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限时·规范·特训
[A级 基础达标]
1. [2021·黄山模拟]下列命题中是真命题的是( )
①对任意两向量a，b，a－b与b－a是相反向量；
②在△ABC中，＋－＝0
③在四边形ABCD中，(＋)－(＋)＝0；
④在△ABC中，－＝.
A. ①② B. ②③
C. ②④ D. ③④
解析：①真命题．由于(a－b)＋(b－a)＝a＋(－b)＋b＋(－a)＝a＋(－a)＋b＋(－b)＝(a－a)＋(b－b)＝0，
所以a－b与b－a是相反向量．
②真命题．由于＋－＝－＝0，所以命题成立．
③假命题．由于＋＝，＋＝，
所以(＋)－(＋)
＝－＝＋≠0，
所以该命题不成立．
④假命题．由于－＝＋＝≠，所以该命题不成立．故选A.
答案：A
2. 设e1，e2是两个不共线的向量，且a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，则实数λ＝( )
A. －1 B. 3
C. － D.
解析：∵a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，∴存在实数t，使得b＝ta，即－e2－e1＝t(e1＋λe2)，－e2－e1＝te1＋tλe2，∴t＝－1，tλ＝－， 即λ＝，故选D.
答案：D
3. [2021·济南模拟]如图，在△ABC中，||＝||，延长CB到D，使⊥，若＝λ＋μ，则λ－μ的值是( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析：由题意可知，B是DC的中点，故＝(＋)，即＝2－，所以λ＝2，μ＝－1，则λ－μ＝3.
答案：C
4. 在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于( )
A. a＋b B. a＋b
C. a＋b D. a＋b
解析：如图，＝＋，由题意知，△ABE∽△FDE，∴DE∶BE＝1∶3＝DF∶AB，
∴＝，
∴＝a＋b＋＝a＋b.
答案：B
5. [2021·江门市模拟]若四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形确定是( )
A. 直角梯形 B. 菱形
C. 矩形 D. 正方形
解析：由＋＝0知，＝，
即AB＝CD，AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形．
又(－)·＝0，
∴·＝0，即AC⊥BD，
因此四边形ABCD是菱形，故选B.
答案：B
6. [2022·福建高考]设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于( )
A. B. 2
C. 3 D. 4
解析：＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝2＋2＝4.故选D.
答案：D
7. [2021·四川高考]如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.
解析：由于O为AC的中点，所以＋＝＝2，即λ＝2.
答案：2
8. [2021·泉州四校联考]设e1，e2是不共线的向量，若＝e1－λe2，＝2e1＋e2，＝3e1－e2，且A，B，D三点共线，则λ的值为________．
解析：∵＝2e1＋e2，＝3e1－e2，
∴＝－＝(3e1－e2)－(2e1＋e2)＝e1－2e2，
若A，B，D三点共线，则与共线，存在μ∈R使得＝μ，即e1－λe2＝μ(e1－2e2)，
由e1，e2是不共线的向量，得
解得λ＝2.
答案：2
9. [2021·广州调研]在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．
解析：如图所示，∵四边形ABCD是平行四边形，∴＝，
又＝3，
即A，N，C三点共线，且＝，
则＝＋＝－＝－＝b－(a＋b)＝－a＋b.
答案：－a＋b
10. 如图所示，四边形OADB是以＝a，＝b为邻边的平行四边形，又＝，＝，试用a，b表示，，.
解：由题意，可知＝＝＝(－)＝(a－b)．
所以＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b.又＝＝，
所以＝＋＝＋＝＝(＋)＝(a＋b)．
所以＝－＝(a＋b)－(a＋b)＝a－b.
11. 在△ABC中，E、F分别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设＝a，＝b，试用a，b表示.
解：∵E、F分别是AC、AB的中点，
∴G是△ABC的重心．
∴＝.
＝＋＝＋＝＋(＋)
＝－＋×
＝＋＝a＋b.
12. 设a、b是不共线的两个非零向量，
(1)若O＝2a－b，O＝3a＋b，O＝a－3b，求证：A、B、C三点共线；
(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值．
解：(1)∵A＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，
而B＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2，
∴A与B共线，且有公共端点B.
∴A、B、C三点共线．
(2)∵8a＋kb与ka＋2b共线，
∴存在实数λ，使得
(8a＋kb)＝λ(ka＋2b)
⇒(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.
∵a与b不共线，
∴⇒8＝2λ2⇒λ＝±2.
∴k＝2λ＝±4.
[B级 知能提升]
1. 在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的外形是( )
A. 矩形 B. 平行四边形
C. 梯形 D. 以上都不对
解析：由已知＝＋＋＝－8a－2b
＝2(－4a－b)＝2.
∴∥，又与不相等，∴四边形ABCD是梯形．
答案：C
2. [2021·四川模拟]设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( )
A. |a|＝|b|且a∥b B. a＝－b
C. a∥b D. a＝2b
解析：由于表示与a同向的单位向量，所以a与b必需方向相同才能满足＝.故选D.
答案：D
3. [2021·合肥质检]在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M、N分别为CD、BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝( )
A. B.
C. D.
解析：由于＝＋＝＋＝2＋＋＝2－－，所以＝－，所以λ＋μ＝.
答案：D
4. 设点O在△ABC内部，且有4＋＋＝0，求△ABC与△OBC的面积之比．
解：取BC的中点D，连接OD，
则＋＝2，
∵4＋＋＝0，
∴4＝－(＋)＝－2，
∴＝－.
∴O、A、D三点共线，
且||＝2||，
∴O是中线AD上靠近A点的一个三等分点，
∴S△ABC∶S△OBC＝3∶2.
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