高考数学一轮复习讲义第14单元 计数原理、概率、随机变量及其分布.pdf

第十四单元 计数原理、概率、随机变量及其分布14.1 计数原理1.（2021辽宁模拟）已知集合”=1,-2,3,N=-4,5,6,7,从M,N这两个集合中各 选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二 象限内不同的点的个数是（）A.12 B.8C.6 D.4【答案】C【解析】分两步：第一步先确定横坐标，有3种情况，第二步再确定纵坐标，有2种情况，因此第一、二象限内不同点的个数是3x2=6,故选C.2.（2021安徽合肥模拟）从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的 三位数，其中奇数的个数为.【答案】18【解析】分两类情况讨论：第1类，奇偶奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有2 种选择，共有3x2x2=12（个）奇数；第2类，偶奇奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有1种选择，共有3x2x1=6（个）奇数.根据分类加法计数原理知，共有12+6=18（个）奇数.3.（2021河南郑州模拟）若椭圆+孑=1的焦点在y轴上，且me 1,2,3,4,5）,123,4,5,6,7,则这样的椭圆的个数为.【答案】20【解析】当机=1时，=2,3,4,5,6,7,共6个；当根=2时，”=3,4,5,6,7,共5个；当根=3时，”=4,5,6,7,共4个；当m=4时，n=5,6,7,共3个；当用=5时一，=6,7,共2个.故共有6+5+4+3+2=20（个）满足条件的椭圆.4.（2021浙江宁波质检）已知。1,2,3,4,5,6,7,则方程一份2=4可表示 不同的圆的个数为（）A.7 B.9C.12 D.16【答案】C【解析】得到圆的方程分两步：第一步：确定。有3种选法；第二步：确定h有4种选法,由分步乘法计数原理知，共有3x4=12（个）.故选C.4.现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两 块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有.答案：48 解析：不同的着色方法共有4x3x2x（l+l）=48种.5.（2021江苏南通模拟）为了强化劳动观念，弘扬劳动精神，某班级决定利用班会课时间进 行劳动教育.现要购买铁锹、锄头、镰刀三种劳动工具共10把，每种工具至少购买1把，则不 同的选购方法共有 种.【答案】36【解析】设购买铁锹把，锄头丁把，镰刀 把，则x+y+z=i,当=1时，y+z=9,有8种选购方法；当x=2时-，y+z=8,有7种选购方法；以此类推，共有8+7+6+5+4+3+2+1=36种不同的选购方法.6.如果一个三位正整数如、口2。3“满足且。2。3,则称这样的三位数为凸数（如120,343,275等），那么所有凸数的个数为.解析：若。2=2,则百位数字只能选1,个位数字可选1或0,“凸数”为120与121,共2个.若放=3,则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2x3=6（个）.若敛=4,满足条件的“凸数”有3x4=12（个），,若公=9,满足条件的“凸数”有8 x9=72（个）.所以所 有凸数共有 2+6+12+20+30+42+56+72=240（个）.答案:2407.（2021浙江温州高三适应性测试）已知关于 的方程卜4+卜一目=|x d+卜4有且仅有一个实数根，其中互不相同的实数，、b、c、Jg1,2,3,4,5,6）,且卜可=卜则，、b、c、。的可能取值共有 种.（请用数字作答）【答案】56【解析】方程,4+|%力|=|%d+卜4有且只有一个实根，由绝对值三角不等式可得|%。|+|%一4|（%。）一（一削=a-b,|x-c|+|x 2-c）-（x-=c-,因为k一耳=卜一回，考虑匕，cd,因为a+b-2x,x a+x-b=b-a,a x b%d+14c+d-2x,x c d-c,c x d,2%-(c+d),%2 d作出函数丁=,一同+|%可与函数丁=|%。|+,4如下图所示:则有Z?c或d CD 顺序涂色，下面分两种情况：（1）A,C不同色（注意：B,。可同色、也可不同色，。只要不与A,。同色，所以D可以从剩余的2种颜色中任意取一色）：有4x3x2x2=48种不同的涂法.（2）A,C同色（注意：B,。可同色、也可不同色，。只要不与A,C同色，所以。可以从剩 余的3种颜色中任意取一色）：有4x3x1x3=36种不同的涂法，故共有48+36=84种不同的 涂色方法.故选C.15.某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母b C,。中选 择，其他四个号码可以从09这十个数字中选择（数字可以重复），若车主第一个号码（从左 到右）只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他可选的 车牌号码的所有可能情况有（）A.18 0 种 B.360 种 C/72O 种 D.9 60 种【答案】D【解析】由题意知，按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3 种选法，其余三个号码各有4种选法.因此可选的车牌号码的所有可能情况有5x3x4x4x4=960（种）.故选D.16.若根，均为非负整数，在做m十的加法时各位均不进位（例如：134+3 802=3 936）,则称（如力为“简单的”有序对，而称为有序对（如）的值，那么值为1 942的“简单的”有序对的个数是.答案：300解析：第1步，1=1+0,1=0+1,共2种组合方式；第 2 步，9=0+9,9=1+8,9=2+7,9=3+6,，9=9+0,共 10 种组合方式；第 3 步，4=0+4,4=1+3,4=2+2,4=3+1,4=4+0,共 5 种组合方式；第4步，2=0+2,2=1+12=2+0,共3种组合方式.根据分步乘法计数原理，值为1 942的“简单的”有序对的个数是2x10 x5x3=300.17.在平面直角坐标系内，点P（m加的坐标满足存。，且m匕都是集合1,2,3,4,5,6中的元素.又点尸到原点的距离|0尸巨5,则这样的点P的个数为.答案：20解析：依题意可知，当时，b5,6,两种情况；当。=2时，b5,6,两种情况；当。=3时一，h=4,5,6,三种情况；当。=4时-，b=3,5,6,三种情况；当a=5或6时，b各有五种情况.所以共有2+2+3+3+5+5=20（种）情况.18.（2022江苏南京市建邺中学高三月考）某地为了庆祝建党100周年，将在7月1日举行大 型庆典活动.为了宣传报道这次活动，当地电视台准备派出甲、乙等4名记者进行采访报道,工作过程中的任务划分为“摄像”、“采访”、“剪辑”三项工作，每项工作至少有一人参加已知 甲、乙不会“剪辑”但能从事其他两项工作，其余两人三项工作都能胜任，则不同安排方案的 种数是.【答案】【解析】若参与“剪辑”工作的有1人，则不同的分配方法数为2x（23-2）=12；若参与“剪辑”工作的有2人，则不同的分配方法数为2种.综上所述，不同安排方案的种数是12+2=14种.19.（2022浙江温州开学摸底考试）把编号为溟=1,2,3,4,5）的五个小球随机放入编号为/（/=1,2,3,4,5）的五个盒子，每盒一个小球，若满足|i/区2,则不同的放法共有_种.【答案】31【解析】I，一/12 的所有可能包括：z=1,J=4,5；i=2,j=5；i=4,/=l；i=5,j=1,2.（1）盒1放球1时一，剩下的盒子依次记为盒2、盒3、盒4、盒5,剩下四球的所有排列：2345,3245,4235,2354,3254,4253,2435,3425,4325,2453,2534,3524,4523,2543（其中球5不能放在盒2,不用列举.而3452,4352,3542,4532满足|i-j|2,应舍去）共14种;（2）盒1放球2时，剩下的盒子依次记为盒2、盒3、盒4、盒5,剩下四球的所有排列：1345,3145,4135,1354,3154,4153,1435,1453,1534,1543（其中球 5 不能放在盒 2,不用列举.而 3415,4315,3451,4351,3514,4513,3541,4531 满足|i-j|2,应舍去）共10种；（3）盒1放球3时，剩下的盒子依次记为盒2、盒3、盒4、盒5,剩下四球的所有排列：1245,2145,4125,1254,2154,1425,1524,（其中球 5 不能放在盒 2,不用列举.而 4152,2415,4215,1452,2454,4251,2514,4512,1542,5241,4521 满足|，一/|2,应舍去）共7种;所以共有14+10+7=31种.20.（2021广东清远模拟）从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选 法种数为（）A.6 B.5C.3 D.2【答案】B【解析】5个人中每一个都可主持，所以共有5种选法.故选B.21.（2021天津模拟）从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和 为偶数的不同取法的种数为（）A.30 B.20C.10 D.6【答案】D【解析】从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个不同的数字的和为偶数可分为两类：第一类，取出的两个数都是偶数，有0和2,0和4,2和4,共3种不同的取法；第二类，取出的两个数都是奇数，有1和3,1和5,3和5,共3种不同的取法.由分类加法计数原理得，共有3+3=6种不同的取法.故选D.22.（2021湖北襄阳模拟）满足力-1,0,1,2,且关于的方程以2+2%+。=0有实数 解的有序数对（。，力的个数为（）A.14 B.13C.12 D.10【答案】B【解析】方程/+2%+。=0有实数解的情况应分类讨论.当。=0时，方程为一元一次 方程2x+b=0,不论b取何值，方程一定有解.此时人的取值有4个，故此时有4个有序 数对.当今0时，需要/=44刈K）,即。后1.显然有3个有序数对不满足题意，分别为（1,2）,（2,1）,（2,2）.分0时，（a,b）共有3x4=12（个）实数对,故存0时满足条件的实数对有123=9（个）,所以答案应为4+9=为.故选B.23.（2021湖北模拟）从集合0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a,。组成复 数a+b i,其中虚数的个数是.【答案】36【解析】因为。+历为虚数，所以原0,即人有6种取法，。有6种取法，由分步乘法计数 原理知可以组成6x6=36个虚数.24.（2021烟台模拟）从一1,0,2这四个数中选三个不同的数作为函数的系 数，则可组成 个不同的二次函数，其中偶函数有 个（用数字作答）.【答案】18 6【解析】一个二次函数对应着a,h,c（a/）的一组取值，。的取法有3种，力的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3x3x2=18（个）二次函数.若二次函数为偶函 数，则。=0,同上可知共有3x2=6（个）偶函数.25.（2021麻城市高三联考）有A,B,C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁 4个操作人员的 技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型 电脑.从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有 种（用数字作答）.【答案】8【解析】由于丙、丁两位操作人员的技术问题，要完成“从4个操作人员中选3人去操作这 三种型号的电脑这件事，则甲、乙两人至少要选派一人，可分四类：第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作。型电脑，分2步安排这3人操作的电脑的 型号，有2x2=4种方法；第2类，选甲、乙、丁 3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人分别去操作这三种 型号的电脑，有2种方法；第3类，选甲、丙、丁 3人，这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑，只有1种方法；第4类，选乙、丙、丁 3人，同样也只有1种方法.根据分类加法计数原理，共有4+2+1+1=8种选派方法.26.（2021山东滕州模拟）工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置 的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓，则不同的固定 螺栓方式的种数是./3 2.卜 4 1.5 6/【答案】60【解析】根据题意，第一个可以从6个螺栓里任意选一个，共有6种选择方法，并且是机会 相等的，若第一个选1号螺栓，第二个可以选3,4,5号螺栓，依次选下去，共可以得到 10种方法，所以总共有10 x6=60（种）方法.14.2排歹I、组合1.计算a+G+a+c$的值为（用数字作答）.【答案】210【解析】原式=a+a+C8=a+C$=Cfo=Cfo=21O.2.（2021山东模拟）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那 么全班共写了 条毕业留言.（用数字作答）【答案】1560【解析】由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所 以全班共写了 A2o=4Ox39=l 560（条）毕业留言.3.（2021.太原联考）高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演 出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（）A.1 800 B.3 600C.4 320 D.5 040【答案】B【解析】先排除舞蹈节目以外的5个节目，共A?种，再把2个舞蹈节目插在6个空位中，有A2种，所以共有A?A-3 600（种）.故选B.4.（2021.湖北襄阳模拟）用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数共有（）A.9 6 个 B.78 个 C.72 个 D.64 个【答案】B【解析】根据题意知，要求这个五位数比20 000大，则万位数必须是2,3,4,5这4个数 字中的一个，当万位数是3时一，百位数不是数字3,符合要求的五位数有蜀=24（个）；当万位数是2,4,5时，由于百位数不能是数字3,则符合要求的五位数有3*（人才一人=54（个）,因此共有54+24=78（个）这样的五位数符合要求.故选B.5.（2021南宁、柳州联考）从1,2,3,，10中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻,则不同的选法种数是（）A.72 B.70C.66 D.64【答案】D【解析】从1,2,3,，10中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有C1G+C：a=56种选法，三个数相邻共有C1=8种选法，故至少有两个数相邻共有56+8=64种选法.故 选D.6.（2021辽宁五校协作体联考）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位 女生入选，则不同的选法共有 种.（用数字填写答案）【答案】16【解析】从2位女生，4位男生中选3人，共有C2种情况，没有女生参加的情况有C?种，故共有&-&=204=16（种）.7.（2021成都诊断）从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一 人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时一，他们 参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为.（用数字作答）【答案】5 040【解析】根据题意,分2种情况讨论，若甲、乙之中只有一人参加,有CktAg=3 600（种）;若甲、乙两人都参加，有C3-Ag-A=21 440（种）.则不同的安排种数为3 600+1 440=5 040.8.从0,123,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数 为（）A.300 B.216C.18 0 D.162答案C【解析】（1）分两类：第一类,不取0,即从123,4,5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有 重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有C京C务A%=72（个）符合要求的四位数;第二类，取0,此时2和4只能取一个，再取两个奇数，组成没有重复数字的四位数，根据 分步乘法计数原理可知，共有CJC%（A才一Al）=108（个）符合要求的四位数.根据分类加法计数原理可知，满足题意的四位数共有72+108=180（个）.故选C.9.（2022陕西榆林高三月考）3个女生和5个男生排成一排.（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果甲必须排在乙的右面（可以不相邻），有多少种不同的排法？【解析】（1）3个女生全部排在一起，可以把她们看作一个整体，再和5个男生排列，共有 6个元素，排成一排有醴种不同的排法，故共有可用=4320种不同的排法；（2）先把5个男生排列，共有种不同的排法；5个男生排列共有6个空位置，将3个女生插到6个空位置，共有A；,故共有66=14400种不同的排法；（3）因为两端不能排女生，所以两端只能选2个男生，有&种不同的排法，而对于6个位置排列共有可种不同的排法，故共有耳父=14400种不同的排法；（4）因为8人排列，其中2人顺序固定，故共有小不=20160种不同的排法.10.国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕 业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校 去任教，有 种不同的分派方法.答案90解析 先把6个毕业生平均分成3组,有建祟=15（种）方法.再将3组毕业生分到3所学校,有Al=6（种）方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有笔旨用=90（种）分派方法.11.（2021湖北武汉期中）数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领 先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思 想”，“世界数字通史”，“儿何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每 学年至多选门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）A.60 种 B.78 种 C.8 4 种 D.144 种【答案】B【解析】由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为1,1,2或0,1,3或0,2,2若是1,1,2,则先将4门学科分成三组共种不同方式.再分配到三个学年共有 4用种不同分配方式，由乘法原理可得共有笠G用=36种，若是0,1,3,则先将4门学 科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有看=24种，若是0,2,2,则先将门学科分成三组共种不同方式，再分 为202配到三个学年共有A；种不同分配方式，由乘法原理可得共有一看=18种4所以每位同学的不同选修方式有36+24+18=78种，故选B.12.若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有 种不同的分法.【答案】360【解析】将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有CA种取法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有Cg种取法；第3步，余下的3名教师作为一组，有C3种取法.根据分步乘法计数原理，共有 mcH60种取法.再将这3组教师分配到3所中学，有用=6种分法，故共有60 x6=360种不同的分法.13.（2021浙江镇海模拟）3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只去1 个村，每个村至少1人，则不同的分配方案共有（）A.4种 B.5种 C.6种 D.8种【答案】C【解析】先将3名大学生分成2组有C1G种分法，再分配到2个村有A3种分法，则不同的 分配方案共有aC%A3=6种.故选C.14.（2021昆明诊断）某班星期三上午要上五节课，若把语文、数学、物理、化学、外语这五 门课安排在星期三上午，数学必须比化学先上，则不同的排法有（）A.60 种 B.30 种 C.120 种 D.24 种【答案】A【解析】把语文、数学、物理、化学、外语这五门课程任意排列，有Ag=120种情况，其 中数学排在化学之前和数学排在化学之后的情况数目是相同的，则数学比化学先上的排法有 120宁=60种.故选A.15.（2021安徽合肥模拟）从2位女生、4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女 生入选，则不同的选法共有 种（用数字作答）.【答案】16【解析】法一可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有CjC?=12 种；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有CK4=4种.根据分类加法计数原理知，至少有1位女生入选的不同的选法有12+4=16种.法二 从6人中任选3人，不同的选法有CW=20种，从6人中任选3人都是男生，不同的 选法有&=4种，所以至少有1位女生入选的不同的选法有20-4=16种.16.（2021福州调研）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A.144 B.120C.72 D.24【答案】D【解析】“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的 坐法种数为A?=4x3x2=24.故选D.17.（2021辽宁本溪模拟）将标号为1,2,3,4,5,6的6个小球放入3个不同的盒子中.若每个盒子放2个，其中标号为1,2的小球放入同一盒子中，则不同的方法共有（）A.12 种 B.16 种C.18 种 D.36 种【答案】C【解析】先将标号为1,2的小球放入盒子，有3种情况；再将剩下的4个球平均放入剩下 的2个盒子中，共有笔A3=6（种）情况，所以不同的方法共有3x6=18（种）.故选C.18.（2021洛阳高三第一次统考）某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每 人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法有 种.（用数字作答）【答案】36【解析】第一步，选2名同学报名某个社团，有&C1=12种报法；第二步，从剩余的3个 社团里选一个社团安排另一名同学，有GC=3种报法.由分步乘法计数原理得共有12x3=36种报法.19.（2021.临川一中模拟）十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员（含4 3两市代表团）安排至a,b,c三家宾馆 入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A,8 两市代表团必须安排在。宾馆入住，则不同的安排种数为（）A.6 B.12C.16 D.18【答案】B【解析】如果仅有A,3入住。宾馆，则余下三个代表团必有2个入住同一个宾馆，此时共 有C执3=6（种）安排数，如果有A,8及其余一个代表团入住。宾馆，则余下两个代表团入 住儿c,此时共有Ga9=6（种）安排数，综上，共有不同的安排种数为12故选B.20.（2021江苏高三一轮联考）从3名女同学和2名男同学中任选2名同学参加活动，若选 出的2名同学中至少有1名男同学，则不同的选法共有（）A.3 种 B.7 种 C.10 种 D.12 种【答案】B【解析】从3名女同学和2名男同学中任选2名同学参加活动共有C=10种，全是女生共有C；=3种，所以至少有1名男同学共有10-3=7种.故选B.21.（2021广东高三模拟）某校A、B、C、D、E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，且都不能在第3号位置，则不同的出场次序有（）种.A.18 B.36 C.60 D.72【答案】B【解析】因为A在B的前面出场，且A,B都不在3号位置，则情况如下：A在1号位置，B又2、4、5三种位置选择，有3A；=18种次序;A在2号位置，B有4,5号两种选择，有2用=12种次序；A在4号位置，B有5号一种选择，有用=6种；故共有18+12+6=36种.故选B.22.（2021河南洛阳高三四模）某市从名优秀教师中选派名同时去个灾区支教（每地 人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案的种数为（）A.168 O B.9 60 C.600 D.48 0【答案】C【解析】若甲去，则乙不去，丙去，此时不同的选派方法数为。；国=240种，若甲不去，则乙可能去也可能不去，丙不去，此时不同的选派方法数为360种.综上所述，不同的选派方法数为360+240=600种.故选C.23.（2021广西柳州高三三模）尊老一直都是中华民族的优良传统.高三二班全体同学走进县 敬老院开展公益活动，全班分成五个小组分别完成扫地、擦窗户等五项不同任务，根据需要，一小组不擦窗户，则不同的任务安排方案种数是（用数字作答）.【答案】96【解析】由题意，一小组不擦窗户，则一小组的安排方案有4种，将剩下的四个组安排到其 他四项任务，有=24种安排方案，则共有4x24=9 6种不同的安排方案.24.（2021江西高三联考）新冠疫情防控期间，某中学安排甲、乙，丙等7人负责某个周一至 周日的师生体温情况统计工作，每天安排一人，且每人负责一天.若甲、乙、丙三人中任意两 人都不能安排在相邻的两天，且甲安排在乙，丙之间，则不同的安排方法有 种（用数字作答）.【答案】480【解析】选将甲、乙、丙之外的四人进行排列，共有A：种方法，再用甲、乙、丙插空，甲在中 间，有C；A；种方法，故共有A：C；A；=48 0.25.某商场安排甲乙两名员工，在门口为没随身携带口罩的顾客发放口罩.昨天，两人共领到 编号110的10个口罩，每人5个，放在盒子里，自上而下依次发放，且甲乙二人发放是随 机的.若10个口罩恰好发完，则不同的发放顺序有 种.【答案】252【解析】由题意可知，10个口罩被随机分成五个和五个，然后再分给甲乙两名员工,C6 C5所以共有一=252种.26.(2021陕西渭南二模)以“全民全运同心同行”为主题口号的第十四届全国运动会将2021年9月15日至27日在陕西举行.组委会安排AB,。,。,七五名工作人员到我市三个比赛场馆做准备工作，每个场馆至少人，则不同的安排方法有()A.150 种 B.210 种 C.240 种 D.300 种【答案】A【解析】根据题意，分两步进行分析：第一步：分成3组，每组至少一人.(1)按照一组3人，其他两组各1人，共有屐=10种情况；(2)按照一组1人，其他两组各2人，共有=15种情况.故共有10+15=25种分组方案;第二步：排序.将分好的三组进行全排列，分到三个不同的比赛场馆，共用=6种排法.故五名工作人员到三个比赛场馆，每个场馆至少1人，不同的安排方法共有25x6=150种.故选A.27.在大课间风采展示中，某班级准备了 2个舞蹈，2个独唱，1个小品，共5个节目.要求相同类型的节目不能相邻，那么节目的不同演出顺序共有 种.【答案】48【解析】5个节目的出场顺序共有耳=120种，其中舞蹈节目相邻出场的有=48种,独唱节目相邻出场的有&A：=48种，舞蹈节目相邻出场且独唱节目也相邻出场的有用其用=24种，所以相同类型的节目不能相邻的出场顺序有1204848+24=48种，28.（2021河北辛集中学期中）已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为11,则不同的放球方法种数为（）A.150 B.240 C.39 0 D.1440【答案】C【解析】因为2+4+5=11或1十2+3+5=11所以5个球放到编号2、4、5的三个盒子中或者放到编号1、2、3、5的四个盒子中（1）5个球放到编号2、4、5的三个盒子中，因为每个盒子中至少放一个小球，所以在三 个盒子中有两种方法：各放1个，2个，2个的方法有空二团=三x3x2xl=9 0种.2x103 cle1 10 x2x1各放3个，1个，1个的方法有51附=-x3x2xl=60种.&2x1（2）5个球放到编号1、2、3、5的四个盒子中，则各放2个，1个，1个，1个的方法有CCCd a4 10 x3x2x1,八八5-1/=-x4x3x2x1=240种.6 4 3x2x1综上，总的放球方法数为90+60+240=390种.故选C.29.（2021甘肃靖远模拟）疫情防控期间，某中学从9位（包含甲、乙、丙、丁）行政人员中选出 6人负责某月1日到6日的学生体温情况统计工作，每人各1天，其中甲、乙、丙、丁四人必 须选中，且甲、乙两人不能安排在相邻的两天，丙、丁两人也不能安排在相邻的两天，则不同 的安排方法共有 种（用数字作答）.【答案】3360【解析】余下5人选2人，即C；,6人全排，即所以共有4=7200种，甲乙捆绑一起，即封，丙丁捆绑一起，即用,2个组合与另外2人全排，即故8&-。；=960；甲乙捆绑一起，与另外4人全排，即若6C；=2400；丙丁捆绑一起，与另外4人全排，即&-6-C；=2400；所以符合条件的有7200-（2400+2400-9 60）=3360种.14.3二项式定理1.（2021辽宁模拟）在（、一2的展开式中，的系数为（）A.-5 B.5 C.-10 D.10【答案】C【解析】。+i=C（5）5r（-2）/=（2六4-2）。令牙=2,的系数为c!（-2=一10.故选C.2.（2021江苏金陵模拟）若（1+3%）（其中QN且论6）的展开式中炉与X6的系数相等，贝I（x3-）4【答案】7【解析】（1+3%）的展开式中含炉的项为C,3%）5=35%5,展开式中含X6的项为c936%6.由两项的系数相等得C Q5=c2.36,解得=7.T Tr+=C：.（尤3）j.（一 Jy=（1）,.c；/展开式的通项为则 尤令12-4r=0得1=3.开式中常数项为：（T）C=-44.（2021.福建高三三模）已知+展开式中的所有项的系数和为64,则实数a=；展开式中常数项为.【答案】1 6【解析】令1=1,可得（。+|（1+%）5展开式中的所有项的系数和为32（“+1）=64,则实数。=1.展开式中常数项为axC；+C；=l+5=6,5.（2021河南联考）已知（3%1）展开式的第5项的二项式系数最大，且为偶数，则（3%1）展开式中一的系数为（）x的展开式中常数项是3.（2021 北京 TU）【答案】-4（%3_1）4【解析】设*A.-252 B.252 C,-28 D.28【答案】B【解析】由题意可得=8,贝1）（3%1）8的展开式的通项是乙+1=最（3%）8 r.（1丫，令8 r=2,解得r=6,则展开式中f的系数为或32=252.故选B.6.（1+2x）5的展开式中，1?的系数为.答案：40解析：7Ui=&（2x=C蚣止,当左=2时，/的系数为（S22=40.7.已知（+1）1=。1+。2%+的/+。11%叱若数列。1，。2,。3，Qk（10后 11，%N）是一个 单调递增数列，则2的最大值是（）A.5 B.6 C.7 D.8答案B解析由二项式定理知，a”=C付1（=1,2,3,11）,又（%+1严展开式中二项式系数最大项是第6项，所以恁=日（），则女的最大值为6.故选B.（2工2+1）（彳-1）8.（2021重庆名校联盟三模）已知 1入）的展开式中各项系数之和为0,则该展开式的常数项是（）A.B.C.9 D.10【答案】C【解析】（2炉+1）彳1的展开式中各项系数之和为0.令=1 得3（一1）5=0,解得4=1.则4-1展开式的通项公式为:J 1)G”5展开式的常数满足:则=4或r=5,则该展开式的常数项是2x（lc；+（_i）5c：=9.故选c.9.（2021福建三明模拟）设“eN且九5,若6202i+能被5整除，则等于.【答案】【解析 1 由 6202+，=（5+1严2 =c；52021+C；52020+c黑：5+C歌+n=C02152021+52020+C露;5+1+其中 C02152021+C；0215 2020+.+C5 能被 5 整除，要使得62021+能被5整除，只需1+能被5整除，所以=4.10.（2021.江苏常州模拟）私一的展开式中的中间项为（）35 A.8Bp C.74D-7-【答案】B【解析】由题意得中间项为.故选B.11.（2021.贵州瓮安高三关门考）当。为常数时，（4+办）展开式中常数项为15,贝1|。=（）A.2 B.-l C.l D.l【答案】D【解析】因为展开式的通项为墨14）（）二屐C312,令3r12=0,所以=4,所以常数项为C：=15,所以/=1，所以=1.故选D.12.（2021江苏南通模拟）的展开式的二项式系数之和为64,则展开式中的常数项为（）A.20 B.-120 C.60 D.-60【答案】C【解析】由题意得2=64,故二6.所以原式为通项为(+=c：(五=(万，令 3牛=0得左二2.故选 C.213.(2021四川成都模拟)多项式(X )(1%)4的展开式中含/项的系数为()XA.-2 B.T C.2 D.4【答案】D【解析】由杨辉三角知(1%)4=1 4%+6f4丁+%4,2?(X )(1-4=(%)(1-4X+6/4?+%4)的展开式的12 项有X X2X-(-4)+()(4%3)=4%2,所以展开式中含 项的系数为4.故选D.X14.(2021.天津宝诋模拟)4+2)的展开式中，常数项为.(用数字作答)【答案】60【解析】由题意二项式(石+工)展开式的通项为(+1=C；()6-.(2)=2JCT令r=2,可得展开式的常数项为7；=22.c：=60.15.(2021河北衡水模拟)已知(l+mLx)(l+xy=。0+4x+a2x2-Fa6xb.a2=5,则【答案】【解析】因为(1+如)(1+%)5=4)+卬%+。2%2+6,其中(1+工丫展开式的通项为Tr+1=C；xrf 令厂=1，则 =C#=5x,令 r=2,则与=C#=1。/,所以(l+mx)(l+Jr)，展开式中工2项为10工2+如5%=5%2,故相=一1.16.(2021江西南昌八一中学高二期末)已知(1 2“2=%+4%+%2+%2/，则2+%+4 2()A 3l2+3 d 312-3 312+1 312-1A.-B.-C.-D.-2 2 2 2【答案】D【解析】令%=1,则-卜42=(1-2)口=1；令 =1 f 贝I 4 4+%+4，=(1+2)=3%；012,1两式相加可得：2(Go+%H-=3U+1,即 4+“2 H-b fl12=-ol2,1 n l2 _i令 =0,则%=(1 0r=1,%+。12=-1-故选 D.17.(2021浙江嘉兴模拟)在二项式的展开式中，有理项共有项，项的系数最小的项为.【答案】4【解析】(2 g)的展开式的通项为7；+1=C(2)6，()=(；)26一禺九早若9凸为整数，则=0,2,4,6,所以展开式中的有理项共有4项，2要使(一；)，26-最小，r应为奇数，令厂=1,3,5,得到的项的系数分别是64,图,巴，27 813比较可知厂=1时一，系数取得最小值，项的系数最小的项为4=-64/.18.(2021山东烟台高三一模)多项式1+1)(工+1)(%+2)(%+3)展开式中/的系数为A.6 B.8 C.12 D.13【答案】C【解析】原式=/(X+1)(X+2)(%+3)+(%+1)(X+2)(%+3),所以展开式中含d的项包含(+l)(x+2)(x+3)中项为=，和(+l)(x+2)(x+3)中3的项为无3,这两项的系数和为fl=12.故选C.19.(2021汕头澄海中学高三月考)展开式中的系数为()A.-3 B.3 C.-15 D.15【答案】D【解析】v(x2+3x-1)5=(3x-1)+x2 5=(3x-1)5+C；(3x-1)4-+(x2 含工的项只存在于(3%Ip中，的系数为C；(I),x3=15.故选D.20.(2021江苏高三期末)522i除以4的余数是.【答案】1【解析】由 52021=(1+4)2021=+41 4+C；02i 42+C黑 42021,52021 除以 4的余数是0221=1 21.(2021四川高三三模)已知(+1)”的展开式二项式系数和为128,则一c：2+c；4+.+C,；(2)=.【答案】-1【解析】由已知可得2=128，解得九=7,所以二项式5+1)7=(1+1)7的展开式的通项公式为=3%令=2,则二项式的展开式为(-2)+C；(-2)+C；(2了+.+C；(2)7=C；-C；2+C；4+.+C；(-2)7=(1-2)7=-122.(2021甘肃兰州质检)已知 C9+2C1+22(+23G+.+2C；=729,则+&+&+.+此等于.【答案】63【解析】逆用二项式定理得 C9+2C1+22&+23G+2a=(l+2)=3=729,即 3,!=36,所以 n=6,所以 Ci+CHC+.+