第四章：平面向量、数系的扩充与复数的引入.doc

五年高考真题分类汇编：平面向量、数系的扩充与复数的引入一选择题1.（2015新课标全国卷I，理7）设为所在平面内一点，则（ ）（A） (B) （C） (D) 【解析】选A 由题知=，故选A.2.（2015山东高考，理4）已知菱形的边长为 ， ,则（ ）（A） （B） （C） （D） 【解析】选D 因为 3.（2015陕西高考，理7）对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（ ）A BC D【解析】选B. 因为，所以选项A正确；当与方向相反时，不成立，所以选项B错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C正确；，所以选项D正确 4.(2015四川高考，理7)设四边形ABCD为平行四边形，.若点M，N满足，则（ ）（A）20 （B）15 （C）9 （D）6【解析】选C. ，所以5.(2015重庆高考，理6)若非零向量a，b满足|a|=|b|，且（a-b）（3a+2b），则a与b的夹角为（）A、 B、 C、 D、6.(2015安徽高考，理8)是边长为的等边三角形，已知向量，满足，则下列结论正确的是（ ） （A） （B） （C） （D）【解析】选D. 如图， 由题意，则，故错误；，所以，又，所以，故错误；设中点为，则，且，而，所以.7.(2015福建高考，理9)已知 ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ）A13 B15 C19 D21【解析】选A. 以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，即，所以，因此，因为，所以 的最大值等于，当，即时取等号8.（2015湖南高考，理8）已知点，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（ ）A.6 B.7 C.8 D.9【解析】选B9.（2015新课标全国卷I，文2）已知点，向量，则向量( )（A） （B） （C） （D）【解析】选A法一：设C(x，y)，则AC(x，y1)(4，3)，所以从而BC(4，2)(3，2)(7，4)故选A.法二：AB(3，2)(0，1)(3，1)，BCACAB(4，3)(3，1)(7，4)故选A.10.（2015广东高考，文9）在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，则（ ）A B C D【解析】选D由四边形ABCD是平行四边形，知ACABAD(3，1)，故ADAC(2，1)(3，1)5.11.（2015重庆高考，文7）已知非零向量满足则的夹角为（ ）(A) (B) (C) (D) 【解析】选Ca(2ab)，a(2ab)0，2|a|2ab0，即2|a|2|a|b|cosa，b0.|b|4|a|，2|a|24|a|2cosa，b0，cosa，b，a，b.12.（2015新课标全国卷I，文8）函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ） （A） （B）（C）（D）解析：选D由图象知，周期T22，2，.由2k，得2k，kZ，不妨取，f(x)cos.由2kx2k，得2kx2k，kZ，f(x)的单调递减区间为，kZ.故选D.13.（2015福建高考，文7）设，若，则实数的值等于（ ）A B C D【解析】选Acakb(1k，2k), 又bc，所以1(1k)1(2k)0，解得k.14.（2015北京高考，文6）设，是非零向量，“”是“”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A因为ab|a|b|cosa，b，所以当ab|a|b|时，有cosa，b1，即a，b0，此时a，b同向，所以ab.反过来，当ab时，若a，b反向，则a，b180，ab|a|b|；若a，b同向，则a，b0，ab|a|b|，故“ab|a|b|”是“ab”的充分而不必要条件15.（2015陕西高考，文8）对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（ ）A B C D【解析】选B根据ab|a|b|cos ，又cos 1，知|ab|a|b|，A恒成立当向量a和b方向不相同时，|ab|a|b|，B不恒成立根据|ab|2a22abb2(ab)2，C恒成立根据向量的运算性质得(ab)(ab)a2b2，D恒成立16.（2015新课标全国卷II，理2）若为实数且，则（ ） A B C D【解析】选B 由已知得，所以，解得，故选B17.（2015四川高考，理2）设i是虚数单位，则复数( )（A）-i （B）-3i （C）i. （D）3i【解析】选C. .18.（2015广东高考，理2）若复数 ( 是虚数单位 )，则（ ） A B C D【解析】选 因为，所以.19.（2015新课标全国卷I，理1）设复数z满足=，则|z|=( )（A）1 （B） （C） （D）2【解析】选A. 由得，=，故|z|=1，故选A.20.（2015北京高考，理1）复数（ ）ABCD【答案】A21.（2015湖北高考，理1） 为虚数单位，的共轭复数为（ ） A B C1 D【解析】选A . ,所以的共轭复数为，选A . 22.（2015山东高考，理2）若复数满足，其中为虚数为单位，则=（ ）（A） （B） （C） （D） 【解析】选A. 因为，所以， ，所以， 故选：A.23.（2015安徽高考，理1）设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限【解析】选B 由题意，其对应的点坐标为，位于第二象限.24.（2015湖南高考，理1）已知（为虚数单位），则复数=（ ）A. B. C. D.【答案】D.25.（2015上海高考，理15）设，则“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分又非必要条件【答案】B【解析】若、皆是实数，则一定不是虚数，因此当是虚数时，则“、中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当、中至少有一个数是虚数，不一定是虚数，如，即充分性不成立，选B.26.（2015新课标全国卷I，文3）已知复数满足，则（ ） （A） （B） （C） （D）【解析】选C. ，27.（2015山东高考，文2）若复数Z满足，其中为虚数单位，则Z=( )（A） （B） （C） （D）【答案】28.（2015湖南高考，文1）已知=（为虚数单位），则复数 ( )A、 B、 C、 D、 【解析】选D. 由题. 29.（2015湖北高考，文1）为虚数单位，（ ）A B C D1 【解析】选.因为，所以应选. 30.（2015广东高考，文2）】已知是虚数单位，则复数（ ）A B C D【解析】选D ，故选D31.（2015福建高考，文1）若（是虚数单位），则的值分别等于（ ）A B C D【解析】选A 由已知得，所以，选A32.（2015安徽高考，文1）设是虚数单位，则复数（ ）（A）3+3i （B）-1+3i （3）3+i （D）-1+i【解析】选 C. 因为，故选 C.33. (2014湖北高考文科T2)i为虚数单位, ()A.1 B.-1 C.i D.-i【解题提示】利用复数的运算法则进行计算.【解析】选B. 34. （2014湖北高考理科1）为虚数单位，A. 1 B.1 C. D. 【解题提示】利用复数的运算法则进行计算【解析】选A. 35.（2014湖南高考理科1）满足为虚数单位的复数( )A B C D【解题提示】先解关于z的方程，再用复数的除法法则进行运算。【解析】选B. 因为，所以。36.（2014辽宁高考理科2）设复数满足，则【解题提示】 利用解方程的办法得到复数，然后化简整理【解析】选A.由得37.(2014广东高考文科T2)已知复数z满足(3-4i)z=25,则z=()A.-3-4i B.-3+4i C.3-4i D.3+4i【解题提示】本题既可以利用z=|z|2求解,也可以利用复数的除法运算解答.【解析】选D.方法一:因为|3-4i|=5,|3-4i|2=25,所以z=3+4i.方法二:因为(3-4i)z=25,所以z=3+4i.38.(2014广东高考理科)已知复数z满足(3+4i)z=25,则z=()A.-3+4iB.-3-4i C.3+4i D.3-4i【解题提示】本题既可以利用z=|z|2求解,也可以利用复数的除法运算解答.【解析】选D.方法一:因为|3+4i|=5,|3+4i|2=25,所以z=3-4i.方法二:因为(3+4i)z=25,所以z=3-4i.39.（2014福建高考文科2）复数等于 （ ）【解题指南】利用复数的运算法则计算【解析】B由复数的乘法运算得，故选B40.（2014福建高考理科1）1.复数的共轭复数等于（ ） 【解题指南】用复数的运算法则进行计算.【解析】C.41.（2014辽宁高考文科2）与（2014辽宁高考理科2）相同（2014辽宁高考文科2）设复数满足，则【解题提示】 利用解方程的办法得到复数，然后化简整理【解析】选A.由得42.(2014陕西高考文科T3)已知复数z=2-i,则z的值为()A.5 B. C.3 D.【解题指南】求出复数z的共轭复数,代入表达式求解即可.【解析】选A.由已知得=2+i,则z=(2-i)(2+i)=22-i2=5,故A正确.43.（2014山东高考理科1）已知是虚数单位，若与互为共轭复数，则（ ）.A、5-4i B、5+4i C、3-4i D、3+4i【解题指南】 本题考查了共轭复数的概念，以及复数的运算；两个复数互为共轭复数，则实部相等，虚部互为相反数，然后根据复数的运算法则进行运算.【解析】选D.因为 与互为共轭复数，所以，所以.44.（2014山东高考文科1）已知是虚数单位. 若，则( )A、 B、 C、 D、 【解题指南】 本题考查了复数的概念，以及复数的运算；两个复数相等，则实部相等，虚部相等，然后根据复数的运算法则进行运算.【解析】选D.因为 =，所以，所以.45.(2014江西高考文科T1)若复数z满足z(1+i)=2i(i为虚数单位),则|z|= ()A.1 B.2 C.D.【解题指南】运用复数除法的运算法则及模的公式进行计算.【解析】选C.46.(2014江西高考理科T1)是z的共轭复数.若z+=2,(z-)i=2(i为虚数单位),则z= ()A.1+i B.-1-iC.-1+i D.1-i【解题指南】设出复数的代数形式,利用运算法则进行计算.【解析】选D.设z=a+bi(a,bR),则=a-bi,z+=2a=2,故a=1,(z-)i=-2b=2,故b=-1,所以z=1-i.47. （2014天津高考文科1，同2014天津高考理科1）是虚数单位，复数（ ）A. B. C. D. 【解析】选A.48.（2014安徽高考文科1）设是虚数单位，复数（ ）A B. C. D. 【解题提示】 利用复数的运算性质进行计算。【解析】选D 。=.49.（2014安徽高考理科1）设是虚数单位，表示复数的共轭复数. 若则（ ）B. B. C. D. 【解题提示】 利用共轭复数及复数的运算性质进行计算。【解析】选C 。因为所以故。50. (2014新课标全国卷高考文科数学T2) =() A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2i【解题提示】利用复数的除法法则计算.【解析】选B.因为=-1+2i,所以选B.51. (2014新课标全国卷高考理科数学T2)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=()A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i【解题提示】由两复数关于虚轴对称,可求得复数z2,利用复数的乘法运算法则求得z1z2.【解析】选B.因为z1=2+i,z1与z2关于虚轴对称,所以z2=-2+i,所以z1z2=-1-4=-5,故选B.52. （2014重庆高考文科1）实部为,虚部为 的复数所对应的点位于复平面的（ ）A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解题提示】根据复数的几何意义可直接写出复数对应复平面内点的坐标进而进行判断.【解析】选B. 实部为,虚部为 的复数所对应的复平面内的点为位于第二象限,故选B.53、（2014浙江高考理科8）记，设为平面向量，则（ ）A.B.C.D.【解题指南】充分理解与的意思，借助向量运算的几何意义进行分析.【解析】选D.根据向量运算的几何意义，即三角形法则，可知与的大小不确定，由平行四边形法则及余弦定理可知，所对的角大于或等于，故.54.（2014福建高考文科10）10设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于 （ ）【解题指南】可以运用特殊法求解【解析】取特殊情况，假设点O与点A重合，如图，则55.(2014广东高考文科T3)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=()A.(-2,1) B.(2,-1)C.(2,0) D.(4,3)【解题提示】直接把向量的坐标相减,注意减数和被减数.【解析】选B. b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1).56. （2014安徽高考理科10）在平面直角坐标系中，已知向量点满足.曲线，区域.若为两段分离的曲线，则( )A. B. C. D.【解题提示】设向量，利用数形结合判断。【解析】选A。设，则，画出图像如图所示，由C为单位圆，区域为圆环，所以1ra3.57（2014福建高考理科8）8在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（ ）A. B . C. D. 【解析】只有B选项两个向量不共线，其它选项的向量都是共线的，不共线的向量方可成为基底，才可以表示向量58. （2014湖南高考文科10）与（2014湖南高考理科16）相同在平面直角坐标系中，为原点，,，动点满足,则的取值范围是（ ）A. B.C. D.【解题提示】把拆分为，再利用求解。【解析】选D. 59. （2014上海高考文科17）【解题提示】根据向量数量积的定义可得.【解析】60. （2014浙江高考文科9）设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数，是最小值为1（ ） A若确定，则唯一确定 B若确定，则唯一确定 C若确定，则唯一确定 D若确定，则唯一确定【解题提示】 由平面向量的数量积、模列出不等式，利用二次函数求最值.【解析】选B.依题意，对任意实数，恒成立，所以恒成立，若为定值，则当为定值时，二次函数才有定值.61. （2014山东高考文科7）已知向量.若向量的夹角为，则实数=( )A、B、C、D、【解题指南】 本题考查了平面向量的数量积的运算，利用数量积的坐标运算即可求得.【解析】 答案：B62.（2014安徽高考文科10）10.设为非零向量，两组向量和均由2个和2个排列而成，若所有可能取值中的最小值为，则与的夹角为（ ）A. B. C. D.0【解题提示】对的可能结果进行讨论，根据各选项分别判断。【解析】选B。有以下3种可能：；。易知（3）最小，则，解得。63. (2014新课标全国卷高考文科数学T4)设向量,满足,则=( )A.1 B.2 C.3 D.5【解题提示】将,两边平方,联立方程解得.【解析】选A.因为=,所以,联立方程解得=1,故选A.64. (2014新课标全国卷高考理科数学T3)设向量,满足,则=( )A.1 B.2 C.3 D.5【解题提示】将,两边平方,联立方程解得.【解析】选A.因为=,所以,联立方程解得=1,故选A.65.（2014四川高考理科7）平面向量，且与的夹角等于与的夹角，则m=（ ）A.-2 B.-1 C.1 D.2【解题提示】先求出的坐标，再代入向量夹角公式，解方程即可求出m的值.【解析】选D. 由于，所以，又由于与的夹角等于与的夹角，即，也就是，即得，解得m=2.66（2014天津高考理科8）已知菱形的边长为2，点分别在边上，.若，则（ ）A. B. C. D.【解析】选C .因为，所以.因为，所以，.因为，所以，即 同理可得 ，+得.67.（2013湖南高考理）复数zi(1i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于 ()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【解析】选B本小题主要考查复数的乘法运算与复数的几何意义，属容易题zi(1i)1i，复数z在复平面上对应的点的坐标为(1,1)，位于第二象限68.（2013湖南高考理）已知a，b是单位向量，ab0.若向量c满足|cab|1，则|c|的取值范围是 ()A1，1 B1，2C1，1 D1，2【解析】选A本小题主要考查单位向量和向量的模的概念、向量垂直的条件，考查转化化归、数形结合、特殊与一般等数学思想由a，b为单位向量且ab0，可设a(1,0)，b(0,1)，又设c(x，y)，代入|cab|1得(x1)2(y1)21，又|c|，故由几何性质得 1|c| 1，即1|c|1.69.（2013福建高考理）已知复数z的共轭复数12i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于 ()A第一象限B第二象限 C第三象限 D第四象限【解析】选D本题考查复数的共轭复数的概念与复数的几何意义等基础知识，意在考查考生对概念的理解与应用能力12i，z12i，复数z在复平面内对应的点为(1，2)，位于第四象限70.（2013福建高考理）在四边形ABCD中，AC(1,2)，BD(4,2)，则该四边形的面积为 ()A. B2 C5 D10【解析】选C本题考查平面向量的数量积运算、模、四边形面积等基础知识，意在考查考生对基础知识的掌握情况依题意得，ACBD1(4)220.所以ACBD，所以四边形ABCD的面积为|AC|BD|5.71（2013辽宁高考理）复数z的模为 ()A.B. C. D2【解析】选B本题主要考查复数的运算以及复数的概念，意在考查考生的运算能力和对复数的四则运算法则的掌握情况由已知，得zi，所以|z|.72.（2013辽宁高考理）已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量AB同方向的单位向()A. B. C. D.【解析】选A本题主要考查向量的坐标表示由已知， 得AB(3，4)，所以|AB|5，因此与AB同方向的单位向量是AB.73.（2013安徽高考理）设i是虚数单位， 是复数z的共轭复数若zi22z，则Z ()A1iB1i C1I D1i【解析】选A本题考查了复数的代数运算、共轭复数和复数相等的概念，意在检测考生对基础知识和基本技能的掌握设出复数的代数形式，利用复数相等直接求解设zabi(a，bR)，则abi，又zi22z，(a2b2)i22a2bi，a1，b1，故z1i.74.（2013浙江高考理）已知i是虚数单位，则(1i)(2i) （ ）A3i B13i C33i D1i【解析】选B本题主要考查复数的概念、复数的乘法运算法则，考查考生的运算能力按照复数乘法运算法则，直接运算即可(1i)(2i)13i.75.（2013浙江高考理）设ABC，P0是边AB上一定点，满足P0BAB，且对于边AB上任一点P，恒有PBPCP0BP0C，则 （ ）AABC90 BBAC90 CABAC DACBC【解析】选D本题主要考查平面向量的运算，向量的模、数量积的概念，向量运算的几何意义等，意在考查利用向量解决简单的平面几何问题的能力设AB4，以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，则A(2,0)，B(2,0)，则P0(1,0)，设C(a，b)，P(x,0)，PB(2x,0)，PC(ax，b)P0B(1,0)，P0C(a1，b)则PBPCP0BP0C(2x)(ax)a1恒成立，即x2(2a)xa10恒成立(2a)24(a1)a20恒成立a0.即点C在线段AB的中垂线上，ACBC.76.（2013重庆高考理）在平面上，AB1AB2，|OB1|OB2|1，APAB1AB2.若|OP|，则|OA|的取值范围是 （ ）A. B. C. D.【解析】选D本题考查向量问题和圆中的最值问题，意在考查考生的转化化归以及逻辑思维能力由题意得点B1，B2在以O为圆心的单位圆上，点P在以O为圆心半径为的圆内，又AB1AB2，APAB1AB2，所以点A在以B1B2为直径的圆上，当P与O点重合时，|OA|最大，为，当P在半径为的圆周上时，|OA|最小，为，故选D.77.（2013新课标高考理）若复数z满足 (34i)z|43i|，则z的虚部为 （ ）A4 B. C.4 D.【解析】选D本题考查复数的概念、模的运算和复数的除法运算等知识，意在考查考生对复数的有关概念的理解与认识和运算能力解题时，先根据复数模的运算求出等式右边的数值，再利用复数的除法运算法则进行化简计算，求出复数z，确定其虚部因为|43i| 5，所以已知等式为(34i)z5，即zi，所以复数z的虚部为，选择D.78.（2013新课标高考理）设复数z满足(1i)z2i，则z （ ）A1i B.1I C.1i D.1i【解析】选A本题主要考查复数的基本运算，属于基本能力题z1i，故选A. 79.（2013北京高考理）在复平面内，复数(2i)2对应的点位于 （ ）A第一象限 B. 第二象限C第三象限 D. 第四象限【解析】选D本题考查复数的运算和简单几何意义，意在考查考生的运算求解能力(2i)234i，其在复平面内对应的点(3，4)位于第四象限80.（2013陕西高考理）设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是 （ ）A若|z1z2|0，则B若z1，则z2C若|z1|z2|，则z1z2D若|z1|z2|，则zz【解析】选D本题考查共轭复数、复数的模、复数的运算以及命题真假的判断，意在考查考生综合运用知识的能力和逻辑推理能力依据复数概念和运算，逐一进行推理判断对于A，|z1z2|0z1z2，是真命题；对于B，C易判断是真命题；对于D，若z12，z21 i，则|z1|z2|，但z4，z22i，是假命题81（2013广东高考理）若复数z满足iz24i，则在复平面内，z对应的点的坐标是 ()A(2,4) B(2，4) C(4，2) D(4,2)【解析】选C本题考查复数的除法运算及几何意义，考查考生对复数代数运算的简单了解由iz24i，可得z42i，所以z对应的点的坐标是(4，2)82（2013山东高考理）复数z满足(z3)(2i)5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为()A2iB2I C5i D5i【解析】选D本题考查复数的概念、复数代数形式的运算等基础知识，考查运算求解能力由(z3)(2i)5，得z3332i5i，所以5i.83（2013大纲卷高考理）(1i)3 ()A8 B8 C8i D8i【解析】选A本题考查复数的运算(1i)3(1i)2(1i)(22i)(1i)8，故选A.84（2013大纲卷高考理）已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，则 ()A4 B3 C2 D1【解析】选B本题考查向量的知识，考查向量垂直的充要条件mn(23,3)，mn(1，1)，因为(mn)(mn)，所以(mn)(mn)0，所以(23)(1)3(1)0，解得3.85（2013湖北高考理）在复平面内，复数 z(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于 ()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【解析】选D本题主要考查复数的基本运算和基本概念，意在考查考生的运算求解能力z1i的共轭复数为1i，对应的点为(1，1)在第四象限86（2013湖北高考理）已知点A(1,1)、B(1,2)、C(2，1)、D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为 ()A. B. C D【解析】选A本题考查向量的坐标运算及向量投影的概念，意在考查考生对基础知识的掌握情况AB(2,1)，CD(5,5)，向量AB(2,1)在CD(5,5)上的投影为|AB|cosAB，CD|AB|，故选A.87（2013四川高考理）如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是 ()AA BB CC DD【解析】选B本题考查共轭复数的概念，意在考查考生对数形结合的思维方法的运用因为xyi的共轭复数是xyi，故选B.88（2013北京高考文）在复平面内，复数i(2i)对应的点位于 ()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【解析】选A本题主要考查复数的运算法则和几何意义，属于容易题，意在考查考生根据复数的乘法运算法则进行运算化简的能力，并根据复数的几何意义判断出复数在复平面内对应的点所在的象限因为i(2i)12i，所以对应的点的坐标为