简单的幂函数.doc

富平中学高一年级数学

第三节 函数的单调性说课稿
富平中学 万春怀
本节教材分析

本节内容，正是初中有关内容的深化和提高.给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图像上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严格的方法，最好根据图像观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性，这样就将以上两种方法统一起来了.
三维目标
1、知识与技能：
（1）建立增（减）函数的概念
通过观察一些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函
数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义 . 掌握用定义证明函数单调性的步骤。

（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。
2、过程与方法

（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3）能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性。
3、情态与价值，使学生感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习函数的紧迫感。

教学重点：函数的单调性及其几何意义．
教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．

教学建议：本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情景，以利于学生作函数图像，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性.还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性的理解.

导入新课设计

导入一: 观察一次函数f (x) = x的图象：
y
x
1
1
O

师：引导学生观察图象的升降.
生：看图. 并说出自己对图象的直观认识.
师：函数值是由自变量的增大而增大，或由自变量的增大而减小，这种变化规律即函数的单调性. 进而教师引出课题.
导入二：观察二次函数f (x) = x2 的图象：O
x
y

函数f (x) = x2 在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的.
向学生提问.教师可以提示、点拨，并引出本节课题.
教学过程

1.提出问题
2.导入新课
3.形成概念
4.应用举例
5.归纳小结
6.板书设计
7.课后作业
8.教学反思

第三节 函数的单调性

富平中学 万春怀

（一）教学目标
1．知识与技能
（1）理解函数单调性的定义、明确增函数、减函数的图象特征.
（2）能利用函数图象划分函数的单调区间，并能利用定义进行证明.
2．过程与方法
由一元一次函数、一元二次函数的图象，让学生从图象获得“上升”“下降”的整体认识. 利用函数对应的表格，用自然语言描述图象特征“上升”“下降”最后运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，从而构造函数单调性的概念.
3．情感、态度与价格观
在形与数的结合中感知数学的内在美，在图形语言、自然语言、数学语言的转化中感知数学的严谨美.
（二）教学重点和难点
重点：理解增函数、减函数的概念；难点：单调性概念的形成与应用.
（三）教学方法
讨论式教学法. 在老师的引导下，学生在回顾旧知，细心观察、认真分析、严谨论证的学习过程中生疑与析疑，合作与交流，归纳与总结的过程中获得新知，从而形成概念，掌握方法.
（四）教学过程
教学
环节
教学内容
师生互动
设计意图
提出
问题
观察一次函数f (x) = x的图象：
y
x
1
1
O

函数f (x) = x的图象特征由左到右是上升的.
师：引导学生观察图象的升降.
生：看图. 并说出自己对图象 的直观认识.
师：函数值是由自变量的增大而增大，或由自变量的增大而减小，这种变化规律即函数的单调性.
在函数图象的观察中获取函数单调性的直观认识.
引入
题题
观察二次函数f (x) = x2 的图象：O
x
y

函数f (x) = x2 在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的.
列表：
x
…
– 4
–3
–2
–1
0
f (x) =x2

16
9
4
1
0

1
2
3
4
…
1
4
9
16
…
x∈(–∞，0]时，x增大，f (x)减少，图象下降.
x∈(0，+∞)时，x增大，f (x)也增大， 图象上升.
师：不同函数，其图象上升、下降规律不同. 且同一函数在不同区间上的变化规律也不同. 这是“形”的方面，从“数”的方面如何反映.
生：函数作图时列表描点过程中，从列表的数据变化可知自变量由 – 4到0变化，函数值随着变小；而自变量由0到4变化，函数值随着自变量的变大而变大.
师：表格数值变化的一般规随是：自变量x增大，函数值y也增大，函数图象上升，称函数为增函数；自变量x增大，函数值y反而减少，函数图象下降. 称函数为减函数.
体会同一函数在不同区间上的变化差异.
引导学生从“形变”过渡到“数变”. 从定性分析到定量分析.
形成概念
函数单调性的概念
一般地，设函数f (x)的定义域为I：
如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f (x1)＜f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是增函数；
x
x1
x2
O
y
f (x1)
f (x2)
y=f (x)

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f (x1)＞f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是减函数.
x
x1
x2
O
y
f (x1)
f (x2)
y=f (x)

师：增函数、减函数的函数值随自变量的变化而变化怎么用数学符号表示呢？
师生合作：
对于函数f (x) = x2 在区间(0，+∞)上. 任取x1、x2. 若x1＜x2，则f (x1)＜f (x2)，即x12＜x22.
师：称f (x) = x2在(0，+∞)上为增函数.
由实例探究规律从而获得定义的数学符号表示.
应用
举例
例1 如图是定义在区间[–5，5]上的函数y = f (x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

训练题1：证明函数f (x) = –2x +1在R上是减函数.

师：投影例1.
生：合作交流完成例1.
师：引导学生完成教材P36练习的第1题、第2题.
师：投影训练题1
生：学生通过合作交流自主完成.
例1【解】：y= f (x)的单调区间有[–5，–2），[–2，1），[1，3），[3，5]. 其中y = f (x) 在区间[–5，–2），[1，3）上是减函数，在区间[–2，1），[3，5]上是增函数.
训练题2 证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
因为f (x1) – f (x2) =2 (x2 –x1)＞0，
即f (x1)＞f (x2)，
所以f (x) = –2x +1在R上是减函数.
掌握利用图象划分函数单调区间的方法.
掌握单调性证明步骤及原理.内化定义，强化划分单调区间的方法.

强化记题步骤与格式.

归纳
小结
1°体会函数单调性概念的形成过程.
2°单调性定义.
3°利用图象划分单调区间.
4°利用定义证明单调性步骤.
师生合作：回顾单调性概念的形式与发展.
师：阐述单调性的意义与作用.

课后
练习
补充作业

例题训练：
例2 证明函数f (x) =3x +2在R上是增函数.
【证明】设任意x1、x2R，且x1＜x2，
则f (x1) – f (x2) = (3x1 +2) – (3x2 +2) = 3(x1–x2).
由x1＜x2得x1 –x2＜0. ∴f (x1) – f (x2)＜0，即f (x1)＜f (x2).
∴f (x) =3x +2在R上是增函数.
训练题2： 证明函数f (x) =在（0，+∞）上是减函数.
【证明】设任意x1、x2(0，+ ∞)且x1＜x2，
则f (x1) – f (x2) =，
由x1，x2(0，+∞)得，x1x2＞0，又x1＜x2，得x2 – x1＞0，
∴f (x1) – f (x2) ＞0，即f (x1)＜f (x2).
∴f (x) =在（0，+∞）上是减函数.
小结：利用定义证明单调性步骤
1.取值 2.作差 3.变形 4.定号 5.结论
（五）归纳小结
1°体会函数单调性概念的形成过程.
2°单调性定义.
3°利用图象划分单调区间.
4°利用定义证明单调性步骤.
师生合作：回顾单调性概念的形式与发展.
师：阐述单调性的意义与作用
反思回顾， 整理知识，提升能力
(六) 板书设计
(七) 课后作业
学生独立完成巩固知识
1. 画出函数f(x)＝|x－1|的图像指出函数的单调区间．
解　∵f(x)＝
的图像如图所示：
由图像可知f(x)在(－∞，1)上是下降的，
在[1，＋∞)上是上升的．
所以f(x)的单调减区间为(－∞，1),单调增区间为[1，＋∞)．
2. 求函数f(x)＝x＋在[1,3]上的最小值和最大值．
解　设1≤x1＜x2≤3，
则f(x1)－f(x2)＝x1－x2＋－
＝(x1－x2)(1－)．
又∵x1＜x2，∴x1－x2＜0，
当1≤x1＜x2≤2时，1－＜0.
∴f(x1)－f(x2)＞0，∴f(x)在[1,2]上是减函数．
当2＜x1＜x2≤3时，1－＞0，f(x1)－f(x2)＜0，
∴f(x)在(2,3]上是增函数．
∴f(x)的最小值为f(2)＝2＋＝4.
又∵f(1)＝5，f(3)＝3＋＝＜f(1)，
∴f(x)的最大值为5.
(八) 教学反思
反思1：
反思2：
反思3：
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