实际问题和一元一次方程-同步辅导.doc

3.4实际问题与一元一次方程1配套问题(1)一般情况下，配套问题总有两种事物，一般不是1个配1个，而是1配多，或按比列配置比如螺钉、螺母，且一个螺钉配两个螺母；桌面、桌腿，一个桌面配四条桌腿，等(2)常用等量关系：个数相等不管是2个配1个，还是4个配1个，通过乘以扩大倍数，得到两种事物个数相等从而列出方程这是配套问题中的等量关系，也是列方程的方法析规律 配套问题一般是用式子表示出各自的个数，再通过乘以倍数扩大数目少的或列比例式列出方程【例1】 某车间每天能生产甲种零件180个或乙种零件120个，若甲、乙两种零件分别取3个、2个配成一套，那么要在30天内生产最多的成套产品，应怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？分析：可设安排生产甲种零件x天，那么(30x)天生产乙种零件，x天生产甲种零件180x个，(30x)天生产乙种零件120(30x)个，根据比例关系可知甲乙32，或甲2乙3，列出方程求解解：若安排生产甲种零件x天，那么生产乙种零件(30x)天，根据题意，得180x120(30x)32(或列式子：2180x3120(30x)化简，得360x360(30x)，解得x15，30x15.答：安排生产甲、乙两种零件各15天，能生产最多的成套产品2工程问题(1)基本关系量：主要有三个量：工作量、工作效率、工作时间在工程问题中，通常把全部工作量表示为1，如果甲单独完成一项工作需要n小时，那么平均每小时完成的工作量就是.其中即是1小时的工作量，也是甲的工作效率(工作效率：单位时间完成的工作量)(2)基本关系式子：工作量工作效率工作时间；工作量人均效率人数工作时间(3)常用等量关系：各阶段完成的工作量之与完成的工作总量；各人完成的工作量之与完成的工作总量解技巧 工程问题的解法在同一工程问题中，一般都有两个或两个以上的工作效率，相对应的就有两个或两个以上的工作时间，但不论何种情况，应注意：必须是相对应的工作效率乘以工作时间才是工作量先干、后干或是甲干、乙干，只有全部完成，才等于1，只是完成部分，工作量就不是1，工作量要由具体情况得出【例21】 一件工作，甲单独做20小时可以完成，乙单独做12小时可以完成现在先由甲先做4小时，余下的工作由二人合作完成问余下的部分二人几小时可以完成？分析：把总工作量看作“1”，由题意可知，甲的工作效率是，乙的工作效率是.若设余下的部分二人合作需要x小时完成，则根据“甲先做4小时的工作量甲、乙二人合作的工作量总工作量1”列方程解出解：设余下的部分二人合作需要x小时完成，则1，解得x6.答：余下的部分甲、乙二人用6小时可以完成【例22】 某中学的学生自己动手整修操场，如果让初一学生单独工作，需要7.5小时完成；如果让初二学生单独工作，需要5小时完成如果让初一、初二学生一起工作1小时，再由初二学生单独完成剩余部分，共需多少时间完成？分析：初一学生的工作总量初二学生的工作总量全部工作量解：设还需要x小时完成，得1，解得x，所以共需要：1(小时)答：共需小时完成3营销问题营销问题是应用题中最重要的一部分，也是在中考中出现最多的题，这类问题术语较多、数量关系较复杂，使得题目变化较多，题目难易程度不一，并与我们的生活联系最密切(1)关键词：成本价(进价)，标价，零售价；利润，利润率；折扣数(打x折)，盈利、亏损、让利、买入(价)、卖出(价)等(2)常用等量关系售价、进价、利润、利润率的关系式：商品利润商品售价商品进价商品利润商品进价利润率标价、折扣数、商品售价关系：商品售价标价.商品售价、进价、利润率的关系：商品售价进价(1利润率)(3)列方程常用等量关系同一个量的不同表示结果相等最常用的就是售价进价进价利润率根据上面的公式设未知数列方程谈重点 营销问题运用方程解决有关市场营销问题的关键：一是抓住其中的两个基本等量关系：利润售价进价，利润进价利润率，再就是弄清成本价(有时是进价)、售价、零售价、标价、打几折、打折后的实际售价、利润、实际利润、实际利润率等的关系，只有理清它们之间的关系，才能寻找正确的等量关系，列出方程【例3】 某商品的零售价是900元，为适应竞争，商店按零售价打9折(即原价的90%)，并再让利40元销售，仍可获利10%，求该商品的进价分析：实际售价是90090%，实际利润是在原利润的基础上让利40元，设进价为每件x元，根据实际获得的利润(不同的表示法)相等列方程求解解：设该商品的进价为每件x元，依题意，得9000.94010%xx.解得x700.所以此商品的进价是700元4销售中的盈亏(1)意义：学会通过计算进行比较判断的理性决策方式，认识盈亏需要通过计算，用数据说明问题(2)根据营销问题中的计算公式、法则分别进行计算，综合比较判断是盈是亏，方案是优是劣，以及怎样才能获得更大利润效益【例4】 新华书店一天内大批量销售了两种书籍，甲种书籍共卖得1 560元；为了发展农业科技，乙种书籍送书下乡共卖得1 350元，若按甲、乙两种书籍的成本分别计算，甲种书籍可盈利25%，乙种书籍亏本10%，试问该书店这一天两种书籍共盈利(或亏本)多少元？分析：分别计算出两种书籍的进价支出，与售价收入对比求出解：设甲种书籍的成本为x元，乙种书籍的成本为y元，则甲种书籍：(125%)x1 560，解得x1 248.乙种书籍：(110%)y1 350.解得y1 500.所以盈利：(1 5601 350)(1 2481 500)162(元)答：该书店这一天售出两种书籍共盈利162元5.球赛积分表问题(1)意义：了解现实生活中的体育知识，学会用数学的思想分析比赛，学会判断、决策，认识有些问题符合题意但不符合实际(2)相关知识：赛制：单循环、双循环、淘汰赛、决赛、半决赛等积分办法：篮球：胜一场积2分，负一场积1分，没有平局情况；足球：胜一场积3分，平一场各积1分，输一场积0分(3)理解：通过观察表格发现、筛选有用数据，进行分析、计算、判断、决策利用方程不仅能计算未知数的值，而且可以进一步进行推理对于解决实际问题，检验解出的结果是否合乎实际意义是必要的【例5】 下表是某赛季国内篮球甲A联赛常规赛的最终积分榜：队名比赛场次胜场负场积分八一双鹿2218440上海东方2218440北京首钢2214836吉林恒与2214836辽宁盼盼22121034广东宏远22121034前卫奥神22111133江苏南钢22101232山东润洁22101232浙江万马2271529双星济军2261628沈部雄师2202222(1)列式表示总积分与胜、负场数之间的数量关系(2)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？分析：(1)从表格中最后一行看：负22场，积22分，可知负一场积1分所以若设胜一场积x分，从表中其他任何一行可以列方程，求出胜一场的积分(2)根据胜负积分及胜负场次列方程计算，观察结果，得出结论解：(1)设胜一场积x分，从第一行得出方程：18x1440，解得x2.所以胜一场积2分如果用M表示胜场，则负(22M)场，胜场积分为2M分，负场积分为(22M)分，总积分W，那么W2M(22M)(M22)分(2)设一个队胜了x场，则负了(22x)场，如果这个队的胜场总积分等于负场总积分，则有方程2x(22x)解得x.因为x虽是方程的解，但场数只能是正整数，所以任何一队都不可能有胜场总积分等于负场总积分的情况6图表信息题的应用图表信息题，就是根据实际问题中所呈现出来的图象、图表信息，要求依据这些给出的信息通过整理、分析、加工等手段解决的一类问题主要考查同学们识图看表的能力以及处理信息的能力解答这类试题的关键是对图表信息认真分析、合理利用，按照题意要求，准确地输出信息，结合所学知识，运用数学的手段加以解决解这类题的一般步骤是：(1)观察图象，获取有效信息；(2)对已获信息进行加工、整理，理清各变量之间的关系；(3)选择适当的数学工具，通过建模解决问题【例6】 长风乐园的门票价格规定如下表所列某校七年级(1)、(2)两个班级共104人去游长风乐园，其中(1)班人数较少，不到50人，(2)班人数较多，有50多人经估算，如果两班都以班为单位分别购票，则一共应付1 240元；如果两班联合起来，作为一个团体购票，则可以节省不少钱问两班各有多少学生？购票人数150人51100人100人以上每人门票价13元11元9元分析：若设(1)班有x人，那么(2)班有(104x)人，根据(1)班购票款(2)班购票款总支付款1 240元列方程求出(1)班人数，再求(2)班人数解：设(1)班有x人，那么(2)班有(104x)人，根据题意，得13x11(104x)1 240.解得x48，所以，(2)班人数是104x1044856(人)答：(1)班、(2)班分别有48人，56人7.银行利率问题解法银行利率问题是应用题一种常见题目，也是居民生活与企业经营中经常遇到的问题是与生活息息相关实用性较强的数学问题(1)相关量名称：存款利率、贷款利率、年利率、月利率、利息、本金、本息与(2)主要等量关系式：利息本金年利率年数利息本金月利率月数(或12个月年)本息与本金利息(3)应用特点：一般都是根据所给数据直接计算，以算式直接进行运算的方式较多，如计算所得利息，本息与，应交贷款利息等随着人们投资理财意识的增强，通过计算选择最优方案问题最常见，且实用性较强破疑点 银行利率银行利率问题是比较简单的问题，变化不大，很多时候就是用公式代入计算，只是很多学生不理解专业术语，这与接触、认识较少有关【例71】 某企业存入银行甲、乙两种不同性质用途的存款共20万元，甲种存款的年利率为5.4%，乙种存款的年利率为8.28%，该企业一年可获利息收入12 240元，问该企业存入银行的甲、乙两种存款各是多少万元？分析：甲种存款利息收入乙种存款利息收入12 240元解：设甲种存款为x万元，则乙种存款为(20x)万元，依题意，得x5.4%(20x)8.28%1.224.解得x15.20x5(万元)答：甲、乙两种存款分别是15万元，5万元【例72】 银行开办的教育储蓄，一年期、三年期、六年期的定期存款利率分别为2.26%,2.70%,2.88%.小华的父母为准备她六年后上大学的费用，决定现在就参加教育储蓄，他们准备存入10 000元，下面有两种储蓄方式：(1)直接存一个六年期(2)先存一个三年期的，三年后将本息与自动转存下一个三年期小华的父母不知选择哪一种储蓄方式获利较多，你能帮助他们吗？解：(1)设直接存一个六年期期满后获利息为y元，根据题意，得y10 0002.88%61 728(元)(2)设先存一个三年期的，三年后将本息与自动转存下一个三年期期满后获利息为x元，根据题意，得x10 0002.70%3(10 00010 0002.70%3)2.70%31 685.61(元)显然yx，小华的父母选择直接存一个六年期获利较多8.百分比问题(1)意义：百分比问题在应用题中出现很多百分比是最常见的描述数量变化问题的数据，随着经济在人们生活中重要性的变化，关于用百分数来描述经济问题的情况越来越多，因此在中考中出现的次数也越来越频繁(2)主要题型：关于百分数的计算特别是在工作效率问题，营销问题中出现最多，此外在农业种植、工业生产、经济、人口变化、溶液浓度等问题中也经常出现常常与增长(增加)、提高、降低、减少等联系在一起，用来描述事物等的变化(3)应用注意事项：应用百分比问题最主要的是弄清谁比谁的问题，也就是基数问题，比谁谁作分母，这是关键点也是易错点，如标价a元的某商品降价10%后，再提价10%，价格就不是a元，两个10%的基数不同(分母不同)；含百分数的问题大多不易理解，计算也较复杂，一般是采取类似于去分母的方法去掉百分数，变为整数解决【例81】 某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了5%，由于国际油价上涨，这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14%.求这个月的石油价格相对上个月的增长率分析：把上个月石油进口量看作1，则这个月的进口量是1(15%)，上月的价格也为1，那么这个月的费用就是1(15%)1(1增长率)，实际这个月费用是1(114%)，所以相等，列出方程解：设这个月的石油价格相对上个月的增长率为x，根据题意，得(1x)(15%)114%.解得x20%.答：这个月的石油价格相对上个月的增长率为20%.【例82】 一种商品原来的销售利润率是47%.现在由于进价提高了5%，而售价没变，所以该商品的销售利润率变成了多少？分析：可设原来的进价为a元，原来的利润就是47%a，进价提高了5%a，现在的进价就是(15%)a，现在的利润就是47%a5%a.解：设这种商品原来的进价为a元，原来的利润就是47%a，进价提高了5%a，所以现在的利润率40%.也可设现在该商品的利润率变为x%，得47%a5%a(15%)ax%，解得x40.所以该商品的销售利润率变成了40%.9日历表中的方程问题日历题也是一元一次方程中常见的问题，要解决这类问题，就要先熟悉一下月历，以2013年6月份的月历为例(其他月历也一样)，每一行表示一周，而且每周是从星期日开始的，自左向右，后一个数都比前一个数大1；每一列表示相同的星期几，自上而下，下一个数都比上一个大7.所以，日历问题实际上就是数列问题，如图：任意用一个正方形框出四个数，若设其中左上角一个为x，那么其他数分别是x1，x7，x8，根据已知的与就可以列方程，求出日期，从而判断是周几或其他情况【例91】 本周的星期三到星期五这三天的号数之与等于18，你知道星期三是几号吗？解：星期三为x号，那么星期四就是(x1)号，星期五就是(x2)号，根据题意，得x(x1)(x2)18，解得x5，所以本周的星期三是5号【例92】 小明与小莉出生于2001年12月份，他们的出生日期不是同一天，但都是星期五，且小明比小莉出生早，两人出生日期之与是22，那么小莉的出生日期是()A15号B16号C17号D18号解析：因为两人的生日不是同一天，但都是星期五，且两人都是12月生日，则两人的生日可能相差7天或14天或21天或28天，又根据两人出生日期之与为22，则两人生日不能相差28天，即两人生日只能相差7天或14天或21天三种情况设小莉出生日期为x号，则小明的出生日期为(x7)号或(x14)号或(x21)号，根据题意，得x(x7)22；x(x14)22；x(x21)22.分别解这三个方程，得x，或x18，或x.因为日期为正整数，所以符合题意的只有x18，即小莉的出生日期是18号故应选D.答案：D10.设参数解应用题在解百分比问题过程中，有些题目中的量必须用到，但又未给出，为使题目直观、明确，我们一般在设未知数的同时也设一个辅助未知数(参数)，以便于题目的理解与应用，这就是设参数解题法，这种解法，在解题过程所设的参数未知数在解题过程中自然约掉，从而帮助我们顺利理解问题，解决问题如：某商品降价20%后，若想恢复原价，需要在现价的基础上提高百分之几？此题要求“提高现价的百分之几”，但题中没有给出原价，也未给出现价，由题意知，现价与原价有联系，若将原价设为a元，则现价就是(120%)a，再设需提高现价x%，那么价格就是a(120%)(1x%)，这样与原价持平，所以a(120%)(1x%)a，这就可以使题目明显化、直观化在解题过程中，a就是辅助未知数，并且在解的过程中，根据等式的性质，a自然约掉从而解得x25.即需要在现价的基础上提高25%.【例101】 苹果的进价是每千克3.8元，销售中估计有5%的苹果正常损耗为避免亏本，商家把售价应该至少定为每千克_元解析：有两种方法，一种是假设只进1千克苹果，那么设定价至少为x元，那么3.81(15%)x，解得x4.另一种设共购进a千克苹果，那么损耗就是5%a千克，同样设定价至少为x元，那么总进价就是3.8a元，损耗后的总售价是(a5%a)x元列出方程，可求得x4.所以定价至少应该是4元答案：4【例102】 高一某班在入学体检中，测得全班同学平均体重是48千克，其中男同学平均体重比女同学平均体重多20%，而女同学人数比男同学人数多20%.求男、女同学的平均体重各是多少？分析：设女生平均体重为x千克，则男生平均体重为1.2x千克设男生有y人，则女生有1.2y人，则男生的体重是1.2xy，女生的体重为1.2yx，根据男生的体重女生的体重总体重列出方程解：设女生平均体重为x千克，则男生平均体重为1.2x千克；男生有y人，则女生有1.2y人，由题意，得1.2xy1.2yx48(y1.2y)整理，得2.4xy482.2y.y0，2.4x482.2.解得x44,1.2x52.8(千克)答：男、女生平均体重分别为52.8千克与44千克11.一元一次方程自编型题在近几年中考题中，出现了一种新题型自编题，它对能力的要求更高，要求同学们能在真正理解教材、掌握教材的基础上，达到变“学会”为“会学”的境界，同时也体现了“不同的人在数学上得到不同的发展”的新课程理念自编题一般给定条件，让编出一道符合条件的题目，答案都不唯一，并具有开放性一元一次方程这章的自编题一般分为两类，一是自编方程，给出一个方程的解或再加其他条件限制，编写一道适合的方程；另一种是自编应用题：一般是给出一个一元一次方程，结合这个方程特点，发挥自己的想象力，从生产、生活的各个方面取材编写，编写一道符合所给一元一次方程的应用题，有时还要求出解【例111】 展开你想象的翅膀，尽可能多的从方程1中，猜想出它可能会是哪一类的应用题并将其编写出来分析：此题的方程可从教材中找到类似的原型，等于1，含分母，可以当作工程问题的原型，也可从其他方面入手编写，只要符合实际，所列方程是1即可解：如：向电脑输入一篇文章，若单独输入，小红需10分钟输完，小华需15分钟输完，若由小华先输入2分钟，余下的两人合作，问还需多少分钟输完？【例112】 小明根据方程5x26x8编写了一道应用题请你把空缺的部分补充完整，并求出结果某手工小组计划教师节前做一批手工品赠给老师，如果每人做5个，那么就比计划少2个；_.请问手工小组有几人？(设手工小组有x人)答案：如果每人做6个，那么比计划多做8个；解方程5x26x8，得x10.答：手工小组有10人12.选择最优方案的问题运用数学知识解决生活、生产实际问题，一般地说要求学生具备以下三种能力：一、阅读理解能力，即要把实际问题转化、抽象、提炼为数学问题二、数学建模能力，即列出数学式子并能对整个问题作出合理的数学分析三、数学求解能力，要以科学知识为依据，善于灵活地、创造性地运用知识解决问题最优方案选择，则是运用数学知识，选择最经济、效果最好的方法从而在科学研究、生产实践等方面取得事半功倍的作用最优方案问题常见的题目背景一般有：(1)买赠活动(2)活动组合选优(3)买赠活动与打折(4)电话计费问题解决选择最优方案问题的基本的思路是简化事物，使问题变得简单而清晰可以压缩表述事物的文字，使语言更加精炼文字少了，自然容易弄清楚事物之间的关系也可以重新整理描述事物的顺序，使应用题的脉络更加清晰(1)用列表法化简应用题(2)用图示法表示应用题简单的说就是：一般设两种方式花费一样多时的情况，列出方程，求出临界点时的情况，再根据变化通过讨论，选择最优方案【例12】 根据下面的两种移动电话计费方式表，考虑下列问题(1)若一个月内在本地通话250分，按哪种方式交费更合算？(2)在某地每月通话时间为多少分时，两种计费方式收费一样多？方式一方式二月租费30元/月0本地通话费0.30元/分0.40元/分公告用方式一每月收月租费30元，此外根据累计通话时间按0.30元/分加收通话费；用方式二不收月租费，根据累计按0.40元/分收通话费分析：(1)分别计算一个月内在本地通话250分时，两种收费方式下需缴纳的费用，进行比较即可；(2)分别列出收费方式一、二下费用与通话时间的关系，即收费方式一，费用30元0.30元通话时间，收费方式二，费用0.40元通话时间，令二者相等解出答案即可解：(1)一个月内本地通话250(分)时，按方式一交费为：300.30250105(元)，按方式二交费为：0.40250100(元)，因此本地通话250(分)时，按方式二交费更合算(2)设每月通话x分，按方式一要收费(300.3x)元，按方式二要收费0.4x元如果两种计费方式的收费一样，则0.4x300.3x，移项得：0.4x0.3x30，合并同类项得：0.1x30，系数化为1得：x300.答：如果一个月内通话300分，那么两种计费方式的收费一样多