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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
【知识特点】
平面向量作为工具性知识，和三角函数、解析几何、立体几何等知识有着广泛的联系。其中平面向量的共线与垂直，平面向量的运算，平面向量的数量积及其应用,是重点内容，也是高考考查的重点。对于数系的扩充和复数的引入这部分内容，其独立性较强，一般是单独命题,其中复数的概念和复数的运算是重点知识，也是高考考查的重点.
【重点关注】
1、平面向量共线与垂直的充要条件、平面向量的线性运算、平面向量的数量积及其应用、复数的运算是高考的热点内容，需重点关注。
2、平面向量的基本运算与三角函数结合是高考中的重要题型,此类题可以是选择、填空，也可以为中档的解答题.向量与数列、不等式、圆锥曲线，函数等知识的综合问题。对学生能力的考查有较高的要求。
3、本章内容要注意数形结合思想的应用，向量具有“形与数”的两个特点,这就使得向量成了数形结合的桥梁。
【地位和作用】
向量带有基础知识的特点，是一种工具性和方法性知识。向量有一套优秀的运算系统，由于它提供的向量法、坐标法,使其成为研究高中数学的重要方法。同时，向量又有一套优良的运算系统，几何中有关长度、角度的计算,平行、垂直的判定与证明，很多场合下都可以化归为向量的运算来完成,教材中正弦定理、余弦定理的证明、定比分点坐标公式的导出，就是这方面典型的例子。这些体现了数学中化归和数形结合的思想。向量“形”、“数”兼备，是数形结合的桥梁.在运用向量知识时，充分运用几何图形直观的特点,而在解决几何问题时，又注意充分运用向量法与坐标法，处处渗透了数形结合的思想。
通过分析进两年高考中本章相关知识点的考查汇总，可以看出本章在高考命题中呈现出以下特点：
1、考查题型主要是以选择、填空为主,分值为10分左右，基本属容易题；
2、重点考查向量的共线与垂直，向量的夹角、模与数量积及复数的运算,注重在知识交汇处命题；
3、预计在本意在今后的高考中，将以向量的运算、向量的夹角、模、数量积、复数的运算为命题热点，将更加注重向量与其他知识的交汇，以考查基础知识、基本技能为主。

4。1平面向量

【高考目标定位】
一、平面向量的概念及其线性运算
1、考纲点击
（1）了解向量的实际背景；
（2)理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；
（3）理解向量的几何表示;
（4）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；
（5）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；
(6）了解向量线性运算的性质及其几何意义。
2、热点提示
（1）重点考查平面向量的有关概念、线性运算及其几何表示；
（2)多以选择、填空的形式呈现,有时和其他知识相结合，在知识的交汇点处命题。
二、平面向量的基本定理及坐标表示
1、考纲点击
(1)了解平面向量的基本定理及其意义;
(2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；
(3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；
（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
2、热点提示
（1）向量的坐标运算及用坐标表示平面向量共线的条件是高考考查的热点，常以选择、填空题的形式出现，为中、低档题;
(2)向量的坐标运算常与三角，解析几何等知识结合，在知识交汇点处命题，以解答题的形式呈现,属中档题.
三、平面向量的数量积及平面向量应用举例
1、考纲点击
(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义；
（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系；
（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
（4）能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系;
(5）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；
（6）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
2、热点提示
（1）平面向量数量积的运算，模与夹角、平行与垂直问题的高考命题的热点,多以选择、填空题的形式出现，属中低档题，但灵活多变;
（2)可与三角函数、解析几何等知识综合命题,是高考的另一个热点。
【考纲知识梳理】
一、平面向量的概念及其线性运算
1、向量的有关概念及表示方法
（1）向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或模)

零向量
长度为0的向量；其方向是任意的
记作
单位向量
长度等于1个单位的向量

平行向量
方向相同或相反的非零向量
与任一向量平行或共线
共线向量
平行向量双叫做共线向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量

相反向量
长度相等且方向相反的向量
的相反向量为
（2)向量的表示方法
①字母表示法，如:等；
②几何表示法：用一条有向线段表示向量。
2、向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义）
运算律
加法
求两个向量和的运算

（1）交换律：
。
(2）结合律：

减法
求与的相反向量的和的运算叫做与的差

数乘
求实数λ与向量的积的运算
（1）
（2)当λ〉0时，与的方向相同；当λ〈0时, 与的方向相反；当λ=0时, =

注：式子的几何意义为：平行四边形两条对角线的平方和等于它们四条边的平方和。
3、向量与向量共线的充要条件为存在唯一一个实数，使
注：用向量法证明三点A、B、C共线时，首先求出，然后证明，即共线即可。
二、平面向量的基本定理及坐标表示
1、两个向量的夹角
（1）定义
已知两个非零向量和，作，则∠AOB=θ叫做向量与的夹角。
（2）范围
向量夹角θ的范围是00≤θ≤1800，与同向时，夹角θ=00；与反向时，夹角θ=1800.
（3）向量垂直
如果向量与的夹角是900，则与垂直，记作⊥。
注：在ΔABC中,设,则向量与的夹角为∠ABC是否正确？（答：不正确。求两向量的夹角时,两向量起点应相同，向量与的夹角为π-∠ABC)。
2、平面向量基本定理及坐标表示
（1)平面向量基本定理
定理：如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数，,使。
其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
（2）平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。
（3）平面向量的坐标表示
①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内的一个向量,有且只有一实数x，y，使，把有序数对(x，y）叫做向量的坐标，记作=（x，y),其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标.
②设，则向量的坐标（x,y）就是终点A的坐标，即若=（x,y），则A点坐标为（x，y），反之亦成立.（O为坐标原点）
3、平面向量的坐标运算
（1）加法、减法、数乘运算
向量

+
—
λ
坐标
(x1,y1）
(x2，y2）
（x1+x2， y1+ y2）
(x1-x2， y1-y2)
（λx1，λy1）
（2）向量坐标的求法
已知A（x1，y1），B(x2,y2)，则=（x2-x1，y2-y1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去始点的坐标。
（3）平面向量共线的坐标表示
设=（x1,y1）,=(x2，y2)，其中≠0，则与共线=λ x1y2- x2y1=0.
注：=（x1,y1），=(x2，y2），，则//的充要条件不能写成，因为x2，y2有可能为0，故应表示成x1y2- x2y1=0.
【热点难点精析】
一、平面向量的概念及其线性运算
（一）向量的有关概念
※相关链接※
1、着重理解向量以下几个方面：
（1）向量的模；（2)向量的方向；（3）向量的几何表示；（4）向量的起点和终点。
2、判定两个向量的关系时,特别注意以下两种特殊情况:
（1）零向量的方向及与其他向量的关系；
(2)单位向量的长度及方向。
※例题解析※
【例1】给出下列命题：
①有向线段就是向量，向量就是有向线段;
②若则ABCD为平行四边形；
③若
④若。
其中正确命题的个数是 （ ）
（A)0 （B)1 （C)2 （D）3
思路解析：正确理解向量的有关概念是解决本题的关键。注意到特殊情况,否定某个命题只要举出一个反倒即可.
解答：选B.①错，向量可用有向线段表示，但并不是有向线段。②错，因为则可能A、B、C、D四点在一条直线上.③正确。④错，若，则对不共线的向量与,也有//,//，但与不平行。
【例2】下列结论中,不正确的是 ( )
（A） 向量，共线与向量//同义；
（B） 若向量//，则向量与共线；
（C） 若向量=，则向量=；
（D） 只要向量，满足|｜=｜｜,就有=。
解答：选D.根据平行向量（或共线向量）定义知A，B均正确；根据向量相等的概念知C正确，D不正确.
(二）向量的线性运算
※相关链接※
（1)用已知向量来表示别外一些向量是用向量解题的基本功,除利用向量的加、减法、数乘向量外,还应充分利用平面几何的一些定理；
(2）在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量求解.
注：若A为BC的中点,则
※例题解析※
〖例1〗在ΔABC中，
。
思路解析:解本题要进行向量的加、减法外，还有数乘向量运算，如
在进行计算时要充分利用∽ΔABC，ΔADN∽ΔABM等条件。
解答:
由ΔADE∽ΔABC，得，又AM是ΔABC的中线，DE//BC，且AM与DE交于点N，得

〖2〗在ΔOAB中，

延长BA到C，使AC=BA，在OB上取点D，使。DC与OA交于E,设用表示向量及向量.
解答：∵A是BC的中点,∴,即

(三）向量的共线问题
〖例〗设两个非零向量与不共线，
（1） 若求证:A、B、D三点共线;
（2） 试确定实数k,使和共线
思路解析:(1）由已知求判断和的关系判断A、B、D的关系；(2)应用共线向量的充要条件列方程组解方程组得k值。
解答：（1）∵
∴
∴、共线，又∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线
(2)∵和共线，∴存在实数λ，使=λ(),即=。∴∵、是不共线的两个非零向量，∴=,∴-1=0。∴=±1.
注：（1）向量共线的充要条件中要注意当两向量共线量时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想。
（2）证明三点共线问题,可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.
二、平面向量的基本定理及坐标表示
（一）平面向量基本定理及其应用
※相关链接※
1、以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合,基底不同，表示也不同；
2、对于两个向量，，将它们用同一组基底表示，我们可通过分析这两个表示式的关系，来反映与的关系；
3、利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或进行数乘运算。
注：由于基底向量不共线,所以不能作为一个基底向量。
※例题解析※
〖例〗如图：在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC,BC的中点，已知试用表示。
思路解析:直接用表示有难度,可换一个角度，由表示,，进而解方程组可求。
解答：方法一:设则

将②代入①得

得
方法二:设因M，N分别为CD，BC中点，所以
因而
即
(二）平面向量的坐标运算
※相关链接※
1、向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用；
2、利用向量的坐标运算解题。主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程（组）进行求解;
3、利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出线性系数;
4、向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来，就可以使得很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算。
※例题解析※
〖例〗已知A（-2,4），B（3,—1），C（-3,—4）。设且求：
(1)
（2）满足的实数m,n;
（3）M、N的坐标及向量的坐标.
思路解析：利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点、终点坐标的关系求解。
解答：由已知得
(1）=3(5，-5）+（—6，—3）—3(1，8）=（15-6-3，—15—3-24）=（6,—42）
（2）∵
∴
(3)∵，∴。∴M(0，20)又∵,∴∴N(9，2）。∴。
（三）平面向量共线的坐标表示
※相关链接※
1、凡遇到与平行有关的问题时，一般地要考虑运用向量平行的充要条件;
2、向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法，也为点共线、线平行问题的处理提供了容易操作的方法。解题时要注意共线向量定理的坐标表示本身具有公式特征，应学会利用这一点来构造函数和方程，以便用函数与方程的思想解题。
※例题解析※
〖例〗已知当k为何值时,与平行;平行时它们是同向还是反向?
思路解析:将用坐标表示将用坐标表示应用共线向量的充要条件求k把k代入向量判断结果。
解答：∵=k（1，2）+（—3，2)=（k—3，2k+2)，=（1，2）—3（-3，2）=（10，—4),∴与平行等价于（k—3）（—4）—10（2k+2）=0，解得k=.故当k=时,与平行。此时=，∴与反向。
注：向量平行的坐标公式裨是把向量问题转化为实数的运算。通过坐标公式建立参数的方程，通过解方程或方程组求得参数，充分体现了方程思想在向量中的应用。
（四)向量与其他知识的综合
〖例〗已知向量现向量的对应关系用表示。
（1）设，求向量与的坐标；
（2）求使
（3）证明：对任意的向量及常数m，n恒有成立。
思路解析：本题关键是找出“函数" 的对应关系，此处的变量为向量的坐标，因此，可通过坐标运算来解决问题。
解答：（1）又
（2)
（3）
注：对于信息处理题应注意以下几点:
①认真领会题中所给信息（注意概念的内涵与外延）;
②将所得到的信息，应用于题目中去，即解决实际问题（当然注意条件与结论,往往是三段论推理)。
三、平面向量的数量积及平面向量应用举例
（一)平面向量的数量积的运算及向量的模问题
※相关链接※
1、向量的数量积有两种计算方法,一是利用公式来计算,二是利用来计算，具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用。
2、利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：

〖例〗已知，与的夹角为,求：（1）；（2)。
思路解析：利用平面向量数量积的定义及其运算律，可求出第（1)问;求可先求，再开方。
解答:（1），
∴=
（2）,
∴
（二）平面向量的垂直问题
※相关链接※
1、非零向量
2、当向量是非坐标形式时，要把、用已知的不共线的向量表示。
注：把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运算，要因题而异.
〖例〗已知向量,(1)求证：（2）若存在不等于0的实数k和t，使满足试求此时的最小值。
思路解析:（1)可通过求证明
（2）由得，即求出关于k，t的一个方程，从而求出的代数表达式，消去一个量k，得出关于t的函数,从而求出最小值。
解答：
（1)
(2)由得：，即

（三）平面向量的夹角问题
※相关链接※
1、当是非坐标形式时，求的夹角。需求得及或得出它们的关系。
2、若已知的坐标，则可直接利用公式
注:平面向量的夹角
※例题解析※
〖例〗已知都是非零向量，且与垂直,与垂直，求与的夹角θ.
思路解析：把向量垂直转化为数量积为0联立求与的关系应用夹角公式求结果.
解答:

（四）向量的综合应用
〖例1〗设ΔABC的外心为O，则圆O为ΔABC的外接圆，垂心为H。求证：

思路解析：本题的关键是探求的联系，利用向量的三角形法则可得下一步需确定的关系,由条件O为ΔABC的外心,可延长BO交圆于O于点D,连AD、DC，利用圆周角是直角的性质可证四边形ANCD为平行四边形，从而问题得以解决.
解答:延长BO交圆O于D点,连AD、DC,则BD为圆O的直径，故∠BCD=∠BAD=900。又∵AE⊥BC,DC⊥BC。各AH//DC,同理DA//CH。∴四边形ANCD为平行四边形，∴。
又∵∴又∵∴
注：利用平面向量的知识解决平面几何问题，关键是充分挖掘题目中的条件，本题中O为外心,H为垂心，在本题中作用最大；另外，平面解析几何中的一些性质在解题中也有很大的用处。
〖例2〗已知力与水平方向的夹角为（斜向上)，的大小为50N，拉着一个重80N的木块在摩擦系数的水平平面上运动了20m,问和摩擦力所做的功分别是多少？
思路解析：力在位移上所做的功,是向量乘积的物理含义，要先求出力,和位移的夹角，然后应用数量积公式求解。
解答：设木块的位移为
则,在铅垂方向上分力大小为∴摩擦力的大小为,
∴
∴所做的功分别是500J、22J.
注：力在力的位移上所做的功，就是力与位移所对应两向量的数量积.故在解决此类问题时可转化为数量积的运算，据题意构造平面图形,把已知、所求各量用向量的对应量表示出来.然后结合向量的加减法及平面几何的知识求得向量的模及夹角，再利用数量积的运算公式求得力对物体所做的功。
【感悟高考真题】
1。（2009年广东卷文)已知平面向量a= ，b=， 则向量
A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线
C。平行于轴 D。平行于第二、四象限的角平分线
【答案】
【解析】,由及向量的性质可知，C正确。
2.（2009广东卷理)一质点受到平面上的三个力（单位:牛顿）的作用而处于平衡状态．已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为
A. 6 B。 2 C. D。
【解析】,所以,选D.
3。（2009浙江卷理）设向量，满足：，,．以,，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为 ( )
A． B． C． D．
答案：C
【解析】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点,对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况,但5个以上的交点不能实现．
4. （2010全国卷2理数）（8）中，点在上，平方．若，，，，则
（A） (B) （C) （D）
【答案】B
【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理.
【解析】因为平分，由角平分线定理得,所以D为AB的三等分点，且，所以，故选B.
5。 (2010全国卷2文数）（10）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若= a ， = b ， = 1 ，
= 2， 则=
（A）a + b （B）a +b （C）a +b （D)a +b
【解析】B:本题考查了平面向量的基础知识
∵ CD为角平分线,∴ ，∵ ，∴ ,∴
6. （2010上海文数)13.在平面直角坐标系中,双曲线的中心在原点,它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量.任取双曲线上的点,若（、),则、满足的一个等式是 4ab=1 。
解析:因为、是渐进线方向向量,所以双曲线渐近线方程为，又
双曲线方程为，=,
，化简得4ab=1
7. （2010天津理数）（15）如图，在中，，,
，则 .
【答案】D
【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识,属于难题。

【解析】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影,且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。
8. (2010江苏卷)15、（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，点A（－1,－2）、B(2,3）、C(－2,－1）.
(1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2) 设实数t满足（）·=0,求t的值。
［解析］本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积,考查运算求解能力.满分14分。
（1）(方法一）由题设知，则

所以
故所求的两条对角线的长分别为、。
（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为E，则：
E为B、C的中点,E(0，1）
又E（0,1)为A、D的中点，所以D（1，4)
故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；
（2）由题设知:=（－2,－1），。
由（)·=0，得：,
从而所以。
或者：,

【考点精题精练】

一、选择题
1．若向量（ B ）
A． B． C． D．
2．设是任意的非零平面向量，且相互不共线,有以下结论
① ； ② ；
③ 不与； ④
其中正确的是（ D ）
A．① ② B．② ③ C．③ ④ D．② ④
3．若、、为任意向量，，则下列等式不一定成立的是（ D ）
A． B．
C． D．
4．设坐标原点为O,抛物线与过焦点的直线交于A、B两点，则( B ）
A． B． C．3 D．－3
5．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1)，B（-1，3），若点C满足
，其中、，则点C的轨迹方程为（ D ）
A． B．
C． D．
6．若与的夹角为,则的值为( B ）
(A） （B） （C） （D）
7．已知且的起点为终点为，则（ C ）
（A） （B） （C） （D）
8．已知，且与平行,则（ D ）
（A）1 （B）2 （C） （D）
9．已知与的夹角为，又，且，则实数m的值为（ D )
（A)0 (B）6或－6 （C）1或－6 （D)－1或6
10．若且与向量也互相垂，则实数k的值为( B )
（A）－6 (B）6 （C）3 （D）(－3）
11．已知两点M1（4,3)和M2（2，—1)，点M分有向线段M1M2的比为，则M点的坐标为（ D ）
（A） (B）（6，7） （C） (D）
12、已知向量与不共线，＝＋k，＝l＋(k，l∈R），则与共线的条件是（ D )．
(A）k ＋l ＝0 （B）k －l ＝0
（C）kl＋1＝0 （D）kl－1＝0
二、填空题
13、设向量a=(2,—1)，向量b与a共线且b与a同向,b的模为2，则b= （4，-2) 。
14、已知点三点共线，则点分的比=_______4_____，=________—4______.
15、设、为平面直角坐标系两坐标轴上的单位向量，且有：
。
16、已知都是非零向量，且向量与向量垂直，向量与向量垂直，则与的夹角的大小为
三、解答题
17、(本题满分14分）
已知向量=3i－4j，=6i－3j，=（5－m）i－（4＋m)j，其中i、j分别是直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量．
(1）若A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件;
（2)若ΔABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．
解答：（1）=（3,1） ,=（2－m，－m)，与不平行则m≠1 。
（2）· =0 m=
18、（12分)已知P为△ABC内一点，且3＋4＋5＝．延长AP交BC于点D，若＝,＝，用、表示向量、．
解：∵ ＝－＝－，
＝－＝－，
又 3＋4＋5＝，
∴ 3＋4（－)＋5（－）＝，
化简，得＝＋．
设＝t（t∈R），则
＝t ＋t． ①
又设 ＝k（k∈R），
由 ＝－＝－，得
＝k(－)．
而 ＝＋＝＋，
∴ ＝＋k(－)
＝（1－k）＋k ②
由①、②，得
解得 t ＝．
代入①，有
＝＋。