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“对数函数及其性质”教学实录与反思
1 基本情况
1．1 授课对象
学生来自四星级重点高中普通班，基础较好，有一定的推理能力及运算能力．
1．2 教材分析
所用教材为《普通高中课程标准实验教科书·数学（必修一）》（人教A版），教学内容为“2.2.2 对数函数及其性质”．这是必修一第二章“基本初等函数（Ⅰ）”中，继研究“指数函数及其性质”后所研究的第二个函数．学习基本初等函数，一方面可以加深对函数概念的理解，掌握研究函数的一般方法；另一方面，基本初等函数是常见的重要的函数模型，是研究其他函数的基础，与生活实践、科学研究有着密切的联系，有着广泛的应用．学生已经学习过函数概念，函数的单调性、奇偶性等性质，学习过指数函数的图象和性质，学习过对数的概念以及对数的运算．这些都构成了学生的认知基础．教学中，一方面利用研究指数函数所获得的经验，按照研究函数的一般方法来研究对数函数，进一步体验研究函数的一般方法；另一方面，加强与指数函数的联系，在知识与知识间的联系中学习新知识，帮助他们形成良好的知识结构，发展理性思维，提高认识能力．
教学目标：
（1）经历由指数函数、对数及其运算导出对数函数的概念的过程，体验知识之间的联系；通过举例感受数学与生活、科学研究的联系；
（2）进一步掌握研究函数的一般方法，初步掌握利用指数与对数的联系研究对数函数；
（3）初步了解对数函数的性质，并初步运用对数函数的性质解决诸如求函数的定义域、比较大小等简单问题．
教学重点：建立对数函数的概念，画出对数函数的图象，初步了解对数函数的性质．
教学难点：利用与指数函数的联系来研究对数函数的性质．
2 教学过程
2．1 问题情境，构建概念
数学教学应当从问题开始．首先提出
问题一 我们已经学习过指数函数y＝ax（a＞0，a≠1），又知道x＝logay（a＞0，a≠1），那么，在x＝logay（a＞0，a≠1）中，能否说x是y的函数呢？为什么？
生众：x是y的函数．
师：还有“为什么”呢？
生：对于任意一个y，都有唯一的实数x与y对应．
师：任意的一个y？
生：噢，y要是正数．
师：到底该怎么说？
生：对于任意一个正数y，都有唯一的一个实数x与y对应，所以，x是y的函数．这个函数的定义域是（0，+∞）．
师：你们认为对于“任意一个正数y，都有唯一的一个实数x与y对应”，我认为有两个x与y对应．你们怎么反驳我？
生：老师，指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）在a＞1时是单调增的；在0＜a＜1时是单调减的，一个x只有一个y跟它对上．怎么会有两个呢？
师：很好，难不倒你们．前面我们学习过指数函数．在指数函数中，y是因变量，指数函数的值域是（0，+∞），在这里，y成了自变量，（0，+∞）成了定义域．（边说边利用几何画板画出指数函数的图象．）
要说明x是不是y的函数，需要运用函数的概念来检测．函数概念中，最重要的是“对应法则”，那么在这个过程中，“对应法则”到底指什么呢？
绝大多数同学不知道“对应法则”指什么？因而不知道该怎么解释．教师等待了一会儿，有学生要求发言．

图1
生：在y轴上画一点D，测量出它的纵坐标y，经过点D画y轴的垂线，作出这条垂线与指数函数图象的交点M，过点M画x轴的垂线，与x轴交于一点C，点C横坐标就是与y对应的x值．教师根据学生所说用几何画板做相应的制作．（图1）
师：她利用指数函数的图象，指出了怎样由给出的y找x的过程．实际上，对于给出的每一个正数y，求它的对数logay，这就是与这个x对应的唯一确定的值．
习惯上，我们用x表示自变量，用y表示x的函数，写成
y＝logax（a＞0，a≠1）．
我们把这个函数叫做对数函数．
师：在实际生活中，大家见过或者听说过这样的函数吗？
因为学习过指数函数以及对数知识，同学们又学习过教科书之前的一个例题：生物体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代．利用t＝logP可估算出土文物或古遗址的年代（其中t表示死亡年数，P表示碳14含量）．根据问题的实际意义，对于每一个碳14含量P，通过对应关系t＝logP都有唯一确定的年代t与它对应，说明t是P的函数．也有同学举例：如果我国GDP年平均增长率保持8%，约多少年后我国的GDP在2010年的基础上翻两番？即利用t＝log1.08N计算年数t是多少．
2．2 绘制图象，研究性质
师：今天我们结识了一个新朋友——对数函数，接下来自然就是要研究它的性质．提出
问题二 请你研究对数函数y＝logax（a＞0，a≠1），获得它的性质．越多越好．
留给学生充足的时间．
请4名学生板演．各自在自己的草稿本上画起来，写起来，有的还与同伴进行了交流．
待学生板演完毕，绝大多数学生都有了比较充分的思考之后组织交流．亮出
问题三 你们是怎样研究对数函数y＝logax（a＞0，a≠1）性质的？
有学生说，先画出对数函数的图象．
师：“你们是怎样画对数函数图象的？”

图2
生：“列表、描点．”
教师肯定了他们的做法．这很自然，因为研究指数函数就是先列表、描点画出图象的．教师接着问“都是用列表、描点的方法画对数函数的图象的吗？”有学生举手说，还可以利用指数函数的图象来画对数函数的图象．
师：怎么画？
生：把指数函数的图象关于直线y＝x对称一下．
师：为什么？
生：点P（x，y）在指数函数的图象上，点P’（y，x）在对数函数的图象上？而点P（x，y）与P’（y，x）关于直线y＝x对称．
师：我们来看看是不是这样．
教师借助几何画板，在指数函数的图象上画点P，作出与点P关于直线y＝x对称的P’， 同时度量出点P与P’的坐标，跟踪点P’，拖动点P，显示点P与点P’的坐标，点P’的轨迹形成对数函数的图象．（图2）
事实说明，点P（x，y）与P’（y，x）关于直线y＝x对称，对数函数的图象与指数函数的图象关于直线y＝x对称．
师：我们来看黑板上几位同学写出的对数函数的性质，你们说哪位同学写得最好，需要有什么补充的吗？
同学们就内容是否丰富——是不是发现得最多？表达是否有条理——有没有编号？语言是否准确等几个方面进行了评价，并进行了补充．他们几乎发现了对数函数的所有性质，其中有一些并不是教学所要求的．在教师的引导下，把对数函数的性质与指数函数的性质进行比较，形成如下表格．
性质
对数函数
y＝logax（a＞0，a≠1）
指数函数
y＝ax（a＞0，a≠1）
定义域
（0，+∞）
R
值域
R
（0，+∞）
奇偶性
不是奇函数，也不是偶函数
单调性
在a＞1时单调增；在0＜a＜1时单调减
图象过特殊点
图象都经过点（1，0）
图象都经过点（0，1）
对称
y＝logax的图象与y＝logx的图象关于x轴对称
y＝ax的图象与y＝（）x的图象关于y轴对称
同学们发现的性质还有：
（1）当a＞1时，若x＞1，则y＞0，若0＜x＜1，则y＜0；
当0＜a＜1时，若x＞1，则y＜0，若0＜x＜1，则y＞0．
（2）对数函数的图象分布特点是，在x轴的上方，自左而右，底数a越来越大．
借助图象，验证了这些性质．
2．3 证明性质，理性思维
师：借助图象观察函数的性质是研究函数性质的好办法，但是，发现的性质必须经过严格的证明才能成为数学结论．显示
问题四 你能够证明你所发现的对数函数的性质吗？
同学们就对数函数的单调性，以及“y＝logax的图象与y＝logx的图象关于x轴对称”进行了证明．（略）
2．4 性质应用，巩固练习
例1 求下列函数的定义域：（1）y＝logax2；（2）y＝loga（4－x）．
例2 比较下列各组数中两个值的大小：（1）log23.4，log28.5；（2）log0.31.8，log0.32.7；
（3）loga5.1，loga5.9（a＞0，a≠1）．
板演练习．（过程略）
2．5 全课小结，布置作业
问题五 下课后，如果有人问你：“你们这堂课学习了些什么东西？”你怎么回答？你能说说我们是怎样研究对数函数的吗？还有其他什么收获吗？
布置作业．（略）
3 回顾与反思
3．1 教学设计立意
（1）让学生在知识的联系中学习知识．学生已经比较详细地学习过指数函数，熟悉指数函数的定义、图象、性质；了解研究函数的一般“套路”——先画图象，借助图象研究函数的性质，以及先研究定义域，值域，再研究奇偶性、单调性等等．不仅如此，又学习过对数概念，了解对数与指数之间的关系——对数是指数的另一种表示形式，还学习过对数的运算法则等．这些就构成了学习对数函数的“生长点”，构成了一个重要的系统．让学生在与旧知识的联系中学习新知识，在知识的系统中理解新知识，让学生了解知识的发生过程、来龙去脉，以帮助他们形成良好的知识结构，提高认识能力，便于知识的迁移与应用．
（2）促使学生用概念思维．问题一的侧重点是，判断“在x＝logay（a＞0，a≠1）中，能否说x是y的函数”，是一次加深函数概念理解的过程．在这个过程中，他们必然以函数概念为指导，检查这个函数的定义域是什么？对应法则是什么？即需要考虑对于y的每一个取值，x是否有唯一确定的值与之对应以及怎样对应．y的每一个值必须是正数，这是因为，学生自然地会把“x＝logay（a＞0，a≠1）”与“y＝ax（a＞0，a≠1）”紧密地联系起来，或者借助“对数的真数必须是正数”．问题中要求回答“为什么”，意图就是启发学生利用指数函数的单调性以及指数与对数之间的关系来解释结果——有唯一的x与y对应．当然，对于教师“我认为有两个x与y对应，你们怎么反驳我？”的挑逗，学生可以反过来要求教师举反例，怎么会有“两个x与y对应”呢？
（3）从数学的内部提出所要研究的问题，培养理性精神，同时也给学生提出问题以示范．教科书借助之前的一个例题，指出“考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡生物体的残留物，利用t＝logP估算出土文物或古遗址的年代．根据问题的实际意义可知，对于每一个碳14含量P，通过对应关系t＝logP都有唯一确定的年代t与它对应，所以t是P的函数．”概括出对数函数．其目的是加强与实际的联系．这当然也是一种构建对数函数的方法．指数函数的概念就是由实际问题概括得出的．笔者以为，由指数函数以及对数与指数的关系引入更好，突出对数函数与指数函数的联系有利于今后对数函数的研究．在建立对数函数的概念之后引导学生举例，加强与实际的联系，以具体事例为载体理解抽象的概念．因此这种引入并不排斥对数函数与实际的联系．
（4）体验对数函数与指数函数互为反函数．学习对数函数承载着互为反函数的两个函数关系的体验．引导学生反复体验对数函数与指数函数之间的关系，反函数概念将水到渠成．笔者认为，反函数的学习重要的不在于给出定义，更不在于给出一般化的定义（教科书未给出），而在于互为反函数的两个函数在性质上的联系，以及这种联系的应用（如认识各自的性质），体现在这个过程之中．没有过程就没有思想．指数函数、对数函数都是一种特殊的函数，都是函数概念的下位概念；借助类比，紧密联系指数函数可以更好地认识对数函数．这一阶段的学习应该让学生感受、体验到下面的两条“平行线”：
指数概念——指数运算——指数运算法则——指数函数；
对数概念——对数运算——对数运算法则——对数函数．
3．2 教学过程反思
（1）数学教学必须重视概念的教学．李邦河院士认为：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧．技巧不足道也！”概念教学要让学生感受到概念产生的必要性，要让学生参与概念的定义过程，感受其合理性．在x＝logay（a＞0，a≠1）中x是否可以作为y的函数？让学生借助指数函数及对数的意义判断，是函数概念运用的过程，是引导学生参与概念定义．既然在x＝logay（a＞0，a≠1）中x是y的函数，那么一个新函数y＝logax（a＞0，a≠1）就诞生了．与“对数源于指数”一样，对数函数源于指数函数．这就是知识的“来龙”．对于一个新对象，紧接着就是如何研究？也就是如何研究这个新函数，感受研究函数的一般方法．经过同学们自己的研究获得了这个函数的各种性质，又是知识的“去脉”，让学生体验、感受知识的来龙去脉、发生发展过程、结构特征、内在联系．概念教学不能急功近利，简单化，由教师概括、抽象，告诉学生，然后进行大题量训练．应当让学生参与举例，参与概括，体验概念的本质，理解概念．那种“一个概念，三项注意”的做法是不可取的．
（2）必须把学生“卷”入到教学过程中来．学习是学习者的体验与感受，是任何其他人都代替不了的．上课始，教师通过问题，开启学生的思维活动．在同学们独立思考之后，组织交流．在师生、生生会话等交流活动中，把问题搞清楚，改变知识结构．学生力所能及的事让学生自己去做，教师不要越俎代庖．他们有研究指数函数的经验，了解研究函数的基本过程，教师要舍得留足时间，放手让他们通过自己的努力尝试解决问题．他们自己获得的结果很可能是不准确、不完整的，这并奇怪，可贵的是这些结果来自于他们自己的思考，是自己思维劳动的成果，是主动、积极、有效的．问题是把学生卷入到教学中的动力．教师要练就“提好问题”（提-好问题、“提好-问题”）的本领．以“问题串”的方式呈现教学内容是一种好办法．板演是一种常用的教学手法，板演后谁来评价？应当首先引导学生来评价而不是教师．对数函数的性质是否准确、完整？表达是否规范？作图是否合理？甚至包括书写是否工整、有条理等等．教师利用来自学生的材料教育学生．在教师指导下，在相互补充的过程中，逐步完善对数函数的性质，其效果要比教师的告诉好千百倍．整个过程同学们积极投入、热情高涨，获得的不仅是知识发展、能力发展，身心健康、心理品质都得到发展．要提高教学的立意，教学的最高立意是“育人”．
（3）关注结果，更关注结果产生背后的思维过程．数学教学是数学活动的教学，而数学活动是数学的思维活动．一堂课是否为好课关键看学生的“思维参与度”以及有没有高水平、深层次的思维．教师设置问题，把学生引入“愤”、“悱”境地，经过思考获得结果．教师不仅关注获得的结果，还要关注结果获得背后的思维过程．经常问一问“你凭什么这么说？”“你是怎么想到的？”“你是怎样研究的？”让学生暴露思维过程，暴露研究过程．比如，学生在回答“你是怎样研究的？”时说“先画图象”，“图象是怎么画的？”“列表描点”，“还有不是通过列表描点画图的吗？”“可以借助指数函数的图象画对数函数的图象”．“怎样画图”的过程暴露出来了．如果再深入追问，你是怎么知道借助指数函数的图象来画对数函数的图象的呢？必然回到解释指数与对数的关系上．这一系列过程是一个概念运用的过程，有效提高了知识运用的能力，逻辑思维能力．不知道“为什么”的知识是肤浅的知识，多问“为什么”是从假懂走向真懂的必经之路．
（4）要重视信息技术的运用．信息技术的恰当运用可以增强教学效果是不争的事实．现场作出与点P关于直线y＝x对称的点P’，度量点P与P’的坐标，两个点的坐标关系（不必要求证明）清晰地显示在屏幕上；拖动点P，跟踪点P’形成对数函数的图象，真切感受着这两个函数图象之间的联系．拖动点A改变a的值，跟踪图象看到的是图象的分布状况．此时此刻没有一个学生的注意力是不集中的．

参考文献
[1] 普通高中课程标准实验教科书·数学必修1（A版）[M]．北京：人民教育出版社，2007，2．第2版．

发表在《中学数学月刊》2011年第3期
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