高中数学基础知识汇总-必修四.docx

必修四
（一） 角的概念
1.任意角
(1)终边相同的角：所有与α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合
S={β|β=α+k·360°，k∈Z}.
(2)终边在坐标轴上的角：k·360°，90°+k·360°，180°+k·360°，
270°+k·360°的终边分别在x轴正半轴、y轴正半轴、x轴负半轴、y轴负半轴上，是特殊的角，
起着非常重要的作用.
2.弧度制
(1)定义：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
(2)计算：如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α弧度数的绝对值是 |α|=.
其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定.
注意：弧长公式：l=|α|r.扇形面积公式：Ｓ==.
(3)换算:360°=2π, 180°=π
1°=rad≈0.01745rad1rad=°≈57.30°
(4)一些特殊角的弧度数及函数值
度:0°,30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°,180°,270°,360°.
弧度：0，，，，，，，，，，.
要熟记这些特殊角的正弦、余弦、正切三种三角函数值.
3.三角函数的定义
（1）初中直角三角形中的定义；（2）单位圆定义：
（3）坐标法定义：设是一个任意角，在它的终边任取异于原点的一点，令，则，，
4. 三角函数值的符号：口诀：一全二正弦，三切四余弦．
注：一二三四指象限，提到的函数为正值，未提到的为负值．
5.三角函数线：设任意角的终边与单位圆交于点.过点作轴的垂线，垂足为.过点作单位圆的切线，设它与的终边或其反向延长线（当为第二、三象限角时）相交于点，则有：，，.
（二）诱导公式及同角关系式
1.同角三角函数的基本关系式：
平方关系：
商数关系：.
2.诱导公式：

取正弦
取余弦
取正切

sinα
cosα
tanα

- sinα
- cosα
tanα

- sinα
cosα
- tanα

sinα
- cosα
- tanα

cosα
sinα
cotα

cosα
-sinα
- cotα
记忆口诀：
前四组：函数名不变，符号看象限.
后两组：函数名改变，符号看象限（或：正变余，余变正，符号象限定）.
三角函数的诱导公式综合：，
口诀：“奇变偶不变，符号看象限”.
（三）三角函数性质
1.五点法作图的原理：在确定正弦函数在上图象的形状时，起关键作用的五个点是
，余弦的是
.
2.作正切函数的图象关键是三点两线，即三点是，两线是.
3.三角函数的图象和性质：
4.三角函数的奇偶性
函数的定义域是否为关于原点对称的点集是判断函数奇偶性的必要条件，必须优先考虑，然后再进行化简判断.
5.五点法作函数的图象
分别令取，求出相应的值与值，然后描点，再用光滑的曲线连结，即可得到一个周期的图象，通过左右平移，就得到在上的图象.
6.的物理意义：
叫振幅，决定图象最高（低）点的位置；叫相位，叫初相，影响图象的零值点；影响其周期，.通常情况下，可正可负，也可为.

7.由的图象可有两条途径得到
的图象：
① 先相位变换，再周期和振幅变换；
②先周期或振幅变换，再相位变换，此时横坐标的平移量为个单位.

（四）三角恒等变换

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式(如上知识结构).
2.辅助角公式：
，
其中，.
3.注意拼角、拆角的技巧：
如，，
，，
，
是的半角，是的二倍角等.
4.注意公式的“三用”：正用，逆用，变形用.

等
（五）平面向量的概念
1.向量的基本概念
（1）既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作，的模为.
(3)长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．
（4）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量．
规定：零向量与任一向量平行．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．
2.平面向量的线性运算
(1)加法 ：①定义：已知非零向量a、ｂ，在平面内任取一点Ａ，作＝ａ，＝ｂ，则向量叫做ａ与ｂ的和，记作ａ＋ｂ．
求两个向量和的运算，叫做向量的加法．上述方法称为向量加法的三角形法则．
②平行四边形法则：以同一点Ｏ为起点的两个已知向量ａ、ｂ为邻边作ＯＡＣＢ，则对角线ＯＣ就是ａ与ｂ的和．这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
③对于零向量与任一向量ａ，规定：ａ＋０＝０＋ａ＝ａ．
④性质 ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ； （ａ＋ｂ）＋ｃ＝ａ＋（ｂ＋ｃ）
｜ａ｜－｜ｂ｜≤｜ａ＋ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ｂ｜
(2)减法
①与ａ长度相等，方向相反的向量，叫做ａ的相反向量，记作－ａ．零向量的相反向量仍是零向量．
②任一向量与其相反向量的和是零向量，即ａ＋（－ａ）＝（－ａ）＋ａ＝０．
③定义:ａ－ｂ＝ａ＋（－ｂ），即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
④已知ａ,ｂ,在平面内任取一点Ｏ，作＝ａ,＝ｂ,则＝ａ－ｂ,即ａ－ｂ可以表示为从向量ｂ的终点指向向量ａ的终点的向量，这是向量减法的几何意义．
(3)数乘：①定义：规定实数λ与向量ａ的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λａ，它的长度与方向规定如下：
1°｜λａ｜＝｜λ｜｜ａ｜；
2°当λ＞０时，λａ的方向与ａ的方向相同；当λ＜０时，λａ的方
向与ａ的方向相反．
②运算律：设λ、μ为实数，那么
1°λ（μａ）＝（λμ）ａ；
2°（λ＋μ）ａ＝λａ＋μａ；
3°λ（ａ＋ｂ）＝λａ＋λｂ．
③向量共线条件:ａ,ｂ共线（ａ≠０）有且只有一个实数λ，使ｂ＝λａ．
(4)线性运算: 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量ａ,ｂ，以及任意实数,,，恒有ａｂ）=ａｂ.
（六）平面向量基本定理及表示
1.平面向量基本定理
如果ｅ１、ｅ２是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量ａ，有且只有一对实数λ１、λ２，使
ａ＝λ１ｅ１＋λ２ｅ２．
称不共线的向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
已知两个非零向量ａ和ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０°≤θ≤１８０°）叫做向量ａ与ｂ的夹角．如果ａ与ｂ的夹角是９０°，则称ａ与ｂ垂直，记作ａ⊥ｂ．
2.向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)平面向量的坐标
设ｉ，ｊ是与ｘ轴、ｙ轴方向相同的两个单位向量，对于平面上任一向量ａ，有且只有一对实数ｘ，ｙ，使得ａ＝ｘｉ＋ｙｊ，有序数对（ｘ，ｙ）叫做向量ａ的坐标，记作ａ＝（ｘ，ｙ）．
(2)平面向量的坐标运算
①设ａ＝（ｘ１，ｙ１），ｂ＝（ｘ２，ｙ２），则有
ａ＋ｂ＝（ｘ１＋ｘ２，ｙ１＋ｙ２）
ａ－ｂ＝（ｘ１－ｘ２，ｙ１－ｙ２）
λａ＝（λｘ１，λｙ１）
②设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），则有
＝（ｘ２－ｘ１，ｙ２－ｙ１）
③向量共线的坐标表示
设ａ＝（ｘ１，ｙ１），ｂ＝（ｘ２，ｙ２），则有
ａ，ｂ共线ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１＝０．
④中点公式
设P1（ｘ１，ｙ１），P2（ｘ２，ｙ２），Ｐ为P1P2中点，
则对任一点Ｏ，有

∴点P的坐标是.
⑤定比分点坐标公式：设P1（ｘ１，ｙ１），P2（ｘ２，ｙ２），当时，点的坐标是.
重心坐标公式：
（七）平面向量数量积
1.定义：已知两个非零向量ａ，ｂ，我们把数量
｜ａ｜｜ｂ｜ｃｏｓθ叫做ａ与ｂ的数量积（或内积）．
｜ａ｜ｃｏｓθ(｜ｂ｜ｃｏｓθ)叫做ａ在ｂ方向上（ｂ在ａ方向上）的投影.
2.ａ·ｂ的几何意义：
数量积ａ·ｂ等于ａ的长度｜ａ｜与ｂ在ａ方向上的投影｜ｂ｜ｃｏｓθ的乘积.
3.数量积的运算律：已知向量ａ，ｂ和实数，则：
　①ａ·ｂ＝ｂ·ａ
　②（λａ）·ｂ＝λ（ａ·ｂ）＝ａ·（λｂ）
　③（ａ＋ｂ）·ｃ＝ａ·ｂ＋ａ·ｃ
4.坐标表示：
设ａ＝（ｘ１，ｙ１），ｂ＝（ｘ２，ｙ２），则
ａ·ｂ＝ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２．
5.模长公式：设ａ＝（ｘ，ｙ），则
｜ａ｜＝＝．
6.垂直条件：设ａ，ｂ为非零向量，则
ａ⊥ｂａ·ｂ＝０ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝０．
7.夹角公式：
设ａ＝（ｘ１，ｙ１），ｂ＝（ｘ２，ｙ２），夹角为θ，
则 .