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第一节 平面对量的概念及其线性运算
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题
1．若向量a与b不相等，则a与b肯定( )
A．有不相等的模
B．不共线
C．不行能都是零向量
D．不行能都是单位向量
答案 C
2．下列命题中是真命题的是( )
①对任意两向量a，b，a－b与b－a是相反向量；
②在△ABC中，＋－＝0；
③在四边形ABCD中，(＋)－(＋)＝0；
④在△ABC中，－＝.
A．①② B．②③
C．②④ D．③④
解析 ①是真命题．由于(a－b)＋(b－a)
＝a＋(－b)＋b＋(－a)＝a＋(－a)＋b＋(－b)
＝(a－a)＋(b－b)＝0；
所以a－b与b－a是相反向量．
②真命题．由于＋－＝－＝0；
所以命题成立．
③假命题．由于＋＝，＋＝，
所以(＋)－(＋)＝－＝＋≠0，所以该命题不成立．
④假命题．由于－＝＋＝≠，
所以该命题不成立，故选A.
答案 A
3．如图，在△ABC中，||＝||，延长CB到D，使⊥，若＝λ＋μ，则λ－μ的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 由题意可知，B是DC中点，故＝(＋)，即＝2－，所以λ＝2，μ＝－1，则λ－μ＝3.
答案 C
4．设a，b是两个非零向量，则下列命题为真命题的是( )
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λb
D．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|
解析 将|a＋b|＝|a|－|b|两边都平方得a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2|a|·|b|，∴2a·b＝－2|a|·|b|⇒2|a|·|b|cosθ＝－2|a|·|b|，
∴cosθ＝－1，即a与b共线，故选C.
答案 C
5．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
解析 由＋＋＝0得＋＝，由O为△ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，故∠CAB＝30°.
答案 A
6．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是( )
A．[0,1] B．[0，]
C. D.
解析 由题意可求得AD＝1，CD＝，所以＝2.
由于点E在线段CD上，所以＝λ(0≤λ≤1)．
由于＝＋，
又＝＋μ＝＋2μ＝＋，
所以＝1，即μ＝.由于0≤λ≤1，所以0≤μ≤，故选C.
答案 C
二、填空题
7．(2021·重庆模拟)若＝3a，＝－5a，且||＝||，则四边形ABCD的外形是________．
解析 由于＝3a，＝－5a，
所以＝－，，共线，
所以AB，CD平行且不相等，又有||＝||，
所以四边形ABCD为等腰梯形．
答案 等腰梯形
8．(2022·陕西卷)设0<θ<，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ＝________.
解析 由a∥b，得sin2θ＝cos2θ，即2sinθcosθ＝cos2θ，由于0<θ<，所以cosθ≠0，整理得2sinθ＝cosθ，所以tanθ＝.
答案
9．已知向量c＝＋，其中a，b均为非零向量，则|c|的取值范围是________．
解析 与均为单位向量，当它们共线同向时，|c|取最大值2，当它们共线反向时，|c|取最小值0，故|c|的取值范围是[0,2]．
答案 [0,2]
三、解答题
10．如图所示，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，＝，＝a，＝b.
(1)用a、b表示向量，，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
解 (1)延长AD到G，使＝，
连接BG，CG，得到▱ABGC，所以＝a＋b.
＝＝(a＋b)，
＝＝(a＋b)，
＝＝b，
＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)．
＝－＝b－a＝(b－2a)．
(2)证明：由(1)可知＝，
由于有公共点B，所以B，E，F三点共线．
11．已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，假如3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值；若不存在，请说明理由．
解 由题设知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb.
整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
由于a，b不共线，所以有解得t＝.
故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上．
1．(2021·山东烟台期末)如图，O为线段A0A2 013外一点，若A0，A1，A2，A3，…，A2 013中任意相邻两点的距离相等，OA0＝a，OA2 013＝b，用a，b表示＋＋＋…＋OA2 013，其结果为( )
A．1 006(a＋b)
B．1 007(a＋b)
C．2 012(a＋b)
D．2 014(a＋b)
解析 设A0A2 013的中点为A，则A也是A1A2 012，…，A1 006A1 007的中点，由向量的中点公式可得＋OA2021＝2＝a＋b，同理可得＋OA2 012＝＋OA2 011＝…＝OA1 006＋OA1 007＝a＋b，
故＋＋＋＋…＋OA2 013＝1 007×2＝1 007(a＋b)，选B.
答案 B
2．(2022·浙江卷)记max{x，y}＝min{x，y}＝设a，b为平面对量，则( )
A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}
B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}
C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2
D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2
解析 依据向量运算的几何意义，即三角形法则，可知min{|a＋b|，|a－b|}与min{|a|，|b|}的大小关系不确定，故A，B选项错误．
当a，b中有零向量时，明显max{|a＋b|2，|a－b|2}＝|a|2＋|b|2成立．
由于|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos〈a，b〉，|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos〈a，b〉．
若a≠0，b≠0，则当0°≤〈a，b〉<90°时，
明显|a＋b|2>|a－b|2，且|a＋b|2>|a|2＋|b|2；
当〈a，b〉＝90°时，明显|a＋b|2＝|a－b|2＝|a|2＋|b|2；
当90°<〈a，b〉≤180°时，明显|a＋b|2<|a－b|2，而|a－b|2>|a|2＋|b|2.故总有max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2成立，故选D.
答案 D
3．已知△ABC中，＝a，＝b，对于平面ABC上任意一点O，动点P满足＝＋λa＋λb，则动点P的轨迹所过的定点为________．
解析 依题意，由＝＋λa＋λb，
得－＝λ(a＋b)，即＝λ(＋)．
如图，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，对角线交于点M，
则＝λ，
所以A，P，D三点共线，
即P点的轨迹是AD所在的直线，由图可知P点轨迹必过△ABC边BC的中点M.
答案 边BC的中点
4．(2022·温州十校期末)在△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1，＝x＋y且x＋y＝1，函数f(m)＝|－m|的最小值为，求||的最小值．
解 ∵＝x＋y，
∴＝x(－)＋y(－)＝x＋y－(x＋y)，
∵x＋y＝1，∴x＋y＝0，∴A，O，B三点共线，f(m)＝|－m|＝
＝
＝，
当m＝cos∠ACB时，f(m)＝|－m|的最小值为，
即cos2∠ACB－2cos2∠ACB＋1＝，
∵∠ACB为钝角，∴cos∠ACB＝－，
∴∠ACB＝120°，∠B＝∠A＝30°，∴||的最小值为.
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