人教版八年级下册数学天津数学期末试卷测试卷(含答案解析).doc

人教版八年级下册数学天津数学期末试卷测试卷（含答案解析）
一、选择题
1．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组数据能组成直角三角形的一组是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
3．给出下列命题，其中错误命题的个数是（ ）
①四条边相等的四边形是正方形；
②四边形具有不稳定性；
③有两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；
④一组对边平行的四边形是平行四边形．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，记录每人10次射击成绩，得到各人的射击成绩平均数和方差如表中所示，则成绩最稳定的是（ ）
统计量
甲
乙
丙
丁
平均数

方差

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝8，折叠该纸片，使得AB边落在对角线AC上，点B落在点F处，折痕为AE，则线段EF的长为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，在菱形ABCD中，，则（ ）

A． B． C． D．
7．如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点，，点是的中点，若，，则的长为（ ）

A．8 B．9 C． D．
8．如图点按的顺序在边长为1的正方形边上运动，是边上的中点．设点经过的路程为自变量，的面积为，则函数的大致图象是（ ）．

A． B． C． D．
二、填空题
9．已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是_____．
10．菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，则菱形面积为_________．
11．已知中，，，，则______．
12．如图，在矩形ABCD中，∠BOC＝120°，AB＝10，则BD的长为_______．

13．小明从家步行到学校需走的路程为2000米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行20分钟时，距离学校还有__米．

14．如图，矩形ABCD中，对角线AC=8cm，rAOB是等边三角形，则AD的长为______cm．

15．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点（1，0）作x轴的垂线交ll于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点作y轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去．则点A4的坐标为__；点的坐标为_____;点A2021的坐标为____．

16．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8．现将如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为．则的值是__________．

三、解答题
17．计算：
（1）．
（2）．
18．如图，一架长2.5m的梯子AB斜靠在墙AC上，∠C＝90°，此时，梯子的底端B离墙底C的距离BC为0.7m
（1）求此时梯子的顶端A距地面的高度AC；
（2）如果梯子的顶端A下滑了0.9m，那么梯子的底端B在水平方向上向右滑动了多远？

19．如图，每个小正方形的边长都是1．A、B、C、D均在网格的格点上．

（1）求边BC、BD的长度．
（2）∠BCD是直角吗？请证明你的判断．
（3）找到格点E，画出四边形ABED，使其面积与四边形ABCD面积相等（一个即可，且E与C不重合）．
20．如图，在中，对角线、相交于点，，过点作，交延长线于点，过点作，交延长线于点．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．
21．如果记，并且表示当时的值，即；表示当时的值，即；表示当时的值，即；…
（1）计算下列各式的值：
__________.
__________.
（2）当为正整数时，猜想的结果并说明理由；
（3）求的值.
22．暑假即将来临，某运动馆推出针对学生两种暑期优惠方案：
方案一：先办理VIP卡需100元，然后每次按全票价打五折；
方案二：学生每次按全票价打九折；
已知运动馆全票价为20元/次，回答下面问题：
（1）设方案一、方案二的费用分别为y1、y2，直接写出y1、y2与去运动馆次数x的关系式；
（2）某同学估计暑假要去运动馆大概30次，请你帮他分析要不要办VIP卡．
23．已知：如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BD＝8，点E、F分别在边BC、CD上（点E、F与平行四边形ABCD的顶点不重合），CE＝CF，AE＝AF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）设BE＝x，AF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果AE＝5，点P在直线AF上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，那么△ABP的底边长为 　 　．（请将答案直接填写在空格内）

24．如图①，直线与轴负半轴、轴正半轴分别交于两点，的长度分别为和，且满足.

（1）是________三角形.
（2）如图②，正比例函数的图象与直线交于点，过两点分别作于，于，若，，求的长.

（3）如图③，为上一动点，以为斜边作等腰直角，为的中点，连，试问：线段是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并说明理由.

25．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径。
（1）如图1，损矩形ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则该损矩形的直径是线段AC，同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点，在公共边的同侧的两个角是相等的。如图1中：△ABC和△ABD有公共边AB，在AB同侧有∠ADB和∠ACB，此时∠ADB＝∠ACB；再比如△ABC和△BCD有公共边BC，在CB同侧有∠BAC和∠BDC，此时∠BAC＝∠BDC。请再找一对这样的角来 ＝
（2）如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连结BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由。
（3）在第（2）题的条件下，若此时AB＝，BD＝，求BC的长。

26．如图正方形，点、、分别在、、上，与相交于点．
（1）如图1，当，
①求证：；
②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：；
（2）如图3，当，边长，，则的长为_________（直接写出结果）．

【参考答案】
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
由二次根式的性质可以得到x-2≥0，由此即可求解.
【详解】
解：依题意得：x-2≥0，
∴x≥2．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数即可解决问题.
2．D
解析：D
【分析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．
【详解】
A、 ，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、 ，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、 ，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、 ，能构成直角三角形，故本选项符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
利用正方形的判定、直角三角形全等的判定、平行四边形的判定定理对每个选项依次判定解答．
【详解】
①四条边相等的四边形是菱形，故①错误；
②四边形具有不稳定性，故②正确；
③两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，两个锐角对应相等，因此构成了AAA，不能判定全等，故③错误；
④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故④错误；
综上，错误的命题有①③④共3个．
故选：C．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的判定、平行四边形的判定及直角三角形全等的判定．
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据方差的性质：方差越小，表示数据波动越小，也就是越稳定，据此进行判断即可．
【详解】
解：∵甲、乙、丙、丁的方差分别为0.60，0.62，0.50，0.44，
又∵0.44＜0.50＜0.60＜0.62，
∴丁的方差最小即丁的成绩最稳定，
故选D．
【点睛】
此题主要考查方差的应用，解题的关键是熟知方差的性质．
5．A
解析：A
【分析】
根据矩形的性质可得BC=AD，∠B=90°，利用勾股定理可求出AC的长，根据折叠的性质可得AF=AB，∠B=∠AFE=90°，BE=EF，在Rt△CEF中利用勾股定理列方程求出EF的长即可得答案．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，AD＝8，
∴∠B=90°，BC=AD=8，
∴AC＝＝10，
∵折叠该纸片，使得AB边落在对角线AC上，点B落在点F处，折痕为AE，
∴BE＝EF，AF＝AB＝6，∠AFE=∠B=90°，
∴CF＝AC-AF=10﹣6＝4，
在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2+CF2＝CE2，
∴EF2+CF2=（BC-EF）2，即EF2+42=（8-EF）2，
解得：EF＝3，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据菱形的四条边都相等可得AB=BC，然后判断出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质解答．
【详解】
解：在菱形ABCD中，AB=BC，
∵AC=AB，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，主要利用了菱形的四条边都相等的性质，熟记性质并判断出△ABC是等边三角形是解题的关键．
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
由矩形性质及G为中点，可得∠AGE=2∠ADE=2∠CED=∠AED，从而可得AE=AG，由矩形性质AB=CD=3，由勾股定理可得AE，再根据直角形的性质从而可求得DF的长．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形
∴∠DAB=∠ABC=∠ABE=90゜，AB=CD=3，AD∥BC
∵G点是DF的中点
∴AG是Rt△DAF斜边DF上的中线
∴AG=DG=
∴∠GAD=∠ADE
∴∠AGE=2∠ADE
∵AD∥BC
∴∠CED=∠ADE
∴∠AGE=2∠CED
∵∠AED=2∠CED
∴∠AED=∠AGE
∴AE=AG
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
∴
∴
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，勾股定理，矩形的性质，直角三角形斜边上中线的性质等知识，关键是得出∠AED=∠AGE．
8．C
解析：C
【分析】
分类讨论，分别表示出点P位于线段AB上、点P位于线段BC上、点P位于线段MC上时对应的的面积，判断函数图像，选出正确答案即可．
【详解】
由点M是CD中点可得：CM=，
（1）如图：当点P位于线段AB上时，即0≤x≤1时，

y==x；
（2）如图：当点P位于线段BC上时，即1<x≤2时，

BP=x－1，CP=2－x，
y===；
（3）如图：当点P位于线段MC上时，即2<x≤时，

MP=，
y===．
综上所述：
．
根据一次函数的解析式判断一次函数的图像，只有C选项与解析式相符．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查一次函数的实际应用，分类讨论，将分别表示为一次函数的形式是解题关键．
二、填空题
9．15
【解析】
【分析】
根据绝对值及二次根式的非负性可得出x、y的值，由三角形三边关系可确定等腰三角形的三边长度，将其相加即可得出结论．
【详解】
∵实数x，y满足，
∴x＝3，y＝6，
∵3、3、6不能组成三角形，
∴等腰三角形的三边长分别为3、6、6，
∴等腰三角形周长为：3＋6＋6＝15，
故答案是：15．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的定义、二次根式（绝对值）的非负性以及三角形三边关系，根据绝对值及二次根式非负性结合三角形的三边关系找出等腰三角形的三条边的长度是解题的关键．
10．24cm2
【解析】
【分析】
根据菱形面积的计算公式，即可求解．
【详解】
解：菱形面积为对角线乘积的一半，可得菱形面积（cm2）
故答案为24cm2．
【点睛】
此题主要考查了菱形面积的计算，掌握菱形面积的计算公式是解题的关键．
11．A
解析：4
【解析】
【分析】
直接利用勾股定理计算即可．
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，

故答案为：4
【点睛】
本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．熟记定理是解题的关键．
12．B
解析：20
【分析】
先根据矩形的性质和∠BOC=120∘，证明△AOB是等边三角形，即可得到OB=AB=10，BD=2OB=20.
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=AC，OB=BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠BOC=120∘，
∴∠AOB=60∘，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=10，
∴BD=2OB=20；
故答案为：20.
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
13．240
【分析】
当8≤t≤23时，设s=kt+b，将（8，800）、（23，2000）代入求得s=kt+b，，求出t=20时s的值，从而得出答案．
【详解】
解：当8≤t≤23时，设s=kt+b，
将(8，800)、(23，2000)代入，得：
，
解得：，
∴s=80t+160；
当t=20时，s=1760，
∵2000﹣1760=240，
∴当小明从家出发去学校步行20分钟时，到学校还需步行240米．
故答案为：240．
【点睛】
本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，从实际问题中抽象出一次函数的模型，并熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式．
14．A
解析：4
【详解】
∵△AOB是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠ACB=30°，∵AC=8cm，∴AB=4cm，
在Rt△ABC中，BC==4cm，∵AD=BC，∴AD的长为4cm．
15．（4，﹣4） （﹣8，8） （21010，21011）
【分析】
根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8等的坐标，根据坐标的变化找出
解析：（4，﹣4） （﹣8，8） （21010，21011）
【分析】
根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8等的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（-22n+1，22n+1），A4n+3（-22n+1，-22n+2），A4n+4（22n+2，-22n+2）（n为自然数）”，依此规律结合6=1×4+2；2021=505×4+1即可找出点A2021的坐标．
【详解】
解：观察，发现规律：
A1（1，2），
A2（-2，2），
A3（-2，-4），
A4（4，-4），
A5（4，8），…，
∴“A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（-22n+1，22n+1），A4n+3（-22n+1，-22n+2），A4n+4（22n+2，-22n+2）（n为自然数）”，
∵6=1×4+2，
A6（﹣8，8）
∵2021=505×4+1，
∴A2021的坐标为（21010，21011）．
故答案为：（4，﹣4）； （﹣8，8）；（21010，21011）．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中坐标的变化，解题的关键是找出变化规律“A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（-22n+1，22n+1），A4n+3（-22n+1，-22n+2），A4n+4（22n+2，-22n+2）（n为自然数）”．
16．【分析】
先设CE=x，再根据图形翻折变换的性质得出AE=BE=8-x，再根据勾股定理求出x的值，进而可得出的值．
【详解】
解：设CE=x，则AE=8-x，
∵△BDE是△ADE翻折而成，
∴A
解析：
【分析】
先设CE=x，再根据图形翻折变换的性质得出AE=BE=8-x，再根据勾股定理求出x的值，进而可得出的值．
【详解】
解：设CE=x，则AE=8-x，
∵△BDE是△ADE翻折而成，
∴AE=BE=8-x，
在Rt△BCE中，BE2=BC2+CE2，即（8-x）2=62+x2，解得x=，
∴==，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，熟知“折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等”的知识是解答此题的关键．
三、解答题
17．（1）；（2）4
【分析】
（1）由题意先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用二次根式的乘法法则和完全平方公式计算．
【详解】
解：（1）原式＝2+2﹣
＝；
（2）原式＝
＝2+
解析：（1）；（2）4
【分析】
（1）由题意先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用二次根式的乘法法则和完全平方公式计算．
【详解】
解：（1）原式＝2+2﹣
＝；
（2）原式＝
＝2+4﹣2
＝4．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．解题关键是掌握二次根式的混合运算．
18．（1）2.4米；（2）1.3m
【分析】
（1）直接利用勾股定理求出AC的长，进而得出答案；
（2）直接利用勾股定理得出B′C，进而得出答案．
【详解】
解：（1）∵∠C＝90°，AB＝2.5，BC
解析：（1）2.4米；（2）1.3m
【分析】
（1）直接利用勾股定理求出AC的长，进而得出答案；
（2）直接利用勾股定理得出B′C，进而得出答案．
【详解】
解：（1）∵∠C＝90°，AB＝2.5，BC＝0.7，
∴AC＝=（米），
答：此时梯顶A距地面的高度AC是2.4米；
（2）∵梯子的顶端A下滑了0.9米至点A′，
∴A′C＝AC−A′A＝2.4−0.9＝1.5（m），
在Rt△A′CB′中，由勾股定理得：A′C2＋B′C2＝A′B′2，
∴1.52＋B′C2＝2.52，
∴B′C＝2（m），
∴BB′＝CB′−BC＝2−0.7＝1.3（m），
答：梯子的底端B在水平方向滑动了1.3m．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．
19．（1），；（2）不是直角，证明见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理求解即可．
（2）利用勾股定理的逆定理判断即可．
（3）利用等高模型解决问题即可．
【详解】
解：（1）BC
解析：（1），；（2）不是直角，证明见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理求解即可．
（2）利用勾股定理的逆定理判断即可．
（3）利用等高模型解决问题即可．
【详解】
解：（1）BC==，BD==．
（2）结论：不是直角．
理由：∵CD=，BC=，BD=，
∴BC2+CD2≠BD2，
∴∠BCD≠90°．
（3）如图，四边形ABED即为所求．

【点睛】
本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理，四边形的面积等知识，解题的关键是掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理解决问题，属于中考常考题型．
20．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，进而得到，再由，得到，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得到AD＝AB＝BC＝5，AO＝CO，在、中利用
解析：（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，进而得到，再由，得到，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得到AD＝AB＝BC＝5，AO＝CO，在、中利用勾股定理分别求BE、AC，进而在中利用斜边上的中线等于斜边的一半求解即可．
【详解】
（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为矩形．
（2）解：∵四边形为平行四边形，，
∴四边形为菱形，
∴，，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴OE是的中线，
∴．

【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定与性质，直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，正确的识别图形是解题的关键．
21．（1）1；1（2）结果为1，证明过程见详解（3）
【解析】
【分析】
（1）根据题目定义的运算方式代数计算即可.
（2）根据第（1）题的计算结果总结规律，并加以证明.
（3）运用第（2）题的运算规律
解析：（1）1；1（2）结果为1，证明过程见详解（3）
【解析】
【分析】
（1）根据题目定义的运算方式代数计算即可.
（2）根据第（1）题的计算结果总结规律，并加以证明.
（3）运用第（2）题的运算规律和加法结合律进行将式子中每一项适当分组，再进行计算.
【详解】
解：（1）；
.
（2）猜想的结果为1.
证明：

（3）

【点睛】
本题以定义新运算的形式考查了二次根式的综合计算，遵循新运算的方式，熟练掌握二次根式的计算是解答关键.
22．（1），；（2）该同学要办，理由见解析
【分析】
（1）较简单，求出打折后单次的价格，再根据方案一、方案二，表示题中的数量关系，即可列出函数关系式；
（2）将代入（1）中的函数关系式，即可求出方案一
解析：（1），；（2）该同学要办，理由见解析
【分析】
（1）较简单，求出打折后单次的价格，再根据方案一、方案二，表示题中的数量关系，即可列出函数关系式；
（2）将代入（1）中的函数关系式，即可求出方案一及方案二的费用，继而判断是否需要办．
【详解】
解：（1）（元次），（元次），
，，
（2）当时，
方案一的费用为：，
方案二的费用为：，
，即，
该同学要办．
答：（1），；（2）该同学要办．
【点睛】
本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是能够用函数关系式表示量与量之间的关系，并进行比较，做出独立判断．
23．（1）见解析；（2）；（3）8或或6
【分析】
（1）连结，证明，得到相等的角，再由平行线的性质证明，从而得，由菱形的定义判定四边形是菱形；
（2）连结，交于点，作于点，由菱形的面积及边长求出菱形的
解析：（1）见解析；（2）；（3）8或或6
【分析】
（1）连结，证明，得到相等的角，再由平行线的性质证明，从而得，由菱形的定义判定四边形是菱形；
（2）连结，交于点，作于点，由菱形的面积及边长求出菱形的高，再求的长，由勾股定理列出关于、的等式，整理得到关于的函数解析式；
（3）以为腰的等腰三角形分三种情况，其中有两种情况是等腰三角形与或全等，另一种情况可由（2）中求得的菱形的高求出的长，再求等腰三角形的底边长．
【详解】
解：（1）证明：如图1，连结，

，，，
，
，
即；
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是菱形
（2）如图2，连结，交于点，作于点，则，
由（1）得，四边形是菱形，

，
，
，，
，
，
，
由，且，得，
解得；
，
，
由，且，得，
点在边上且不与点、重合，
，
关于的函数解析式为，
（3）如图3，，且点在的延长线上，

，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
即等腰三角形的底边长为8；
如图4，，作于点，于点，则，

，
，
，
，
，
由（2）得，，
，
，
即等腰三角形的底边长为；
如图5，，点与点重合，连结，

，，，
，
，
即，
等腰三角形的底边长为6．
综上所述，以为腰的等腰三角形的底边长为8或或6，
故答案为：8或或6．
【点睛】
此题重点考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、求与几何图形有关的函数关系式等知识与方法，在解第（3）题时，需要进行分类讨论，求出所有符合条件的值，以免丢解．
24．（1）等腰直角；（2）6；（3）PO=PD且PO⊥PD.理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）已知a2-2ab+b2=0，化简可得a=b，然后可得△AOB为等腰直角三角形；
（2）证明△MAO≌△
解析：（1）等腰直角；（2）6；（3）PO=PD且PO⊥PD.理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）已知a2-2ab+b2=0，化简可得a=b，然后可得△AOB为等腰直角三角形；
（2）证明△MAO≌△NOB，得出AM=ON，然后求出MN的值；
（3）根据已知E为中点，联想到延长DP到点C，使DP=PC，再连接OD、OC、BC，先证明△DEP≌△CBP得到边角的等量关系，再证明△OAD≌△OBC，最后可得出△DOC为等腰直角三角形，从而得出结论．
【详解】
解：（1）∵a2-2ab+b2=0，∴（a-b）2=0，
∴a=b，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB为等腰直角三角形.
故答案为：等腰直角；
（2）∵∠MOA+∠MAO=90°，∠MOA+∠MOB=90°，
∴∠MAO=∠MOB，
∵AM⊥OQ，BN⊥OQ，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
在△MAO和△BON中，
，
∴△MAO≌△NOB（AAS），
∴AM=ON，
∴MN=ON-OM=AM-OM=6；
（3）PO=PD且PO⊥PD.理由如下：
如图，延长DP到点C，使DP=PC，连接OD、OC、BC，

在△DEP和△CBP，
，
∴△DEP≌△CBP（SAS），
∴CB=DE=DA，∠DEP=∠CBP=135°，
则∠CBO=∠CBP-∠ABO=135°-45°=90°，
又∵∠BAO=45°，∠DAE=45°，
∴∠DAO=90°，
在△OAD和△OBC，
，
∴△OAD≌△OBC(SAS)，
∴OD=OC，∠AOD=∠COB，
∴∠COD=∠AOB=90°，
∴△DOC为等腰直角三角形，
∴PO=PD，且PO⊥PD．
【点睛】
本题重点考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及一次函数的相关知识，根据已知条件构造出全等三角形是解题的关键，难度较大．
25．（1）∠ABD=∠ACD；（2）四边形ACEF为正方形，理由见解析；（3）5.
【解析】
【分析】
（1）以AD为公共边，有∠ABD=∠ACD；
（2）证明△ADC是等腰直角三角形，得AD=CD，则
解析：（1）∠ABD=∠ACD；（2）四边形ACEF为正方形，理由见解析；（3）5.
【解析】
【分析】
（1）以AD为公共边，有∠ABD=∠ACD；
（2）证明△ADC是等腰直角三角形，得AD=CD，则AE=CF，根据对角线相等的菱形是正方形可得结论；
（3）如图2，作辅助线构建直角三角形，证明△ABC≌△CHE，得CH=AB=3，根据平行线等分线段定理可得BG=GH=4，从而得结论.
【详解】
解：（1）由图1得：△ABD和△ADC有公共边AD，在AD同侧有∠ABD和∠ACD，此时∠ABD=∠ACD；
（2）四边形ACEF为正方形，理由是：
∵∠ABC=90°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=45°
∴∠DAC=∠CBD=45°
∵四边形ACEF是菱形，
∴AELCF，
∴∠ADC=90°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD=CD，.AE=CF，
∴菱形ACEF是正方形；

（3）如图2，过D作DG⊥BC于G，过E作EH⊥BC，交BC的延长线于H，
∵∠DBG=45°，
∴△BDG是等腰直角三角形，BD=4，
∵BG=4，四边形ACEF是正方形，
∴AC=CE，∠ACE=90°，AD=DE，
易得△ABC≌△CHE，
∴CH=AB=3，AB//DG//EH，AD=DE，
∴BG=GH=4，
∴CG=4-3=1，
∴BC=BG+CG=4+1=5.
【点睛】
本题是四边形的综合题，也是新定义问题，考查了损矩形和损矩形的直径的概念，平行线等分线段定理，菱形的性质，正方形的判定等知识，认真阅读理解新定义，第3问有难度，作辅助线构建全等三角形是关键.
26．（1）①见解析；②见解析；（2）
【分析】
（1）①过点D作DM//GH交BC的延长线于点M，如图1，可证得四边形DGHM是平行四边形，进而可证△ADE≌△CDM（AAS），即可证得结论；
②在BC
解析：（1）①见解析；②见解析；（2）
【分析】
（1）①过点D作DM//GH交BC的延长线于点M，如图1，可证得四边形DGHM是平行四边形，进而可证△ADE≌△CDM（AAS），即可证得结论；
②在BC上截取BN=BE，如图2，则△BEH是等腰直角三角形，，由△ADE≌△CDH，利用全等三角形性质和正方形性质即可得出结论；
（2）如图3，过点D作DN//GH交BC于点N，则四边形GHND是平行四边形，作∠ADM=∠CDN，DM交BA延长线于M，利用AAS证明△ADM≌△CDN，设AE=x，则BE=3-x，运用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】
解：（1）①过点D作DM//GH交BC的延长线于点M，如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠ADC=90°，
又∵DM∥GH，
∴四边形DGHM是平行四边形，
∴GH=DM，GD=MH，
∴∠GOD=∠MDE=90°，
∴∠MDC+∠EDC=90°，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠MDC=∠ADE，
在△ADE和△CDM中，

∴△ADE≌△CDM（AAS），
∴DE=DM，
∴DE=GH；

②在BC上截取BN=BE，如图2，
则△BEN是等腰直角三角形，EN=BE，
由（1）知，△ADE≌△CDH，
∴AE=CH，
∵BA=BC，BE=BN，
∴CN=AE=CH，
∵PH=PE，
∴PC=EN，
∴PC=BE，
∴BE=PC；

（2）如图3，过点D作DN//GH交BC于点N，则四边形GHND是平行四边形，
∴DN=HG，GD=HN，
∵∠C=90°，CD=AB=3，HG=DN=，
∴，
∴BN=BC-CN=3-1=2，
作∠ADM=∠CDN，DM交BA延长线于M，
在△ADM和△CDN中，

∴△ADM≌△CDN（AAS），
∴AM=NC，∠ADM=∠CDN，DM=DN，
∵∠GOD=45°，
∴∠EDN=45°，
∴∠ADE+∠CDN=45°，
∴∠ADE+∠ADM=45°=∠MDE，
在△MDE和△NDE中，

∴EM=EN，
即AE+CN=EN，
设AE=x，则BE=3-x，
在Rt△BEN中，22+（3-x）2=（x+1）2，
解得：x=，
∴

【点睛】
本题是四边形综合题，考查了正方形性质，等腰直角三角形判定和性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形判定和性质，勾股定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．