对数函数及其性质教案.doc

课题：2.2.2 对数函数及其性质（第1课时）
广水市职业技术教育中心 彭志君
一、 教学目标
知识与技能目标
1. 初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；
2. 初步掌握对数函数的图象与性质。
过程与方法目标
1. 通过师生合作、分组学习和自主探索，让学生经历“特殊 一般 特殊”的认知过程，培养学生观察抽象的思维能力和数学交流能力，同时完善学生的认知结构；
2. 向学生渗透类比、数形结合、分类讨论等数学思想方法。
情感态度价值观
1. 让学生感受事物间的相互联系，学会用转化的眼光看事物；
2. 让学生体会数学问题探索的乐趣和成功的喜悦，体会数学的严谨及数与形的和谐统一美，增强学习数学的积极性。
二、 教学重难点
教学重点：对数函数的图象与性质
教学难点：底数a的分类讨论
三、 教学过程
1. 创设情境，引入新课
在练习题3中，我们知道某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，由2个分裂成4个，由4个分裂成8个，···，可得到下表：
细胞分裂次数
1
2
3
…
x
分裂后细胞个数

…

即：细胞的个数是分裂次数的函数，这个函数可以用指数函数=表示。
思考：这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个，100万个……细胞？
问题等价于已知细胞个数，求分裂次数.根据对数的定义，很快可以求出.这样我们就把分裂次数表示为细胞个数的函数.
如果用表示自变量，表示函数值，这个函数就是.
引导学生观察这个函数的特征：含有对数符号，底数是常数，真数是自变量。在数学中，我们就把具有这类形式的函数叫做对数函数。
设计意图：新课标强调“考虑到多数高中生的认知特点，为了有助于他们对函数概念本质的理解，不妨从学生自己的生活经历和实际问题入手”。因此，选择从生活例子中引出对数函数的概念，让学生熟悉它的知识背景，初步感受对数函数是刻画现实世界的又一重要数学模型。这样处理，对数函数显得不抽象，学生容易接受，降低了新课教学的起点，激发学生学习的兴趣。同时，整个过程中虽然没有提及反函数的概念，但却体现了指数函数求反函数的概念，为学习反函数做了铺垫。
2. 师生合作，探索新知
对数函数的定义：一般地，我们把函数叫做对数函数，其中，x是自变量。
问题1：结合对数的定义，能否由解析式直接求出此函数的定义域？
答：函数的定义域是.
问题2：对数函数的形式需要注意什么？
答：（1）底数是常数；
（2）真数是单个的x，是自变量；
（3）对数符号前面的系数是1.
设计意图：抽象出对数函数的一般形式，让学生感受从特殊到一般的数学思维方法，发展学生的抽象思维能力。
判断：下列函数是否为对数函数。
（1） 不是 （2） 不是
（3） 是 （4） 不是
（5） 不是
设计意图：使学生对对数函数的形式有更具体的认识和理解。
3. 分组学习，推进新知
回顾：我们怎么研究指数函数的性质？
答：从特殊到一般，利用图象研究了指数函数的定义域、值域、过定点、单调性、奇偶性等性质。
学生活动1——动手实践作图象
把全班同学每四人分一组，组内合作画 和
的图象。
画函数图象的一般步骤：列表 描点 连线成图

x
…………
1/2
1
2
4
8
…………
y=log2x
…………
-1
0
1
2
3
…………
y=log1/2x
y=log1/2x
…………
1
0
-1
-2
-3
…………

x
…………
1/3
1
3
9
…………
y=
…………
-1
0
1
2
…………
y=log1/3x
…………
1
0
-1
-2
…………
（及时指导学生画图，若有画的好的小组可在班级展示，然后在大屏幕上动态展示图象形成的过程。）
O
(1,0)
x
y

y
(1,0)

x
O

设计意图：会用描点法画简单对数函数的图象，加深学生对对数函数图象形成过程的感性认识。
学生活动2——交流讨论找异同
提问：这四个图象有哪些异同？反映了相应对数函数的什么性质呢？
相同点：1）图象都在y轴右侧，即定义域都是；
2）都可以向上和向下无限延伸，即值域都是R；
3）都过点（1，0）；
4）都不具有奇偶性；
5）图象分别关于x轴对称。
不同点：
设计意图：培养学生交流沟通的能力，让学生对用图象研究函数的一般步骤有更深刻的认识，同时为讨论一般对数函数的图象与性质作铺垫。
4. 猜想验证，加深理解
探究：类比指数函数，对数函数单调性出现差异的原因是什么？
猜想：底数a的大小。当a>1时，相应的对数函数在定义域上是增函数；当0<a<1时，相应的对数函数在定义域上是减函数。
教师活动——动态演示：
几何画板演示对数函数图象随a值的改变而变化的趋势。
总结出对数函数图象可分为两类：

设计意图：明确底数a对对数函数图象的影响，渗透分类讨论的数学思想。
学生活动3——自主探索得性质
根据对数函数的图象特征，由特殊到一般提炼出对数函数的性质，完成下表：
底数
a>1
0<a<1

图

象

定义域

值域
R
定点
（1，0）即时，
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的符号
当时，
当时，

底真同区间函数值为正
当时，
当时，

底真异区间函数值为负
（说明：教材对于对数函数性质的处理，仅是观察图象发现的，其正确性理应严格证明，但教材不做要求）
设计意图：通过观察对数函数的图象，分析总结出对数函数的性质，有利于加深学生对性质的理解和掌握。同时，让学生经历从特殊到一般的认知过程，体验知识的形成过程，完善学生的认知结构，逐步培养学生的抽象概括能力。
填空：（“>”、 “=” 或“<”）
（1） < 0 （2） < 0
（3） > 0 （4） > 0
（5） = 0
设计意图：利用性质快速判断一个对数与0的大小关系。

5. 例题讲解，强化应用
例.求出下列函数的定义域：
（1） （2）
解：（1）故原函数的定义域为；
（2）故原函数的定义域为。
反思：求函数定义域是找使函数解析式有意义的x的取值范围，一般需考虑以下几点（1）分式的分母不等于0；
（2）偶次根式的被开方数为非负数；
（3）0次幂计算时底数不等于0；
（4）实际问题要有实际意义；
（5）对数式中真数大于0.
设计意图：简单介绍对数型函数求定义域问题，并总结函数求定义域中需注意的五点，培养学生的探索精神，同时，为下一课时全面介绍对数函数的应用作铺垫。
6. 归纳总结，巩固双基
基本知识：1.对数函数的定义；
2.对数函数的图象与性质。
基本方法： 1. 类比归纳；
2. 分类讨论；
3. 数形结合。
设计意图：在总结和反思中，整理知识，进一步巩固和提高对对数函数定义和性质的理解，同时，掌握常用的数学思想方法。
7. 布置作业，提高升华
必做题：第74页第7题
思考题：比较下列图象中四个对数函数的底数a、b、c、d的大小。

设计意图：学以致用，检验学生对本节课知识和方法掌握情况，同时为第2课时“对数函数性质的应用”的学习做准备。
2.2.2 对数函数及其性质
1．对数函数的定义 例.·······················
································ ······················
································· ······················
2．对数函数的图象 ······················
······························· ······················
3．对数函数的性质
四、 板书设计

五、 教学反思
函数内容是学生学习的一个难点，本节课的设计先通过实例建立对数函数的模型，引进对数函数的概念，然后类比指数函数，采用从特殊到一般利用函数图象研究函数性质的方法，总结归纳了对数函数的相关性质，最后介绍了对数函数性质的简单应用。在整个教学过程中，根据教学内容，以问题为教学出发点，顺应合理的逻辑结构和“特殊 一般 特殊”的认知结构，以教师为主导、学生为主体，倡导自主探索和交流合作的学习方式，重视知识的形成过程，注重学生抽象概括能力的培养，注重数学思想方法的渗透，做到“授人以鱼，更要授人以渔”。
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