高中数学基础知识汇总-必修二.docx

必修二
（一）多面体和旋转体
1．多面体和旋转体的概念
（1）棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫做棱柱．
（2）棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．
（3）棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台．
（4）圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．
（5）圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．
（6）圆台：①用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.②圆台还可以看成是以直角梯形的直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体.
（7）球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．
2．多面体和旋转体的面积和体积公式
（1）圆柱的侧面积：S=2πrl；
（2）圆锥的侧面积：S=πrl；
（3）圆台的侧面积：S=π（r+ r′）l；
（4）球的表面积：；
（5）柱体的体积：V=Sh；
（6）锥体的体积：；
（7）台体的体积：；
（8）球的体积：.
（二）画法
1．我们把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影，中心投影的投影线交于一点．
2．我们把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影，平行投影的投影线是平行的．
在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影．
3．光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图叫做几何体的正视图；
光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图叫做几何体的侧视图；
光线从几何体的上面向下面正投影，得到投影图叫做几何体的俯视图；
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图．
一般地，一个几何体的侧视图和正视图高度一样，俯视图与正视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样．
一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边．
4．斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于点O．画直观图时，把它们画成对应的轴与轴，两轴交于点，且使45°（或135°），它们确定的平面表示水平平面．
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段．
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
（三）点线面位置关系
1．四个公理
公理1　如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；
用符号表示为：；
公理2　过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；
公理3　如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；
用符号表示为：；
公理4　平行于一条直线的两条直线互相平行；
用符号表示为：；
2．异面直线
（1）我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．
（2）空间两条直线的位置关系：

（3）已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线∥a，∥b，我们把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．
（4）定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
3．空间中直线与平面之间的位置关系：
（1）直线在平面内——有无数个公共点；
（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点；
（3）直线与平面平行——没有公共点；
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外．
4．平面与平面之间的位置关系：
（1）两个平面平行——没有公共点；
（2）两个平面相交——有一条公共直线．
（四）平行问题
1．定义：直线与平面没有公共点，则称此直线l与平面α平面，记作l∥α；
2．直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；
用符号表示：．
2．直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行；
用符号表示：．
3．平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；
用符号表示：．
几个结论：
①如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行；
②平行于同一平面的两个平面平行；
③如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行；
4．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；
且符号表示：．
5．直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．
用符号表示：．
（五）垂直问题
1．定义：如果直线l和平面α内的所有直线都垂直，那么直线l和平面α垂直，记作l⊥α．
直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．
2．直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
用符号表示：．
3．直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．
用符号表示：．
4．平面与平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直；
用符号表示：．
5．平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．
用符号表示：．
几个结论：
①如果两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线必垂直于第三个平面；
②如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．
（六）角问题
1．已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线∥a，∥b，我们把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．
两异面直线所成角范围．
2．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．
直线和平面所成角范围．
3．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．
在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．
二面角的大小可以用它的平面角来衡量．平面角是直角的二面角叫做直二面角．
二面角范围．
（七）直线的概念与方程
1、直线倾斜角的概念：当直线与x轴相交时,我们取x轴为基准, x轴的正方向与直线向上的方向所成的角叫做直线的倾斜角.并规定:直线与x轴平行或重合时,它的倾斜角为.直线的倾斜角的取值范围是.
2、直线斜率的概念：把一条直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示.直线倾斜角与斜率k的关系式为 .当k=0时,直线平行于x轴或者与x轴重合;当k>0时,直线的倾斜角为锐角;当k<0时,直线的倾斜角为钝角;倾斜角为的直线没有斜率.
3、两点斜率公式 ：直线上两点A(,),B(,),当=时,直线的斜率不存在,当时,直线的斜率为.
4、直线方程的点斜式:设直线经过点,且斜率为,则方程称为直线方程的点斜式.当直线的斜率不存在时,不能够用点斜式来表示,直线方程此时为。
5、直线方程的斜截式：直线方程由直线的斜率和它在轴上的截距b确定,所以方程被称为直线方程的斜截式.斜率不存在时,直线方程斜截式不存在.
6、直线方程的两点式：已知经过两点的直线方程为称为直线方程为直线方程的两点式.直线两点式方程的前提是直线的斜率存在且斜率不为0.
7、直线方程的截距式直线在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,则直线方程称为直线方程的截距式.应用截距式的前提有斜率存在且不为0,还要求直线不能过原点.
8、直线方程的一般式：二元一次方程表示的直线方程称为直线方程的一般形式.当时,可变形为,它表示一条斜率为且在y轴上截距为的直线;
（八）直线的关系和距离
1、直线平行的条件： 两条不重合的直线， 根据两条直线平行的定义及性质可知//,再由k与的关系可知:时或者均不存在；反之或者均不存在时两条直线平行。考查两条直线平行时，应首先考虑斜率是否存在。
2、直线垂直的条件：两条直线的倾斜角为则两条直线 .根据两条直线的斜率判断两条直线垂直的情况分为两类,一是:其中一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0;二是:两条直线的斜率都存在,且乘积为-1.
3、直线,直线,重合的条件是:且;平行的条件是且或.垂直的条件是: .
4、两条直线交点的求法：直线,直线.两条直线相交的条件是，直线的交点的坐标为方程组的解.
5、两点间的距离公式：平面内任意两点A,B之间的距离为|AB|=,当时|AB|=;当时|AB|=.
6、点到直线的距离公式 ：平面内任意一点P到任意一条直线的距离为,特别的,当B=0时,当A=0时.
7、两平行线的距离：直线与平行,则.
（九）圆的方程
1.圆的标准方程的意义
当圆心位置和半径的大小确定后,圆就唯一确定了，根据圆的定义和两点间的距离公式，得到圆的标准方程，圆心（a，b），半径r(r>0），所以判断点与圆的位置关系，只需判断点到圆心的距离与半径的大小关系即可。
2.圆的一般方程
方程，则可变形为,只有当＞0时，才表示圆，圆心（），半径,当＝0时，表示点（），若0，不表示任何图形。
（十）直线和圆圆和圆位置关系
1.点和圆的位置关系
①点到圆心距离等于半径，点在圆上；
②点到圆心的距离小于半径，点在圆内；
③点到圆心的距离大于半径，点在圆外.
2.直线与圆有三种位置关系
①直线与圆相交，有两个公共点；
②直线与圆相切，只有一个公共点；
③直线与圆相离，没有公共点；
3. 判断直线与圆的位置关系的方法有两种
①设圆心到直线的距离为，圆的半径为，若＜，直线与圆相交；若，直线与圆相切；若＞，直线与圆相离。
②直线与圆的方程组成方程组，若方程组有两个解，则直线与圆相交；若只有一个解，则直线与圆相切；若无解，则直线与圆相离.
4. 判断圆与圆的位置关系有两种方法，一是代数法，两圆的方程组成的方程组若有两解，则两圆相交；若有一解，则两圆相切，但不能判断是内切还是外切；若无解则两圆相离，但不能判断是外离还是内含。二是设两圆的半径分别为，两圆的圆心距为，则时，两圆外离；时，两圆外切；时，两圆相交；时，两圆内切；时，两圆内含.