对数函数及其性质习题---副本1.doc

对数函数及其性质习题
一、选择题
1．函数f(x)＝lg(x－1)＋的定义域为(　　)
A．(1,4]　　　　　　　　　　 B．(1,4)
C．[1,4] D．[1,4)
2．函数y＝log2|x|的大致图象是(　　)

3．若loga2＜1，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1,2) B．(0,1)∪(2，＋∞)
C．(0,1)∪(1,2) D．(0，)
4．设a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．a＜c＜b　　　B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c
5．已知a>0且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是(　　)

6．函数y＝log2x在[1,2]上的值域是(　　)
A．R B．[0，＋∞) C．(－∞，1] D．[0,1]
7．对数式中，实数a的取值范围是 （ ）
A． B．(2,5) C． D．
8．如果lgx=lga+3lgb－5lgc，那么 （ ）
A．x=a+3b－c B． C． D．x=a+b3－c3
9．（2011 北京）如果那么
A．y< x<1 B．x< y<1
C．1< x<y D．1<y<x
10.（2012 新课标） 已知函数f(x)= ,则y=f(x)的图像大致为

11．若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为(　　)
A. B. C．2 D．4

二、填空题

12．函数y＝的定义域是________．
13．若函数f(x)＝logax(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为________．
14．已知g(x)＝则g[g()]＝________.
15．f(x)＝log2的图象关于原点对称，则实数a的值为________．

16．函数y＝loga(x＋2)＋3(a＞0且a≠1)的图象过定点________．

17．（2014•天津）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为 .
18．将函数的图象向左平移3个单位，得到图象，再将向上平移2个单位得到图象,则的解析式为 .
19．若函数的定义域为R，则k的取值范围是 .
20、（2014 重庆）函数的最小值为_________.

三、解答题

21．求值：

22．函数f(x)＝log(3x2－ax＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围．

23．已知函数f(x)=lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]，若f(x)的定义域为R
求实数a的取值范围．

24．已知f(x)=x2＋(lga＋2)x＋lgb，f(－1)=－2，当x∈R时f(x)≥2x恒成立，求实数a的值，并求此时f(x)的最小值？

25．设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小．

26．已知函数f(x)=loga(a－ax)且a＞1，
（1）求函数的定义域和值域；
（2）讨论f(x)在其定义域上的单调性；
（3）证明函数图象关于y=x对称．

27．在对数函数y=log2x的图象上(如图)，有A、B、C三点，它们的横坐标依次为a、a＋1、a＋2，其中a≥1，求△ABC面积的最大值．

28．(2012 上海)已知函数.
（1）若，求的取值范围；（6分）
（2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数
的反函数.（8分）

参考答案
1. A 2.D 3.B 4.D 5.B
6.D 7. D 8.C 9.D 10.B 11.B
12.{x|1＜x≤2} 13. 14. 15.1 16. (－1,3) 17. （﹣∞，﹣2） 18. 19. 20.
21 解法一：原式＝
＝＝.
解法二：原式＝＝.

22.解：令t＝3x2－ax＋5，则y＝logt在[－1，＋∞)上单调递减，故t＝3x2－ax＋5在[－1，＋∞)单调递增，且t＞0(即当x＝－1时t＞0)．
因为t＝3x2－ax＋5的对称轴为x＝，所以⇒⇒－8＜a≤－6.

23、解：依题意(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＞0对一切x∈R恒成立．
当a2－1≠0时，其充要条件是：
解得a＜－1或a＞
又a=－1，f(x)=0满足题意，a=1，不合题意．
所以a的取值范围是：(－∞，－1]∪(，＋∞)
24、解析：由f(－1)=－2，得：f(－1)=1－(lga＋2)＋lgb=－2，解之lga－lgb=1，
∴=10，a=10b．
又由x∈R，f(x)≥2x恒成立．知：x2＋(lga＋2)x＋lgb≥2x，即x2＋xlga＋lgb≥0，对x∈R恒成立，
由Δ=lg2a－4lgb≤0，整理得(1＋lgb)2－4lgb≤0
即(lgb－1)2≤0，只有lgb=1，不等式成立．
即b=10，∴a=100．
∴f(x)=x2＋4x＋1=(2＋x)2－3
当x=－2时，f(x)min=－3．

25.解法一：作差法
|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=||－||=(|lg(1－x)|－|lg(1＋x)|)
∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1＜1＋x
∴上式=－[(lg(1－x)＋lg(1＋x)]=－·lg(1－x2)
由0＜x＜1，得，lg(1－x2)＜0，∴－·lg(1－x2)＞0，
∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|
解法二：作商法
=|log(1－x)(1＋x)|
∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1＋x，∴|log(1－x)(1＋x)|=－log(1－x)(1＋x)=log(1－x)
由0＜x＜1，∴1＋x＞1，0＜1－x2＜1
∴0＜(1－x)(1＋x)＜1，∴＞1－x＞0
∴0＜log(1－x)＜log(1－x)(1－x)=1
∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|
解法三：平方后比较大小
∵loga2(1－x)－loga2(1＋x)=[loga(1－x)＋loga(1＋x)][loga(1－x)－loga(1＋x)]
=loga(1－x2)·loga=·lg(1－x2)·lg
∵0＜x＜1，∴0＜1－x2＜1，0＜＜1
∴lg(1－x2)＜0，lg＜0
∴loga2(1－x)＞loga2(1＋x)，即|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|
解法四：分类讨论去掉绝对值
当a＞1时，|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=－loga(1－x)－loga(1＋x)=－loga(1－x2)
∵0＜1－x＜1＜1＋x，∴0＜1－x2＜1
∴loga(1－x2)＜0，∴－loga(1－x2)＞0
当0＜a＜1时，由0＜x＜1，则有loga(1－x)＞0，loga(1＋x)＜0
∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=|loga(1－x)＋loga(1＋x)|=loga(1－x2)＞0
∴当a＞0且a≠1时，总有|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|
26.解析：(1)定义域为(－∞，1)，值域为(－∞，1)
(2)设1＞x2＞x1
∵a＞1，∴，于是a－＜a－
则loga(a－a)＜loga(a－)
即f(x2)＜f(x1)
∴f(x)在定义域(－∞，1)上是减函数
27.解：根据已知条件，A、B、C三点坐标分别为(a，log2a)，(a＋1，log2(a＋1))，(a＋2，log2(a＋2))，则△ABC的面积
S=

因为,所以

28.解:（1）由，得.
由得. ……3分
因为，所以，.
由得. ……6分
（2）当xÎ[1,2]时，2-xÎ[0,1]，因此
. ……10分
由单调性可得.
因为，所以所求反函数是，. ……14分

8