七年级初一数学下学期第六章-实数单元-易错题难题质量专项训练.doc

七年级初一数学下学期第六章 实数单元 易错题难题质量专项训练

一、选择题
1．设记号*表示求、算术平均数的运算，即，则下列等式中对于任意实数，，都成立的是（ ）．
①；②；
③；④．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④
2．下列说法正确的是（　　）
A．有理数是整数和分数的统称 B．立方等于本身的数是0，1
C．一定是负数 D．若，则
3．下列各数中，不是无理数的是（　　）
A． B．﹣ C． D．0.121 121 112…
4．计算﹣1的结果应该在下列哪两个自然数之间（　　）
A．3，4 B．4，5 C．5，6 D．6，7
5．下列选项中的计算，不正确的是( )
A． B． C． D．
6．下列说法中正确的个数有（ ）
①0是绝对值最小的有理数；
②无限小数是无理数；
③数轴上原点两侧的数互为相反数；
④相反数等于本身的数是0；
⑤绝对值等于本身的数是正数；
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．下列说法正确的是（ ）
A．是0.5的平方根 B．正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0
C．的平方根是7 D．负数有一个平方根
8．下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．下列命题是假命题的是（　　）
A．0的平方根是0 B．无限小数都是无理数
C．算术平方根最小的数是0 D．最大的负整数是﹣1
10．已知实数x，y满足关系式+|y2﹣9|＝0，则的值是（　　）
A．±3 B．3 C．﹣3或 D．3或
二、填空题
11．若已知，则_____．
12．a是不为2的有理数，我们把2称为a的“文峰数”如：3的“文峰数”是，-2的“文峰数”是，已知a1=3，a2是a1的“文峰数”， a3是a2的“文峰数”， a4是a3的“文峰数”，……，以此类推，则a2020=______
13．观察下面两行数：
2，4，8，16，32，64…①
5，7，11，19，35，67…②
根据你发现的规律，取每行的第8个数，并求出它们的和_______（要求写出最后的计算结果）．
14．若，则mn的值为 ____.
15．若实数a、b满足，则=_____．
16．的平方根是 _______ ；的立方根是 __________．
17．高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数.
例如：，.
则下列结论：
①；
②；
若，则的取值范围是；
当时，的值为、、.
其中正确的结论有_____（写出所有正确结论的序号）.
18．的算术平方根为_______．
19．已知，a、b互为倒数，c、d互为相反数，求＝_____．
20．将，，这三个数按从小到大的顺序用“<”连接________．
三、解答题
21．读一读，式子“1＋2＋3＋4＋5＋…＋100”表示从1开始的100个连续自然数的和．由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“1＋2＋3＋4＋5＋…＋100”表示为，这里“∑”是求和符号．例如：1＋3＋5＋7＋9＋…＋99，即从1开始的100以内的连续奇数的和，可表示为，又知13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＋93＋103可表示为．通过对以上材料的阅读，请解答下列问题．
（1）2＋4＋6＋8＋10＋…＋100(即从2开始的100以内的连续偶数的和)用求和符合可表示为_________．
（2）1＋＋＋…＋用求和符号可表示为_________．
（3）计算＝_________．(填写最后的计算结果)
22．先阅读然后解答提出的问题：
设a、b是有理数，且满足，求ba的值．
解：由题意得，
因为a、b都是有理数，所以a﹣3，b+2也是有理数，
由于是无理数，所以a-3=0，b+2=0，
所以a=3，b=﹣2， 所以．
问题：设x、y都是有理数，且满足，求x+y的值．
23．定义：如果，那么称b为n的布谷数，记为.
例如：因为，所以，
因为，
所以.
（1）根据布谷数的定义填空：g（2）=________________,g（32）=___________________.
（2）布谷数有如下运算性质：
若m，n为正整数，则，.
根据运算性质解答下列各题：
①已知，求和的值；
②已知.求和的值.
24．对于结论：当a+b＝0时，a3+b3＝0也成立．若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”
（1）举一个具体的例子来判断上述结论是否成立；
（2）若和互为相反数，且x+5的平方根是它本身，求x+y的立方根．
25．让我们规定一种运算， 如． 再如． 按照这种运算规定，请解答下列问题，
（1）计算 ； ；
（2）当x=-1时，求的值（要求写出计算过程）．
26．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：；
例如：比较与2的大小
∵ 又∵ 则
∴
∴
请根据上述方法解答以下问题：比较与的大小．

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一、选择题

1．B
解析：B
【解析】
①中，，所以①成立；
②中，，所以②成立；
③中，所以③不成立；
④中，，所以④成立．
故选B.
2．A
解析：A
【分析】
根据有理数的定义、立方的性质、负数的性质、绝对值的性质对各项进行分析即可．
【详解】
A. 有理数是整数和分数的统称，正确；
B. 立方等于本身的数是-1，0，1，错误；
C. 不一定是负数，错误；
D. 若，则或，错误；
故答案为：A．
【点睛】
本题考查了判断说法是否正确的问题，掌握有理数的定义、立方的性质、负数的性质、绝对值的性质是解题的关键．
3．C
解析：C
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
A.是无理数；
B.是无理数；
C.，是有理数；
D.0.121 121 112…是无理数；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
4．D
解析：D
【分析】
直接利用已知无理数得出最接近的整数，进而得出答案．
【详解】
解：∵72＝49，82＝64，
∴，
∴，
∴﹣1的结果应该在自然数6，7之间．
故选：D．
【点睛】
本题考查了无理数的整数解问题，掌握求无理数的整数解的方法是解题的关键．
5．A
解析：A
【分析】
根据平方根与立方根的意义判断即可．
【详解】
解：A. ，所以错误，本选项符合题意；
B. ，本选项不符合题意；
C. ，本选项不符合题意；
D. ，本选项不符合题意.
故选：A.
【点睛】
本题考查了平方根与立方根，正确理解平方根与立方根的意义是解题的关键．
6．A
解析：A
【分析】
分别利用绝对值的定义、无理数、有理数的定义、相反数的定义分别进行判断即可得出答案．
【详解】
①0是绝对值最小的有理数；根据绝对值的性质得出，故此选项正确；
②无限小数是无理数；根据无限循环小数是有理数判断，故此选项错误；
③数轴上原点两侧的数互为相反数；根据到原点距离相等的点是互为相反数，故此选项错误；
④相反数等于本身的数是0；根据相反数的定义判断，故此选项正确；
⑤绝对值等于本身的数是正数；还有0的绝对值也等于本身，故此选项错误.
∴正确的个数有2个
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了绝对值的定义、无理数、有理数的定义、相反数的定义等知识，熟练掌握其性质是解题关键.
7．B
解析：B
【分析】
根据0.5是0.25的一个平方根可对A进行判断；根据一个正数的平方根互为相反数可对B进行判断；根据平方根的定义对C、D进行判断．
【详解】
A、0.5是0.25的一个平方根，所以A选项错误；
B、正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0，所以B选项正确；
C、72的平方根为±7，所以C选项错误；
D、负数没有平方根．
故选B．
【点睛】
本题考查了平方根：若一个数的平方定义a，则这个数叫a的平方根，记作±（a≥0）；0的平方根为0．
8．C
解析：C
【分析】
对每个选项进行计算，即可得出答案.
【详解】
A. ，原选项错误，不符合题意；
B. ，原选项错误，不符合题意；
C. ，原选项正确，符合题意；
D. ，原选项错误，不符合题意.
故选：C
【点睛】
本题考查平方根、算术平方根、立方根的计算，重点是掌握平方根、算术平方根、立方根的性质.
9．B
解析：B
【分析】
分别根据平方根的定义、无理数的定义、算术平方根的定义、负整数逐一判断即可．
【详解】
解：A、0的平方根为0，所以A选项为真命题；
B、无限不循环小数是无理数，所以B选项为假命题；
C、算术平方根最小的数是0，所以C选项为真命题；
D、最大的负整数是﹣1，所以D选项为真命题．
故选：B．
【点睛】
本题考查平方根的定义、无理数的定义、算术平方根和负整数，掌握无理数指的是无限不循环小数是解题的关键．
10．D
解析：D
【分析】
由非负数的性质可得y2=9，4x-y2+1=0，分别求出x与y的值，代入所求式子即可．
【详解】
解：∵+|y2﹣9|＝0，
∴y2＝9，4x﹣y2+1＝0，
∴y＝±3，x＝2，
∴y+6＝9或y+6＝3，
∴＝3或，
故选：D．
【点睛】
本题考查绝对值、二次根式的性质；熟练掌握绝对值和二次根式的性质，能够准确计算是解题的关键．
二、填空题

11．6
【分析】
分别根据绝对值、平方和算术平方根的非负性求得a、b、c的值，代入即可．
【详解】
解：因为，
所以，
解得，
故，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查非负数的性质，主要考查绝对值、平方
解析：6
【分析】
分别根据绝对值、平方和算术平方根的非负性求得a、b、c的值，代入即可．
【详解】
解：因为，
所以，
解得，
故，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查非负数的性质，主要考查绝对值、平方和算术平方根的非负性．理解几个非负数（式）的和为0，那么这几个数或（式）都为0是解题关键．
12．．
【分析】
先根据题意求得、、、，发现规律即可求解．
【详解】
解：∵a1=3
∴，，，，
∴该数列为每4个数为一周期循环，
∵
∴a2020=．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查规律的探索，
解析：．
【分析】
先根据题意求得、、、，发现规律即可求解．
【详解】
解：∵a1=3
∴，，，，
∴该数列为每4个数为一周期循环，
∵
∴a2020=．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查规律的探索，解题的关键是根据题意发现规律．
13．515
【分析】
由已知条件可得：①中各数都符合2n的形式，②中各数比①中对应数字大3，按此规律即可求得①、②中第8个数的值，再求和即可．
【详解】
根据题意可知，①中第8个数为28=256；②第8
解析：515
【分析】
由已知条件可得：①中各数都符合2n的形式，②中各数比①中对应数字大3，按此规律即可求得①、②中第8个数的值，再求和即可．
【详解】
根据题意可知，①中第8个数为28=256；②第8个数为28+3=259，
故它们的和为256+259=515，
故答案为：515．
【点睛】
考查了要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，解题关键是找出①②中各数间的规律．
14．【分析】
根据非负数的性质列式求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
由题意得，m+3=0，n-2=0，
解得m=-3，n=2，
所以，mn=（-3）2=9．
故答案为9．
【
解析：【分析】
根据非负数的性质列式求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
由题意得，m+3=0，n-2=0，
解得m=-3，n=2，
所以，mn=（-3）2=9．
故答案为9．
【点睛】
此题考查绝对值和算术平方根非负数的性质，解题关键在于掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
15．﹣
【解析】
根据题意得：a+2=0，b-4=0，解得：a=-2，b=4，则=﹣．故答案是﹣．
解析：﹣
【解析】
根据题意得：a+2=0，b-4=0，解得：a=-2，b=4，则=﹣．故答案是﹣．
16．2a
【分析】
根据平方根的定义及立方根的定义解答.
【详解】
的平方根是，的立方根是2a，
故答案为：，2a.
【点睛】
此题考查平方根及立方根的定义，利用定义求一个数的平方根及立
解析： 2a
【分析】
根据平方根的定义及立方根的定义解答.
【详解】
的平方根是，的立方根是2a，
故答案为：，2a.
【点睛】
此题考查平方根及立方根的定义，利用定义求一个数的平方根及立方根.
17．①③.
【分析】
根据[x]表示不超过x的最大整数，即可解答．
【详解】
由题意可知[-2.1]=-3,[1]=1,-3+1=-2，故①正确；
②中，当x取小数时，显然不成立，例如x取2.6，[x]
解析：①③.
【分析】
根据[x]表示不超过x的最大整数，即可解答．
【详解】
由题意可知[-2.1]=-3,[1]=1,-3+1=-2，故①正确；
②中，当x取小数时，显然不成立，例如x取2.6，[x]+[-x]=2-3=-1,故②错误；
③中，若[x+1]=3,则x+1要满足x+1≥3,且x+1<4,解得x≥2,且x<3,故③正确；
④中，当-1≤x<1时，在取值范围内验证此式的值为1,2.故④错误；
所以正确的结论是①③.
18．【分析】
利用算术平方根的定义计算得到的值，求出的算术平方根即可．．
【详解】
∵，，
∴的算术平方根为；
故答案为：.
【点睛】
此题考查了算术平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
解析：
【分析】
利用算术平方根的定义计算得到的值，求出的算术平方根即可．．
【详解】
∵，，
∴的算术平方根为；
故答案为：.
【点睛】
此题考查了算术平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
19．【分析】
根据a、b互为倒数，c、d互为相反数求出ab＝1，c+d＝0，然后代入求值即可．
【详解】
∵a、b互为倒数，
∴ab＝1，
∵c、d互为相反数，
∴c+d＝0，
∴＝﹣1+0+1＝0．
解析：【分析】
根据a、b互为倒数，c、d互为相反数求出ab＝1，c+d＝0，然后代入求值即可．
【详解】
∵a、b互为倒数，
∴ab＝1，
∵c、d互为相反数，
∴c+d＝0，
∴＝﹣1+0+1＝0．
故答案为：0．
【点睛】
此题考查倒数以及相反数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
20．＜＜
【分析】
先根据数的开方法则计算出和的值，再比较各数大小即可．
【详解】
==，==，
∵＞3＞2，
∴＜＜，即＜＜，
故答案为：＜＜
【点睛】
本题考查实数的大小比较，正确化简得出和的值是解
解析：＜＜
【分析】
先根据数的开方法则计算出和的值，再比较各数大小即可．
【详解】
==，==，
∵＞3＞2，
∴＜＜，即＜＜，
故答案为：＜＜
【点睛】
本题考查实数的大小比较，正确化简得出和的值是解题关键．
三、解答题

21．（1）；（2）；（3）50
【分析】
（1）根据题中的新定义得出结果即可；
（2）根据题中的新定义得出结果即可；
（3）利用题中的新定义将原式变形，计算即可得到结果．
【详解】
解：解：（1）根据题意得：2+4+6+8+10+…+100=；
（2）1＋＋＋…＋=；
（3）原式=1-1+4-1+9-1+16-1+25-1+36-1=85．
故答案为：（1）；（2）；（3）85．
【点睛】
此题考查了有理数的加法和减法运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
22．7或-1.
【分析】
根据题目中给出的方法，对所求式子进行变形，求出x、y的值，进而可求x+y的值.
【详解】
解：∵，
∴，
∴=0，=0
∴x=±4，y=3
当x=4时，x+y=4+3=7
当x=-4时，x+y=-4+3=-1
∴x+y的值是7或-1.
【点睛】
本题考查实数的运算，解题的关键是弄清题中给出的解答方法，然后运用类比的思想进行解答.
23．（1）1；5；（2）①3.807，0.807；②；.
【分析】
（1）根据布谷数的定义把2和32化为底数为2的幂即可得出答案；
（2）①根据布谷数的运算性质, g（14）=g（2×7）=g（2）+g（7），，再代入数值可得解；
②根据布谷数的运算性质, 先将两式化为，，再代入求解.
【详解】
解：（1）g（2）=g（21）=1，
g（32）=g（25）=5；
故答案为1，32；
（2）①g（14）=g（2×7）=g（2）+g（7），
∵g（7）=2.807，g（2）=1，
∴g（14）=3.807；

g（4）=g（22）=2，
∴=g（7）-g（4）=2.807-2=0.807；
故答案为3.807，0.807；
②∵.
∴；
.
【点睛】
本题考查有理数的乘方运算，新定义；能够将新定义的运算转化为有理数的乘方运算是解题的关键．
24．（1）成立，例子见解析；（2）﹣2
【分析】
（1）任意举两个被开方数是互为相反数的立方根，如和，和；
（2）根据互为相反数的和为0，列等式可得y的值，根据平方根的定义得：x+5＝0，计算x+y并计算它的立方根即可．
【详解】
解：（1）如+＝0，则2+（﹣2）＝0，即2与﹣2互为相反数；
所以“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”成立；
（2）∵和互为相反数，
∴+＝0，
∴8﹣y+2y﹣5＝0，
解得：y＝﹣3，
∵x+5的平方根是它本身，
∵x+5＝0，
∴x＝﹣5，
∴x+y＝﹣3﹣5＝﹣8，
∴x+y的立方根是﹣2．
【点评】
本题考查立方根和平方根的知识，难度一般，注意互为相反数的和为0，知道这一知识是本题的关键．
25．（1）1；-7；-x；（2）-7
【分析】
（1）根据新运算的定义式，代入数据求出结果即可；
（2）根据新运算的定义式将原式化简为-x-8，代入x=-1即可得出结论．
【详解】
解：（1）；
；
．
故答案为：1；-7；-x．
（2）原式=（-3x2+2x+1）×（-2）-（-2x2+x-2）×（-3），
=（6x2-4x-2）-（6x2-3x+6），
=-x-8，
当x=-1时，原式=-x-8=-（-1）-8=-7．
∴当x=-1时，的值为-7．
【点睛】
本题考查了整式的化简求值以及有理数的混合运算，读懂题意掌握新运算并能用其将整式进行化简是解题的关键．
26．
【分析】
根据例题得到，再判断5与的大小即可得到答案.
【详解】
解：，
∵，
∴，
∴，
∴.
【点睛】
此题考查实数的大小比较方法，两个实数可以利用做差法比较大小.