值为_.x y z5.若2匚2-三2,则8=.6.若。也。为正实数，且3=4=6,则,+=_.a 2b c7.（1-!）（1 一!）（1 一 f 的值为-2.8.函数y二sec%次的值域为_.sec x+t gx9.若圆内接四边形力3CQ的边长/3=4,BC=8,CD=9,DA=7,则cos/=.10.若 a,b 满足关系：4J1-+bjl-a=1,则 c+b=.11.C?+l）9的展开式中d的系数是_.2x12.当14。血时，方程J4%2=0_|刈的相异实根个数共有 个.13.若不等式04%2+水+544有唯一解，则4=.14.设。也C表示三角形三边的长，均为整数，且a c,若（正整数），则可组成这样的三角形个.15.有两个二位数，它们的差是56,它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数为.16.某市环形马路上顺次有第一小学至第五小学等5所小学，各小学分别有电脑15,7,11,3,14台，现在为使各小学的电脑数相等，各向相邻小学移交若干台，且要使移交的电脑的总台数最小，因此，从第一小学向第二小学移交了 台，从第二小学向第三小学移交了 台，从第五小学向第一小学移交了 台，移动总数是 台.二、计算与证明题（本题共86分）17.（本题12分）（1）设n为大于2的整数，试用数学归纳法证明下列不等式：1 1 1 1 丫2 q jn x（1）1+2 ；（2）已知当0%工1 时，1 1,2 3 n n 6 x试用此式与（1）的不等式求 lim （sin 1+2 sin +3 sin H-F n sin）nF 2 3 n18.（本题14分）若存在实数x,使/（%）=%,则称x为/（%）的不动点，已知函数有两个关于 x+b原点对称的不动点（1）求a,6须满足的充要条件；（2）试用力（x）和I的图形表示上述两个不动点的位置（画草图）19.（木题14分）欲建面积为144m2的长方形围栏，它的一边靠墙（如图），现 有铁丝网50m,问筑成这样的围栏最少要用铁丝网多少米？并求此时围栏的 长度.144m220.（本题14分）设数列a满足关系4+i=2a；=），若N满足许=10=2,3,），试证明：&区1；k九(?)=COS-y(左为整数)21.（本题16分）设力为实数，且0。6,若46满足f（a）=f（b）=2f（号）试写出。与b的关系，并证明在这一关系中存在b满足3*422.（本题16分）4和3两人掷骰子，掷出一点时，原掷骰子的人再继续掷，掷出不是一点时，由对方接 着掷，第一次由/开始掷,设第次由力掷的概率是Pn.试求：（1）P+i用Pn表示的式子;（2）极限lim Pn2003年上海交通大学冬令营选拔测试数学试题2003.1.4一、填空题（本大题共40分，每题4分）1.三次多项式大工）满足3）=41）,且有两个相等的实数根2,则第三个根为.2.用长度为12的篱笆围成四边形，一边靠墙，则所围成面积S的最大值是.2 23.已知x,x+2y=1则I的最小值是_.x y4,有4个数，前3个成等比数列，后3个成等差数列，首末两数和为32,中间两数和为24,则这四个 数是.5.y（x）=ax7+bx+x2+2xl,!（?,当自然数佗6时成立.复旦大学2003年暨保送生考试数学试题一、填空题(本大题共80分，每题8分)1 t21.函数y=,当时，y=-1+5,则7(x)=_.2x 22.方程 x2+(a-2)x+a+1=0 的两根 x i用 在圆 x2+y2=4 上,则 a=.3.划船时有8人，有3人只能划右边，1人只能划左边，共有 种分配方法.4.A x|log 2(x2-4A：-4)0,5=x|x+11+x-316,则 4 cB=.5.数列为的前八项和为S，若皿=3(1-0),81),贝IJS产.6.若(X-1)2+&-1)2=1,则匕1的范围是_.x-37.边长为4的正方形/3CQ沿3。折成60二面角，则3。中点与4的距离是8.已知上|=2,无|=3,|zi+z21=4,则=.9.解方程/瓦、二10.(a 0),lim-2+/二、解答题(本大题共120分)11.已知匕|=1,求匕?+z+4的最小值.12.颂。2,。3,，斯是各不相同的自然数，介2,求证：0)的图象上,求此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值.15.一圆锥的底面半径为12,高为16,球a内切于圆锥，球Q内切于圆锥侧面，与球5外切，以 次类推，(1)求所有这些球的半径的通项公式；(2)所有这些球的体积分别为力必,匕，.求lim(匕+匕+喔).116.已知数列为的前附项和为S，an=(V/7 1+)(V n +V n+l)(Vz?+J”+1)求*2003 17.定义闭集合S,若a,bwS,则a+beS,a-beS.(1)举一例，真包含于我的无限闭集合.(2)求证对任意两个闭集合Si$u&,存在ceA,但c纪BUS2.同济大学2003年暨保送生考试数学试题一、填空题31./（%）是周期为2的函数，在区间上，/（x）=|x|,则/（2加+,）=（切为整数）.2.函数产cos2x-2cosjc/0,2刀的单调区间是.3.函数y=f的值域是.4.5.函数y=/（x）,兀什1）-/00称为7（x）在X处的一阶差分，记作，对于在X处的一阶差分，称为工）在x处的二阶差分42；,则y=/（x）=3x-x在x处的二阶差分42）.6.7.从1100这100个自然数中取2个数，它们的和小于等于50的概率是8.正四面体438,如图建立直角坐标系，。为/在底面的投 M点坐标是,CN与所成角是.9.双曲线f_y 2=i上一点尸与左右焦点所围成三角形的面积10.椭圆上+匕=1在第一象限上一点。（沏,外），若过。的切线 4 3标轴所围成的三角形的面积是.二、解答题影，则与坐,丫 2+?kx+k11.不等式Iog 2-0对于任意XR都成立,求左的取值范围.2 3x2+6x+412.bx+c 1 1不动点，小）=二.（1）5,3为不动点，求3c的关系;（2）若/=5,求危）的解析式；（3）13.14.15.Qin 0.ccq f）已知丁=-上一（6e0,2万），（1）求y的最小值；（2）求取得最小值时的6.2+sin9+cos9正三棱柱ABC一小3,AAi=h,|3囱曰，点E从小出发沿棱/A 后沿4D运动,NAtDtE=&求过EBiG的平面截三棱柱所得的截 积S与弥函数关系式.已知数列斯满足。I=%.。一 i(n=2,3,.),运动，面面若求b”；求(3)求 lima”./=1 T816.抛物线丁=2川，（1）过焦点的直线斜率为七,交抛物线与力乃，求|/卦（2）是否存在正方形/BCD,使。在抛物线上，。在抛物线内，若存在，求这样的左，正方形/8C。有什么特点？上海交通大学2004年保送生考试数学试题(90分钟)2004.1.3一、填空题：1.已知是非负整数，且x+y+h lO,x+2y+3z30,则x+5y+3z的范围是.2.长为1的钢丝折成三段与另一墙面合成封闭矩形，则它的面积的最大值是.3.函数)=Vsinx+Vcosx(0 x )的值域是.24.已知。也c为三角形三边的长，b=n,且把后c,则满足条件的三角形的个数为.5.，+b和*+b%+c的最大公约数为+1,最小公倍数为/+(6+3)%+4,贝c i ,b=,c=5d=.6.已知1 a J5，则方程y/a2-x2=42-x 的相异实根的个数是.7.(72004+36)818 的个位数是.8.已知数列a满足q=1,。2=2，且%+2=3a+i-2a”，则2004=_-9.“X”的正方格，任取得长方形是正方形的概率是.10.已知 6xyzabc=7abc xyz,贝 1xyzabc=.11.12.二、解答题1.已知矩形的长、宽分别为。、b,现在把矩形对折，使矩形的对顶点重合，求所得折线长.2.某二项展开式中，相邻。项的二项式系数之比为1：2：3：-：a,求二项式的次数、a、以及二项式 系数.3.J(x)-ax+x+(5-d)C+()x-9a,证明：(1)总有段)=0；(2)总有段)#0.4.%)二 一,对于一切自然数”，都有、(%)=工(%)，且一)，求力8(%)5.对于两条垂直直线和一个椭圆，已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切，求椭圆中心的轨迹.6.已知也为公差为6的等差数列，2+=4+1(1)用外、瓦、表示数列%的通项公式；(2)若为=-b=a,a e 27,33,求a”的最小值及取最小值时的的值.复旦大学2004年保送生考试数学试题（150分钟）2003.12.21一、填空题（每题8分，共80分）1.x8+1=（x4+l）（x4+ax2+1）,则。=.2.已知|5x+3|+|5x-4|=7,则x的范围是.2 23.椭圆二+匕=1,则椭圆内接矩形的周长最大值是16 9-4.12只手套（左右有区别）形成6双不同的搭配，要从中取出4只正好能形成2双，有 种取法.5.已知等比数列3中4=3,且第一项至第八项的几何平均数为9,则第三项为.6.m+i）x+a 0,尸0,。+4,，求处2a.3.已知过两抛物线G：%+1=（歹 1）2,。2：（歹-1）2=-4x-a+l的交点的各自的切线互相垂直，求4.若存在M,使任意fe。（D为函数/（%）的定义域），都有|/（刈”,则称函数/（%）有界.问函数/(%)=Ls inL在x e(0,，)上是否有界？x x 25.求证:1 H-j=H-j=+,H-j=3.6.已知E为棱长为。的正方体43CQ小囱G5的棱43的中点，求点3到平面小石。的距离.7.比较Iog 24 25与log25 26的大小并说明理由.8.已知数列%、也满足=-%-22，且6+=6a“+6b”，又q=2,4=4,求(1)an,bn；(2)简单解答：一、填空题：1.V2 2.(0.6,0.8)3.20 4.二、解答题：5.证明1：1 一(-1_!_m3+1)-)m+l)m Jm+l-J-+1Jm+1+1m+l+m-122而 1 1 1 1 1 1,V2 1 1原式v 1H-j=H-j=-j=H-1/-/=2 H-j=-/，-1)+1 1 J一l-J=-J=2H Jh 1-1)Jh 11 4n yln X 1 1_0）,点3是抛物线的焦点，点。在正x轴上，动点/在抛物 线上，试问：点。在什么范围之内时是锐角？上海交通大学2005年保送、推优生数学试题一、填空题(每小题5分，共50分)1.方程12 px-=0 的两根匹,2 满足 42+V2,则 p=_(pe R).2P2.sin x+cos x=-,xg(0,),贝U 尸.6*8986.22-42+62-82+-+(-1)w+1(2y=.7.若 z 3=l,且 zgC,!Ulj z3+2z2+2z+20=.8.一只蚂蚁沿1x 2x 3立方体表面爬，从一对角线一端到另一端最短距离为.9.4封不同的信放入4只写好地址的信封中，装错的概率为,恰好只有一封装错的概率为10.已知等差数列。中，/+%+。11+%9=44,a5+a9+ax(y=.二、解答题(第1题8分，第2、3、4题各10分，第5题12分)1.X，+办2+bX+c=0的三根分别为a,6,c,并且a,b,c是不全为零的有理数，求a,6,c的值.128 2-3.已知gZ,有=(l+)204,则=n 20044.将3个12cmx l2cm的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分(如左图)，将这6部分接于一个边长为 6后的正六边形上(如下图)，若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，该多面 体的体积为.5.已知=d6x,x、y eR,贝ij(x y)=2.是否存在三边为连续自然数的三角形，使得（1）最大角是最小角的两倍；（2）最大角是最小角的三倍;若存在，求出该三角形；若不存在，请说明理由.3.二2：8、地的最大值为9,最小值为1,求实数名4x2+l4.已知月利率为先采用等额还款方式，则若本金为1万元，试推导每月等额还款金额相关于海函数关 系式（假设贷款时间为2年）.5.对于数列%：1,3,3,3,5,5,5,5,5,，即正奇数左有左个，是否存在整数J，使得对于任意正整数都 有。二/J+s+广恒成立（田表示不超过x的最大整数）.2005年复旦大学考试试卷一、填空题：1.=x eR|/og2(x2-x-l)0,5=xgR|2x-2-x1,ABc=(8。表示 8 在 R 上的 补集).2.数 x 满足 X H=1 求%300 H而=.X X3.求p=5Gs in。一5cos。的圆心坐标，0,2万)4.抛物线y=2/+2a%+/与直线y=x+1交于/和3两点，|力用最大时,a=.5.lim(J/+1-J/一-1)=_.8 /、,n(n+1)6.求 1+3+6+-=.2-7.一个班20个学生，有3个女生，抽4个人去参观展览馆，恰好抽到1个女生的概率为.8.求3网在十进制中最后4位.9.定义在R上的函数作)(转1)满足/(%)+2/1%+2,2)=4015 ),则人2004)=.10.求1+sin”的最大值是_.2+cos%二、解答题2 21.在四分之一个椭圆三十,=1(%。/0)上取一点尸，使过尸点椭圆的切线与坐标轴所围成的三角 形的面积最小.AC2.在 zl/3C 中，t a iL4:t a n5:t a nC=1:2:3,求-.AB3.在正方体N3CQ一m31GA中，E、F、G点分别为4。、/小、小囱中点，求：(1)8到面跖G距离；(2)二面角GEE一口平面角夕4.在实数范围内求方程：/10+%+行7=3的实数根.5.已知s ina+cosa=。(0 0,/n 2 9 有-1-1H-W M.32 4+12006年上海交通大学推优、保送生考试数学试题一、填空题(每题5分，共50分)1.矩形ABCD中，AD=a,AB=b,过/、C作相距为h的平行线AE、CF,则AF=2.一个正实数与它的整数部分，小数部分成等比数列，那么这个正实数是3.2005!的末尾有连续 个零.4.(x+2y 展开式中，d项的系数为5.在地面距离塔基分别为100m、200m、300m的4、B、。处测得塔顶的仰角分别为用,且。/=90。，则塔高为6.三人玩剪子、石头、布的游戏，在一次游戏中，三人不分输赢的概率为；在一次游戏 中，甲获胜的概率为.7.函数=10g 3(Y依0在(8,1 6)上单调递增，则实数。的取值范围是.8.0是=1的非实数根，0)(0)+1)(疗+1)=9.2张100元，3张50元，4张10元人民币，共可组成 种不同的面值.10.已知以k+2人!+(+1)!+(人+2)!，则数列凡前口 00项和为二、解答题(第11题8分，第12、13、14题每题10分，第15题12分)11.a,b,c ER,ahc O,b，c,a(b-c)x 2+b(c-a)x+c(a-b)=0 有两个相等根，求证：!，!，,成等差数列.a b cX o椭圆二+12.一顶点 4(0,1),是否存在这样的以力为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形，若存在，求出共有几个，若不存在，请说明理由.13.已知匕|=1,左是实数，z是复数，求廿+上z+l|的最大值.14.若函数形式为/(x,y)=a(%M(y)+c(x)d(y),其中a(%),c(x)为关于x的多项式，力(y),6/(y)为关于y的多项式，则称/(%?)为尸类函数，判断下列函数是否是。类函数，并说明理由.(1)1+x y；(2)l+x y+x2/.15.设-2 9,解方程/+2而2+12%+9左+27=0.2006年复旦大学推优、保送生考试数学试题1.（本题20分）求和：（1）7+77+777+777 7（2）2005+20052005+200520052005+?005 40052009”个 20052.（本题15分）试构造函数f（x）,g（x）其定域为（0,1）,值域为0,1（1）对于任意4G 0,1,危）=。只有一解；（2）对于任意4G 0,1,g（x）=a有无穷多个解.3.（本题15分）对于一个四位数，其各位数字至多有两个不相同，试求共有多少个这种四位数.4.（本题15分）对于任意“G N,%均为非负实数，且石试用数学归纳法证明：（1一匹）（1一%2）（1一）2 g成立.5.（本题 20 分）求证：（C：）2+（C；）2+（C：）2+（C；）2=CM6.（本题20分）。力满足何条件，可使二 2 =一；+5对称，求曲线C、。的方程.10.（本题20分）已知抛物线y=a=2,直线44都过点（1,-2）且互相垂直，若抛物线与直线/2中至 少一条相交，求。的取值范围.11.（本题15分）/（%）在1,+8）上单调递增，且对任意x,y el,+8）,都有/（%+止:/廿成立，证明：存在常 数 k,使在 xg 1,+）上成立.上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题一、填空题(每小题5分，共50分)1.设函数/(%)满足2/(3%)+/(2-3%)=6%+1,则/(%)=.2.设见仇c均为实数，且3“=6=4,则,工=_.a b3.设。0且a wl,则方程/+1=-+2+2。的解的个数为 .4.设扇形的周长为6,则其面积的最大值为 .5.11!+22!+3,3!h-n-n=.6.设不等式1(%1)4爪1一歹)与/+/4人的解集分别为“和n.若MuN,贝IJ k的最小值 为 7.设函数/(X)=区，则S=l+2/(x)+3/2(x)+.x258.设.20,且函数/(x)=(a+cosx)(a+s inx)的最大值为,则4=.9.6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交 卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 .2y-110.已知函数(x)=对于=1,2,，定义工+6)=工(工)，若/5。)=工(%)，则x+l人8(%)=二、计算与证明题(每小题10分，共50分)11.工件内圆弧半径测量问题.为测量一工件的内圆弧半径尺,工人用三个半径均为的圆柱形量棒a,。2,。3放在如图与工件圆弧相切 的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒Q顶侧面的垂直深度，试写出火用表示的函数 关系式，并计算当厂=10相机,=4相加时，7?的值.12.设函数/(%)=卜inM+|cosx,试讨论/(%)的性态(有界性、奇偶性、单调性和周期性)，求其极值,并作出其在0,2%内的图像.13.已知线段43长度为3,两端均在抛物线1=_/上，试求力8的中点到V轴的最短距离和此时又点的坐标.14./(x)=(1+a)x4+x3-(3+2)x2-4a,试证明对任意实数a：(1)方程/(x)=0总有相同实根；(2)存在/，恒有15.已知等差数列凡的首项为。，公差为b,等比数列4的首项为b,公比为。，“=1,2,，其中(7,6均为正整数，且 a/07.1+（小（21）x0I 48.2a/29.10.43452%35-3x2 211.R=r+r,hR=60mm12.1,；偶函数；一k冗,kjr+13.min-；M 4f5+也 口 一 2 J/7、1 7,%左+1ZeZ；k7r+,-jt、7 2 4 2(keZ)；周期为114.略；反证法15.2；3：3x 22n-3+2n-22008年交大冬令营数学试题2008.1.1一.填空题Y-1 31.若/(%)=丁匚，g(x)=/-*(%),则 g()=_2+1 5X+2.函数;；二与上的最大值为 x2+8-3.等差数列中，5%=3卬3,则前“项和0取最大值时，的值为4.复数|z|=1,若存在负数a使得z?-2a z+(?2-。=0,则(7=5.若(：05%一$出=,贝ijcos x sin，%=.6.数列为的通项公式为g=_1_ny/n+1+(+1)则这个数列的前99项之和S99=7.(l+x)+(l+x)2+(1+x)98+(1+X)99 中 的系数为.13 5 78.数列a中，a。0,q ,a?=6,。3 ，。彳 20,。5 ，。6=42,a1 ,=72,2 4 6 8此数列的通项公式为q=.9.甲、乙两厂生产同一种商品.甲厂生产的此商品占市场上的80%,乙厂生产的占20%；甲厂商品的合 格率为95%,乙厂商品的合格率为90%.若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为10.若曲线。1：x2_/=0与。2：(x-。)2+必二1错误！未指定书签。的图像有3个交点，则 a=.二.解答题1.30个人排成矩形，身高各不相同.把每列最矮的人选出，这些人中最高的设为。；把每行最高的人选 出，这些人中最矮的设为6.(1)。是否有可能比b高？(2)。和b是否可能相等？2.已知函数/(外=办2+法+。(。0),且/(x)=没有实数根.那么/(/(%)=%是否有实数根？并 证明你的结论.3.世界杯预选赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在A组，进行主客场比赛.规定每场比赛胜 者得三分，平局各得一分，败者不得分.比赛结束后前两名可以晋级.(1)由于4支队伍均为强队，每支队伍至少得3分.于是甲专家预测：中国队至少得10分才能确保出线；乙专家预测：中国队至少得11分才能确保出线.问：甲、乙专家哪个说的对？为什么？(2)若不考虑(1)中条件，中国队至少得多少分才能确保出线？4.通信工程中常用n元数组(a,%，/，.表示信息，其中q=0或1,i、nw N.设w=(71,72,(7(w,v).5.曲线/=2px(p 0)与圆(-2)2+j?=3交于力、3两点,线段48的中点在y=x上，求).2008年交大冬令营数学试题参考答案2008.1.1一.填空题Y-1 31.若/(%)=：，g(x)=/T(%)，则 g()=_.22+1 5X+12.函数;；二与上的最大值为.一x2+8 43.等差数列中，5%=3卬3,则前“项和0取最大值时，的值为.204.复数|z|=1,若存在负数。使得z?-2qz+/一。=o,则。=5.若cos%s in1=一，贝Ucos%sin，%=.2-161 a/526.数列”的通项公式为an-_1_+（/?+i）Vw则这个数列的前99项之和S99=9107.(l+x)+(l+x)2+(1+%)98+。+%)99中3的系数为.=39212251 3 5 78.数夕 1J an J 中，a。0,t Z ,a2=6,。3=一，。4=20,42,aj ,=72,此数列的通项公式为q=.(一 1)(笈+D(9.甲、乙两厂生产同一种商品.甲厂生产的此商品占市场上的80%,乙厂生产的占20%；甲厂商
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