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第二章　函数概念与基本初等函数
§2.1　映射、函数、反函数
一、知识导学
1.映射：一般地，设A、B两个集合，如果按照某种对应法则 ，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的单值对应叫做集合A到集合 B的映射，记作f：A→B.(包括集合A、B及A到B的对应法则)
2.函数： 设A，B都是非空的数集，如果按某种对应法则，对于集合A中每一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，且B中每一个元素都的原象，这样的对应叫做从集合A到集合 B的一个函数，记作 .
其中所有的输入值组成的集合A称为函数定义域.
对于A中的每一个，都有一个输出值与之对应，我们将所有输出值组成的集合称为函数的值域.
　　3.反函数：一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出来，得到x=f-1(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x在A中都有唯一的值和它对应，那么x=f-1(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f-1(y). 我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f-1(x) 反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.

二、疑难知识导析
1.对映射概念的认识
(1) 与 是不同的，即 与 上有序的.或者说：映射是有方向的，
(2) 输出值的集合是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到对应的输入值.集合A中每一个输入值，在集合B中必定存在唯一的输出值.或者说：允许集合B中有剩留元素；允许多对一，不允许一对多.
(3)集合A，B可以是数集，也可以是点集或其它类型的集合.
2.对函数概念的认识
（1）对函数符号 的理解知道 y=与 的含义是一样的，它们都表示 是 的函数，其中 是自变量，是函数值，连接的纽带是法则 .是单值对应.
(2)注意定义中的集合 A，B都是非空的数集,而不能是其他集合；
（3）函数的三种表示法：解析法，列表法，和图像法.
3.对反函数概念的认识
　（1）函数y=只有满足是从定义域到值域上一一映射，才有反函数；
　（2）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域一般不能由其解析式来求，而应该通过原函数的值域而得.
　（3）互为反函数的函数有相同的单调性，它们的图像关于y=x对称.
三、经典例题导讲
[例1]设M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝,求（1）从M到N的映射种数；
　　　（2）从M到N的映射满足 (a)>(b)≥f(c),试确定这样的映射的种数.
错解：（1）由于M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有
，共6个映射
(2)由（1）得满足条件的映射仅有一种情况
错因：没有找全满足条件的映射个数，关健是对概念认识不清
正解：（1）由于M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有
一共有27个映射
（2）符合条件的映射共有4个
[例2]已知函数的定义域为[0，1]，求函数的定义域
错解：由于函数的定义域为[0，1]，即，
∴的定义域是[1，2]
错因：对函数定义域理解不透，不明白与定义域之间的区别与联系，其实在这里只要明白：中取值的范围与中式子的取值范围一致就好了.
正解：由于函数的定义域为[0，1]，即∴满足
，∴的定义域是[－1，0]
[例3]已知：，求.
错解：∵ ，∴
故，∴＝3－3＝0.
错因：没有理解分段函数的意义，的自变量是3，应代入中去，而不是代入－5中，只有将自变量化为不小于6的数才能代入解析式求解.
正解：∵ ，
∴＝＝＝7-5＝2　
[例4]已知的反函数是，如果与的图像有交点，那么交点必在直线上，判断此命题是否正确？
错解：正确
错因：对互为反函数的图像关于直线对称这一性质理解不深，比如函数
的图像的交点中，点不在直线上，由此可以说明“两互为反函数图像的交点必在直线上”是不正确的.
[例5]求函数，的值域.
错解：
　　　又，的值域是
错因:对函数定义中，输入定义域中每一个x值都有唯一的y值与之对应，错误地理解为x的两端点时函数值就是y的取值范围了.
正解：配方，得
∵，对称轴是∴当时，函数取最小值为2，

的值域是
[例6]已知，求函数的解析式.
错解：由已知得
即，∴
错因：将函数错误地认为是的反函数，是由于对函数表达式理解不透彻所致，实际上与并不是互为反函数，一般地应该由先求，再去得到.
正解：因为的反函数为＝，
所以＝＝
[例7]根据条件求下列各函数的解析式：
（1）已知是二次函数，若，求.
（2）已知，求
（3）若满足求
解：（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解
设＝由于得，
又由，∴
即　
　　因此：＝
(2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解
设
∴＝　　（）
（3）由于为抽象函数，可以用消参法求解
　用代可得：
与　　　　　
　联列可消去得：＝.
点评：求函数解析式（1）若已知函数的类型，常采用待定系数法；（2）若已知表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法.
[例8] 已知，试求的最大值.
分析：要求的最大值，由已知条件很快将变为一元二次函数然后求极值点的值，联系到，这一条件，既快又准地求出最大值.
解 由 得

又
当时，有最大值，最大值为
点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性.大部分学生的作法如下：
由 得

当时，取最大值，最大值为
这种解法由于忽略了这一条件，致使计算结果出现错误.因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确地解题..
[例9]设是R上的函数，且满足并且对任意的实数都有
，求的表达式.
解法一：由，设，
得，所以＝
解法二：令，得
即
又将用代换到上式中得＝
点评：所给函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数.具体取什么特殊值，根据题目特征而定.
四、典型习题导练
1. 已知函数f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)|y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1｝中所含元素的个数是（　　　 ）
A.0 B.1 C.0或1 D.1或2

2.对函数作代换x=g(t)，则总不改变f(x)值域的代换是( ) A. B.
C.g(t)=(t－1)2 D.g(t)=cost

3.方程f(x,y)=0的曲线如图所示，那么方程f(2－x,y)=0的曲线是 ( )

A
B
C
D

4.函数f(x)＝的最小值为
A．190 B.171 C.90 D.45
5. 若函数f(x)=(x≠)在定义域内恒有f［f(x)］=x,则m等于( )
A.3 B. C.－ D.－3
6.已知函数满足：，，则
.
7.已知函数f(x)满足f(logax)= (其中a>0,a≠1,x>0),求f(x)的表达式.
8.已知函数是函数（R）的反函数，函数的图像与函数的图像关于直线y＝x－1成轴对称图形，记＝+.
（1）求函数F（x）的解析式及定义域；
（2）试问在函数F（x）的图像上是否存在两个不同的点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直？若存在，求出A、B两点的坐标；若不存在，说明理由.
§2.2函数的性质
一、知识导学
　　1.函数的单调性：
　（1）增函数：一般地，设函数的定义域为I，如果定义域I内某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时，都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数.
　（2）减函数：一般地，设函数的定义域为I，如果定义域I内某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有f(x1)＞f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.
　（3）单调性（单调区间）如y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在这区间上具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.
　　2.函数的奇偶性：
　（1）奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x) =－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.
　（2）一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x) =f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.
　（3）如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说f(x)具有奇偶性.
　　3.函数的图像：将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到平面内的一个点（x0,f(x0)），当自变量取遍函数定义域内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点的集合（点集）组成的图形就是函数y=f(x)的图像.
二、疑难知识导析
　　1. 对函数单调性的理解， 函数的单调性一般在函数的定义域内的某个子区间上来讨论，函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制.
2.对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.稍加推广，可得函数f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立.函数的奇偶性是其相应图像的特殊的对称性的反映.
这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用.根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求.
　　3. 用列表描点法总能作出函数的图像，但是不了解函数本身的特点，就无法了解函数图像的特点，如二次函数图像是抛物线，如果不知道抛物线的顶点坐标和存在着对称轴，盲目地列表描点是很难将图像的特征描绘出来的.
三、经典例题导讲
[例1]判断函数的单调性.
错解：是减函数
错因：概念不清，导致判断错误.这是一个复合函数，而复合函数的单调性（或单调区间），仍是从基础函数的单调性（或单调区间）分析，但需注意内函数与外函数的单调性的变化.当然这个函数可化为，从而可判断出其单调性.
正解：　令，则该函数在R上是减函数，又在R上是减函数，
∴　是增函数
[例2]判断函数的奇偶性.
错解：∵＝
　　∴
　　∴是偶函数
错因：对函数奇偶性定义实质理解不全面.对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.
正解：有意义时必须满足
即函数的定义域是｛｜｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数
[例3] 判断的奇偶性.
错解：∵
　　　∴且
　　　所以该函数既不是奇函数也不是偶函数
错因：对数运算公式不熟悉，或者说奇偶性的判别方法不灵活.定义中f(-x)=-f(x)
f(-x)=f(x)，也可改为研究f(-x)+f(x) =0 ，f(-x)-f(x)＝0是否成立.
正解：方法一：∵
＝＝＝－
∴是奇函数
　　方法二：∵
＝
　　∴是奇函数
[例4]函数y=的单调增区间是_________.
错解：因为函数的对称轴是，图像是抛物线，开口向下，由图可知在上是增函数，所以y=的增区间是
错因：在求单调性的过程中注意到了复合函数的单调性研究方法，但没有考虑到函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，从而忽视了函数的定义域，导致了解题的错误.
正解：y=的定义域是，又在区间上增函数，在区间是减函数，所以y=的增区间是
[例5] 已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,求x的取值范围.
错解：∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)=　f (3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，
∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0
解得x>2或x<－3
又 f(x)是定义在(－3，3)上的函数，
所以2＜x＜3
错因：只考虑到奇函数与单调性，而没有正确理解函数的定义域.
正解：由,故0<x<,
又∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，
∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2<x<,即A={x|2<x<},
[例6] 作出下列函数的图像(1)y=|x-2|(x＋1)；(2).
分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形.在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想.
解：(1)当x≥2时，即x-2≥0时，

当x＜2时，即x-2＜0时，
所以
这是分段函数，每段函数图像可根据二次函数图像作出(见图)
(2)当x≥1时，lgx≥0，y=10lgx=x；
当0＜x＜1时，lgx＜0，
所以
这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.(见图)
点评：作不熟悉的函数图像，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x，y的变化范围.因此必须熟记基本函数的图像.例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图像.
[例7]若f(x)= 在区间（－2，＋）上是增函数，求a的取值范围
解：设

　　　由f(x)=在区间（－2，＋）上是增函数得
∴a＞
点评：有关于单调性的问题，当我们感觉陌生，不熟悉或走投无路时，回到单调性的定义上去，往往给我们带来“柳暗花明又一村”的感觉.
[例8] 已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明：
(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减
解：证明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.
(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.
令0<x1<x2<1,则f(x2)－f(x1)=f(x2)＋f(－x1)=f()
∵0<x1<x2<1,∴x2－x1>0,1－x1x2>0，∴>0,
又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0
∴x2－x1<1－x2x1,
∴0<<1,由题意知f()<0，
即f(x2)<f(x1).
∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.
∴f(x)在(－1，1)上为减函数.
点评：本题知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.对函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力要求较高. 如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得. 对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定的范围是解题的焦点.
四、典型习题导练
1.某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y轴表示离学校的距离，x轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是( )

2. 若函数 是定义在R上的偶函数，在 上是减函数，且 ，则使得的取值范围是 （ ）
A. 　B. C. 　D.（－2，2）
3. 若函数是奇函数，则a= .
4. 已知是定义在R上的单调函数，实数，
，若，则（ ）
A. B. C. D..
5.已知是定义在R上的奇函数，且当时，＝，求.
6. 已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－)=0,
当x>－时，f(x)>0.
(1)求证：f(x)是单调递增函数；
(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.
7.已知函数y=f(x)= (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)<.
(1)试求函数f(x)的解析式；
(2)问函数f(x)图像上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
§2.3　基本初等函数
一、知识导学
1. 二次函数的概念、图像和性质.
（1）注意解题中灵活运用二次函数的一般式
二次函数的顶点式和
二次函数的坐标式
（2）解二次函数的问题（如单调性、最值、值域、二次三项式的恒正恒负、二次方程根的范围等）要充分利用好两种方法：配方、图像，很多二次函数都用数形结合的思想去解.
①，当时图像与x轴有两个交点.
M（x1,0）N(x2,0),|MN|=| x1- x2|=.
②　二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得.

2.指数函数和对数函数的概念和性质.
（1）有理指数幂的意义、幂的运算法则：
①；②；③（这时m,n是有理数）
对数的概念及其运算性质、换底公式.

；　
（2）指数函数的图像、单调性与特殊点.对数函数的图像、单调性与特殊点.
①指数函数图像永远在x轴上方，当a＞1时，图像越接近y轴，底数a越大；当0<a<1时，图像越接近y轴，底数a越小.
②对数函数的符号常受到底数和真数的范围的制约，注意对底数a的讨论.
③当a>1时，图像越接近x轴，底数a越大; 当0<a<1时，图像越接近x轴，底数a越小.

3.幂函数的概念、图像和性质.
结合函数y=x,y=x2 ,y=x3,y=,y=的图像，了解它们的变化情况.
①＞0时，图像都过（0,0）、（1,1）点，在区间（0，+∞）上是增函数；
注意＞1与0<＜1的图像与性质的区别.
②＜0时，图像都过（1,1）点，在区间（0，+∞）上是减函数；在第一象限内，图像向上无限接近y轴，向右无限接近x轴.
③当x>1时，指数大的图像在上方.
二、疑难知识导析
1.二次函数在区间上最值的求解要注意利用二次函数在该区间上的图像.二次函数的对称轴与区间的位置通常有三种情况：（1）定义域区间在对称轴的右侧；（2）定义域区间在对称轴的左侧；（3）对称轴的位置在定义域区间内　
2.幂的运算性质、对数的运算性质的运用，要注意公式正确使用.会用语言准确叙述这些运算性质防止出现下列错误：
（1）式子＝，
（2）
　3.利用指数函数的性质解题，一定要注意底数的取值.
　4.函数的研究方法一般是先研究的性质，再由的情况讨论的性质.
　5.对数函数与指数函数互为反函数，会将指数式与对数式相互转化.
　6.幂函数的性质，要注意的取值变化对函数性质的影响.
（1）当时，幂函数是奇函数；（2）当时，幂函数是偶函数；（3）当时，定义域不关于原点对称，幂函数为非奇非偶函数.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

三、经典例题导讲
[例1]已知求
错解：∵∴
　∴
错因：因对性质不熟而导致题目没解完.
正解：∵∴
　∴
[例2]分析方程（）的两个根都大于1的充要条件.
错解：由于方程（）对应的二次函数为
的图像与x轴交点的横坐标都大于1即可.
　故需满足，所以充要条件是
错因：上述解法中，只考虑到二次函数与x轴交点坐标要大于1，却忽视了最基本的的前题条件，应让二次函数图像与x轴有交点才行，即满足△≥0，故上述解法得到的不是充要条件，而是必要不充分条件.
正解：充要条件是
[例3]求函数的单调区间.
错解：令，则＝
∴当t≥6,即x≥1时，y为关于t的增函数，
当t≤6,即x≤1时，y为关于t的减函数
∴函数的单调递减区间是，单调递增区间为
错因：本题为复合函数，该解法未考虑中间变量的取值范围.
正解：令，则为增函数，
＝＝
　∴当t≥6,即x≥1时，y为关于t的增函数，
当t≤6,即x≤1时，y为关于t的减函数
∴函数的单调递减区间是，单调递增区间为
[例4]已知在[0，1]上是的减函数，则的取值范围是　　　　　
错解：∵是由，复合而成，又＞0
　　∴在[0，1]上是的减函数，由复合函数关系知
应为增函数，∴＞1
错因：错因：解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系，却忽视了数定义域的限制，单调区间应是定义域的某个子区间，即函数应在[0，1]上有意义.
正解：∵是由，复合而成，又＞0
　　∴在[0，1]上是的减函数，由复合函数关系知
应为增函数，∴＞1
又由于 在[0，1]上时 有意义，又是减函数，∴＝1时，取最小值是＞0即可，　　∴＜2
综上可知所求的取值范围是1＜＜2
[例5]已知函数.
（1）当时恒有意义，求实数的取值范围.
（2）是否存在这样的实数使得函数在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由.
分析：函数为复合函数，且含参数，要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解题思路，是否存在性问题，分析时一般先假设存在后再证明.
解：（1）由假设，＞0，对一切恒成立，
显然，函数g(x)= 在[0，2]上为减函数，从而g(2)＝＞0得到＜
∴的取值范围是（0，1）∪（1，）
(2)假设存在这样的实数，由题设知，即＝1
∴＝此时
当时，没有意义，故这样的实数不存在.
点评：本题为探索性问题，应用函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题一般的处理方法是先假设存在，结合已知条件进行推理和等价转化，若推出矛盾，说明假设不成立.即不存在，反之没有矛盾，则问题解决.
[例6]已知函数f(x)=, 其中为常数，若当x∈(－∞, 1］时, f(x)有意义，求实数a的取值范围.
分析：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于的不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把分离出来，重新认识与其它变元(x)的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”.
解：>0, 且a2－a+1=(a－)2+>0,
∴ 1+2x+4x·a>0, a>,
当x∈(－∞, 1]时, y=与y=都是减函数，
∴ y=在(－∞, 1]上是增函数，max=－,
∴ a>－, 故a的取值范围是(－, +∞).
点评：发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现.本题主客换位后，利用新建函数y=的单调性转换为函数最值巧妙地求出了实数a的取值范围.此法也叫主元法.
[例7]若，试求的取值范围.
解：∵幂函数有两个单调区间，
∴根据和的正、负情况，有以下关系　
①　　　②　　　　　③
解三个不等式组：①得＜＜，②无解，③＜－1
∴的取值范围是（－∞，－1）∪（，）
点评：幂函数有两个单调区间，在本题中相当重要，不少学生可能在解题中误认为，从而导致解题错误.
[例8] 已知a>0 且a≠1 ,f (log a x ) = (x － )
(1)求f(x)；
(2)判断f(x)的奇偶性与单调性；
(3)对于f(x) ,当x ∈(－1 , 1)时 , 有f( 1－m ) +f (1－ m2 ) < 0 ,求m的集合M .
分析：先用换元法求出f(x)的表达式；再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然后利用以上结论解第三问.
解：(1)令t=logax(t∈R)，则

f(x)在R上都是增函数.

点评：对含字母指数的单调性，要对字母进行讨论.对本例的③不需要代入f（x）的表达式可求出m的取值范围，请同学们细心体会.
四、典型习题导练
1. 函数的图像如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（ ）
A.　　　　B.
C. D.　　　　　　

2、已知2lg(x－2y)=lgx+lgy,则的值为（ ）
A.1 B.4 C.1或4 D.4 或 8
3、方程 (0<a<1)的解的个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
4、函数f(x)与g(x)=()x的图像关于直线y=x对称,则f(4－x2)的单调递增区间是 ( ）
A. B. C. D.
5、图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图像，已知n可取±2，±四个值,则相应于曲线c1、c2、c3、c4的n依次为( )
A.－2，－，，2 B．2，，－，－2　　
C. －，－2,2， D. 2，，－2, －
6. 求函数y = log 2 (x2 －5x+6) 的定义域、值域、单调区间.
7. 若x满足 ,求f(x)=最大值和最小值.
8.已知定义在R上的函数为常数
（1）如果＝，求的值；
（2）当满足（1）时，用单调性定义讨论的单调性.
§2.4　函数与方程
一、知识导学
1.函数的零点与方程的根的关系：
　一般地，对于函数（）我们称方程的实数根也叫做函数的零点，即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值. 求综合方程f(x)=g(x)的根或根的个数就是求函数的零点.
2.函数的图像与方程的根的关系：
　　一般地，函数（）的图像与轴交点的横坐标就是的根.综合方程f(x)=g(x)的根，就是求函数y＝f(x)与y=g(x)的图像的交点或交点个数，或求方程的图像与轴交点的横坐标.
　　3.判断一个函数是否有零点的方法：
　　如果函数在区间[a,b]上图像是连续不断的曲线，并且有，那么，函数在区间（a,b）上至少有一个零点，即至少存在一个数使得，这个c也就是方程的一个根.对于我们学习的简单函数，可以借助图像判断解的个数，或者把写成，然后借助、的图像的交点去判断函数的零点情况.
4. 二次函数、一元二次方程、二次函数图像之间的关系：
　　二次函数的零点，就是二次方程的根，也是二次函数的图像与x轴交点的横坐标.
5. 二分法：
　　对于区间[a,b]上的连续不断，且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
二、疑难知识导析
1.关于函数的零点，就是方程的实数根，也就是与函数图像的交点的横坐标. 要深刻理解，解题中灵活运用.
2.如果二次函数，在闭区间[m,n]上满足，那么方程在区间（m,n）上有唯一解，即存在唯一的，使，方程另一解.
3. 二次方程的根在某一区间时，满足的条件应据具体情形而定.如二次方程＝的根都在区间时
应满足：
4.用二分法求二次方程的近似解一般步骤是
（1）取一个区间（）使
（2）取区间的中点，
（3）计算，①若，则就是的解，计算终止；②若，则解位于区间（）中，令；若则解位于区间（）令
（4）取区间是（）的中点，重服第二步、第三骤直到第n步，方程的解总位于区间（）内
（5）当精确到规定的精确度的近似值相等时，那么这个值就是所求的近似解.
三、经典例题导讲
[例1]已知函数若时，≥0恒成立，求的取值范围.
错解：（一）恒成立，∴△＝≤0恒成立
　解得的取值范围为
错解：（二）∵若时，≥0恒成立
∴即
解得的取值范围为
错因：对二次函数＝当上≥0恒成立时，△≤0
片面理解为，≥0，恒成立时，△≤0 ；或者理解为
这都是由于函数性质掌握得不透彻而导致的错误.二次函数最值问题中“轴变区间定”要对对称轴进行分类讨论；“轴定区间变”要对区间进行讨论.
正解：设的最小值为
（1）当即＞4时，＝＝7－3≥0，得故此时不存在；
(2) 当即－4≤≤4时，＝3－－≥0，得－6≤≤2
又－4≤≤4，故－4≤≤2；
（3）即＜－4时，＝＝7＋≥0，得≥－7，又＜－4
故－7≤＜－4
综上，得－7≤≤2
[例2]已知有且只有一根在区间（0,1）内，求的取值范围.
错解：设∵有且只有一根在区间（0,1）内
∴得＜－2
错因：对于一般，若，那么，函数在区间（a,b）上至少有一个零点，但不一定唯一.对于二次函数，若则在区间（a,b）上存在唯一的零点，一次函数有同样的结论成立.
　　　但方程＝0在区间（a,b）上有且只有一根时，不仅是，也有可能.如二次函数图像是下列这种情况时，就是这种情况.
由图可知＝0在区间（a,b）上有且只有一根，但是

正解：设，（1）当＝0时方程的根为－1，不满足条件.
（2）当≠0∵有且只有一根在区间（0,1）内
又＝1＞0　
　∴有两种可能情形①得＜－2
或者②得不存在
综上所得，＜－2
[例3]已知一次函数与二次函数图像如图，其中
的交点与轴、轴的交点分别为A（2，0），B（0，2）；与二次函数的交点为P、Q，P、Q两点的纵坐标之比为1︰4.（1）求这两个函数的解析式.（2）解方程：
（1）错解：把 A（2，0），B（0，2）两点坐标分别代入一次函数解得
∴一次函数为
设P（1，1），Q（，2），则
1︰2＝1︰4
∴︰＝1︰4　　∴1︰2＝1︰2或1︰2＝（－1）︰2
当1︰2＝1︰2时，Q点坐标为（21，41），把P、Q两点坐标分别代入直线方程即得　　　解得
∴P（3，－1），Q（6，－4），抛物线方程为
当1︰2＝（－1）︰2时， Q点坐标为（－21，41）把P、Q两点坐标分别代入直线方程即得　　　解得
∴P（1， 1），Q（－2， 4），抛物线方程为
错因：在得到1︰2值之后，要注意题意判断点的位置关系，多余的解要舍去，题中Q在第二象限，所以不合条件.
正解：（1）抛物线方程为
（2）方法一：由（1）得方程　即为　
解得1＝－2，2＝1.
　　方法二：方程的根即为二次函数与一次函数的交点的横坐标.由（1）知它们交点的坐标分别为P（1， 1），Q（－2， 4），　
∴方程的解为1＝－2，2＝1.

[例4]是否存在这样的实数k，使得关于x的方程
2+（2k－3）－（3k－1）＝0有两个实数根，且两根都在0与2之间？如果有，试确定k的取值范围；如果没有，试说明理由.
错解：令那么由条件得到
即此不等式无解
即不存在满足条件的k值.
错因：方程两根都在0与2之间，根据图像，可知除满足上述条件外，还要考虑二次函数的对称轴在区间（0,2）内.
正解：令那么由条件得到
即即此不等式无解
即不存在满足条件的k值.
[例5]已知二次函数对于1、2R，且1＜2时
，求证：方程＝有不等实根，且必有一根属于区间（1，2）.
解：设F（）＝－，　　
则方程　　　　＝　　　　　　①
与方程　　　　F（）＝0　　　　　　　　　　　　②　等价
∵F（1）＝－＝
F（2）＝－＝
∴　F（1）·F（2）＝－，又
∴F（1）·F（2）＜0
故方程②必有一根在区间（1，2）内.由于抛物线y＝F（）在轴上、下方均有分布，所以此抛物线与轴相交于两个不同的交点，即方程②有两个不等的实根，从而方程①有两个不等的实根，且必有一根属于区间（1，2）.
点评：本题由于方程是＝，其中因为有表达式，所以解题中有的学生不理解函数图像与方程的根的联系，误认为证明的图像与轴相交于两个不同的点，从而证题中着眼于证＜0，使本题没法解决. 本题中将问题转化为F（）＝－的图像与轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在.
[例6]试确定方程最小根所在的区间，并使区间两个端点是两个连续的整数.
分析：只要构造函数＝，计算的自变量取整数值时的函数值，根据其符号，确定方程根的个数及根的分布.
解：令＝
∵＝－54－9＋12＋2＝－49＜0　
＝－16－4＋8＋2＝－10＜0
＝－2－1＋4＋2＝3＞0
＝0－0－0＋2＝2＞0
＝2－1－4＋2＝－1＜0
＝16－4－8＋2＝6＞0
根据·＜0，·＜0，·＜0
可知的零点分别在区间（－2，－1），（0,1），（1,2）内.
因为方程是一个一元三次方程，所以它最多有三个根，所以原方程的最小根在区间（－2，－1）内.
点评：计算一元高次函数值可借助于计算器来完成，在实数范围内一元n次方程最多有n个实根，当然本题也可以用因式分解方法来解.

所以＝0有三个根：
[例7]设二次函数方程的两个根，满足0.
（1）当时，证明；
（2）设函数的图像关于直线对称，证明：
.
分析：（1）用作差比较法证明不等式；
（2）函数图像关于直线对称，实际直线就是二次函数的对称轴，即，然后用已知条件证明不等式即可.
证明：（1）依题意，设
当时，由于，∴，又
∴>0即

∵0.∴
∴
综合得
（2）依题意知，又
∴
∵∴
点评：解决本题的关健有三：一是用作差比较法证明不等式；二是正确选择二次函数的表达式，即本题选用两根式表示；三要知道二次函数的图像关于直线对称，此直线为二次函数的对称轴，即
[例8] 已知函数，且方程有实根.
(1)求证：-3<c≤-1,b≥0.
(2)若m是方程的一个实根，判断的正负并加以证明
分析：（1）题中条件涉及不等关系的有和方程有实根.
及一个等式，通过适当代换及不等式性质可解得；（2）本小题只要判断的符号，因而只要研究出值的范围即可定出符号.
(1)证明：由，得1+2b+c=0,解得，又，
1
解得，
又由于方程有实根，即有实根，
故即解得或
∴，由，得≥0.
（2）=
∵，∴c<m<1（如图）
∴c—4<m—4<—3<c.
∴的符号为正.
点评：二次函数值的符号，可以求出其值判断，也可以灵活运用二次函数的图像及性质解题.
四、典型习题导练
1. 方程的实根的个数是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3.

2.已知抛物线与轴的两个交点在（1,0）两旁，则关于的方程的根的情况是（　　）
Ａ.有两个正数根 　　　 　B.有两个负数根
C.有一个正数根和一个负数根　　　　　　D.无实数根
3.若关于的方程在（0,1）内恰有一解，则的取值范围为（　　）
A. ＜－1　　　　　B. ＞1　　C. －1＜＜1　　　D.0＜＜1

4.已知函数的图像如图所示，则b的取值范围是（　　）
A.(-∞,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,+∞)
5.已知函数对一切实数都有成立，且方程=0恰有6个不同的实根，则这6个根的和是 .
6. 已知在二次函数的解析式中，＝－3，＝－8，且它的两个零点间的距离等于2，求这个二次函数的解析式.
7.设f(x)=3ax,f(0)＞0，f(1)＞0，求证：
(1)a＞0且-2＜＜-1；
(2)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.
8.