2022版高考数学一轮复习-第四章-平面向量、数系的扩充与复数的引入-第二讲-平面向量的基本定理及坐.doc

2022版高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第二讲 平面向量的基本定理及坐标表示学案新人教版2022版高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第二讲 平面向量的基本定理及坐标表示学案新人教版年级：姓名：第二讲平面向量的基本定理及坐标表示知识梳理双基自测知识点一平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个_不共线_向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2使a_1e12e2_.知识点二平面向量的坐标表示在直角坐标系内，分别取与_x轴，y轴正方向相同_的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：axiyj，_(x，y)_叫做向量a的直角坐标，记作a(x，y)，显然i_(1,0)_，j(0,1)，0_(0,0)_.知识点三平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_(x1x2，y1y2)_，ab_(x1x2，y1y2)_，a_(x1，y1)_，|a|_.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则_(x2x1，y2y1)_，|_.知识点四向量共线的坐标表示若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_x1y2x2y10_.两个向量作为基底的条件：作为基底的两个向量必须是不共线的平面向量的基底可以有无穷多组题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底()(2)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.()(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可表示成.()(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变()(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标()题组二走进教材2(必修4P100T2改编)(2021北京十五中模拟)如果向量a(1,2)，b(4,3)，那么a2b(B)A(9,8)B(7，4)C(7,4)D(9，8)解析a2b(1,2)(8,6)(7，4)，故选B3(必修4P101A组T5改编)下列各组向量中，可以作为基底的是(B)Ae1(0,0)，e2(1,2)Be1(1,2)，e2(5,7)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2解析A选项中，零向量与任意向量都共线，故其不可以作为基底；B选项中，不存在实数，使得e1e2.故两向量不共线，故其可以作为基底；C选项中，e22e1，两向量共线，故其不可以作为基底；D选项中，e14e2，两向量共线，故其不可以作为基底故选B题组三走向高考4(2015新课标全国)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量(A)A(7，4)B(7,4)C(1,4)D(1,4)解析设C(x，y)，A(0,1)，(4，3)，解得C(4，2)，又B(3,2)，(7，4)，选A5(2018全国卷)已知向量a(1,2)，b(2，2)，c(1，)若c(2ab)，则_.解析由题意得2ab(4,2)，因为c(2ab)，c(1，)，所以42，得.6(2015北京)在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_；y_.解析由题中条件得()xy，所以x，y.考点突破互动探究考点一平面向量基本定理的应用师生共研例1 (1)如图，已知平面内有三个向量，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|1，|2，若(，R)，则的值为_6_.(2)已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示，若，则_3_.分析利用平行四边形法则对作关于，为基底的分解解析(1)解法一：以和为邻边作平行四边形OB1CA1，如图，则.因为与的夹角为120，与的夹角为30，所以B1OC90，在RtOB1C中，|2，所以|2，|4，所以|4，所以42，所以6.解法二：以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1,0)，C(2cos 30，2sin 30)，B(cos 120，sin 120)即A(1,0)，C(3，)，B.由(1,0)，即(3，)，得所以所以6.(2)建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则(2，2)，(1,2)，(1,0)由题意可知(2，2)(1,2)(1,0)，即解得所以3.故填3.引申若将本例(1)中“”改为“”则_.解析过点B作BHOA交OC于H，由例(1)知在RtOBH中，|BH|2，|OH|，2，2，故.名师点拨应用平面向量基本定理的关键(1)基底必须是两个不共线的向量(2)选定基底后，通过构造平行四边形(或三角形)利用向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来(3)注意几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等易错提醒：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便变式训练1(2021江苏南通月考)如图所示，半径长为1的扇形AOB的圆心角为120，点C在弧AB上，且COB30，若2，则_.解析根据题意，可得OAOC，以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则有A(0,1)，C(1,0)，B(cos 30，sin 30)，即，于是(0,1)，(1,0)，.由2，得(1,0)(0,1)2，解得故.考点二平面向量坐标的基本运算自主练透例2 (1)已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b.求3ab3c；求满足ambnc的实数m，n；求M，N的坐标及向量的坐标(2)设向量a，b满足|a|2，b(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为_(4，2)_.解析(1)由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)因为mbnc(6mn，3m8n)，所以解得.设O为坐标原点，因为3c，所以3c(3,24)(3，4)(0,20)，所以M(0,20)又因为2b，所以2b(12,6)(3，4)(9,2)所以N(9,2)所以(9，18)(2)设a(x，y)，x0，y0)，()(1)，因为m，所以，得，所以m1，故选B解法二：mm，m1，m.(2)(理)如图，设AB的中点为D由53，得3322，所以，所以C，M，D三点共线，且，所以ABM与ABC公共边AB上的两高之比为35，则ABM与ABC的面积比为.