指数函数、幂函数、对数函数增长的比较.doc

课时作业21　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　)
A．f(x)>g(x)>h(x)　　B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)
【解析】　画出函数的图像，当x∈(4，＋∞)时，指数函数的图像位于二次函数图像的上方，二次函数的图像位于对数函数图像的上方，故g(x)>f(x)>h(x)．
【答案】　B
2．若－1<x<0，则不等式中成立的是(　　)
A．5－x<5x<0.5x B．5x<0.5x<5－x
C．5x<5－x<0.5x D．0.5x<5－x<5x
【解析】　在同一坐标系内作出y＝5x，y＝0.2x，y＝0.5x的图像，由－1<x<0，观察图像知5x<0.5x<5－x.
【答案】　B
3．在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a的图像，可能正确的是(　　)

【解析】　函数y＝ax与y＝logax的单调性相同，由此可排除C；直线y＝x＋a在y轴上的截距为a，则选项A中0<a<1，选项B中a>1，显然y＝ax的图像不符，排除A，B，选D.
【答案】　D
4．某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝10ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时 )，y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为(　　)
A．640 B．1 280
C．2 560 D．5 120
【解析】　由题意可知，当t＝0时，y＝10；当t＝1时，y＝10ek＝20，可得ek＝2.故10个细菌经过7小时培养，能达到的细菌个数为10e7k＝10×(ek)7＝1 280.
【答案】　B
5．如图，阴影部分的面积S是h(0≤h≤H)的函数，则该函数的图像是图中的(　　)

【解析】　当h最大时，S为0，h为0时，S最大，排除A，B，当h越接近H时，S减少得越慢，故选C.
【答案】　C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知a＝0.32，b＝log20.3，c＝20.3，则a，b，c的大小关系为________．
【解析】　∵a＝0.32<1<20.3＝c，∴c>a>0.
又∵b＝log20.3<log21＝0，∴c>a>b.
【答案】　c>a>b
7．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________．
【解析】　在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图像，如图所示，

由于函数f(x)＝3x的图像在函数g(x)＝2x
图像的上方，则f(x)>g(x)．
【答案】　f(x)>g(x)
8．据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2013年的湖水量为m，从2013年起，过x年后湖水量y与x的函数关系是________．
【解析】　设湖水量每年为上年的q%，
则(q%)50＝0.9，
所以q%＝0.9，所以x年后湖水量y＝m·(q%)x＝m·0.9.
【答案】　y＝0.9·m
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动，某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现有两种方案如下：
方案一：每年植树1万平方米；
方案二：每年树木面积比上一年增加9%.
哪个方案较好？
【解析】　方案一：5年后树木面积为：10＋1×5＝15(万平方米)．
方案二：5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米)，
因为15.386>15，所以方案二较好．
10．某公司拟投资100万元，有两种投资方案可供选择：一种是年利率为10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率为9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)
【解析】　本金100万元，年利率为10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)．
本金100万元，年利率为9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．
由此可见，按年利率为9%每年复利一次计算的投资方式要比按年利率为10%单利计算的更有利，5年后多得利息3.86万元．
|能力提升|(20分钟，40分)
11．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表：

x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1 715
3 635
6 655
y2
5
29
245
2 189
19 685
177 149
y3
5
6.10
6.61
6.95
7.20
7.40
则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是(　　)
A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1 D．y3，y1，y2
【解析】　三种常见增长型函数中，指数型函数呈爆炸式增长，而对数型函数增长越来越慢，幂函数型函数介于两者之间，结合题表，只有C符合上述规律，故选C.
【答案】　C
12．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤________次才能使产品达到市场要求．(已知：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)
【解析】　依题意，得·n≤，
即n≤.
则n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，
故n≥≈7.4，考虑到n∈N，即至少要过滤8次才能达到市场要求．
【答案】　8
13．现有某种细胞100个，其中占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂为2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg 3＝0.477，lg 2＝0.301)
【解析】　现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总数；
1 h后，细胞总数为
×100＋×100×2＝×100；
2 h后，细胞总数为
××100＋××100×2＝×100；
3 h后，细胞总数为
××100＋××100×2＝×100；
4 h后，细胞总数为
××100＋××100×2＝×100.
可见，细胞总数y与时间x(h)之间的函数关系为
y＝100×x，x∈N＋.
由100×x>1010，得x>108，
两边同时取以10为底的对数，
得xlg>8，∴x>.
∵＝≈45.45，
∴x>45.45.
故经过46 h，细胞总数超过1010个．

14．某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；
(2)据测定，每毫升血液中含药量不少于4 μg时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为上午7：00，问：一天中怎样安排报药时间(共4次)效果最佳？
【解析】　(1)依题意得y＝
(2)设第二次服药时在第一次服药后t1小时，则－t1＋＝4，解得t1＝4，因而第二次服药应在11：00.
设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此是血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，即有－t2＋－(t2－4)＋＝4，解得t2＝9，故第三次服药应在16：00.
设第四次服药在第一次服药后t3小时(t3>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量应为第二、第三次的和，即有－(t3－4)＋－(t3－9)＋＝4，解得t3＝13.5，故第四次服药应在20：30.