二次函数培优习题精选.doc

二次函数习题精选1、抛物线过第二、三、四象限，则 0， 0， 02、抛物线在轴上截得的线段长度是 3、抛物线，若其顶点在轴上，则 4、已知二次函数，则当 时，其最大值为05、二次函数的值永远为负值的条件是 0， 01133xyOABC6、如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A（1，0）、点B（3，0）和点C（0，3），一次函数的图象与抛物线交于B、C两点。二次函数的解析式为 当自变量 时，两函数的函数值都随增大而增大当自变量 时，一次函数值大于二次函数值当自变量 时，两函数的函数值的积小于07、已知抛物线与轴的交点都在原点的右侧，则点M（）在第 象限 8、已知抛物线与轴的正半轴交于点A，与轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，SABC=3，则= ，= Oxy-119、二次函数的图象如图所示，则， 这3个式子中，值为正数的有（ ）A4个B3个C2个D1个10、在同一直角坐标系中，函数与的图象大致如图 （ ）11、已知二次函数的图象如图，下列结论：; ; ; ；，正确的个数是 ( )A 4 个 B 3个 C 2个 D 1个12、已知抛物线y=ax2+bx+c经过原点和第一、二、三象限，那么( ) A.a0,b0,c0 B.a0,b0,c=0 C.a0,b0 D.a0,b0,c=013、已知抛物线C1的解析式是，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，求抛物线C2的解析式14、（2009黄石）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图3所示，下列结论：abc0 2a+b0 4a2b+c0 a+c0，其中正确结论的个数为（ ）A、4个 B、3个 C、2个 D、1个DCBFEA图315、已知：如图3，在RtABC中，C=90，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上， 分别作DEAC，DFBC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y. (1)用含y的代数式表示AE. (2)求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围.(3)设四边形DECF的面积为S，求出S的最大值.16、已知：，是方程的两个实数根，且，抛物线的图象经过点A()，B()(1) 求这个抛物线的解析式；(2) 设（1）中的抛物线与轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和的面积；(3) 是线段上的一点，过点作轴，与抛物线交于点，若直线把分成面积之比为的两部分，请求出点的坐标17、如图，在一块三角形区域ABC中，C=90，边AC=8，BC=6，现要在ABC内建造一个矩形水池DEFG，如图的设计方案是使DE在AB上。 求ABC中AB边上的高h;设DG=x,当x取何值时，水池DEFG的面积最大？实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树。18、一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达最大高度3.5米，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？19、二次函数的图象与x轴从左到右两个交点依次为A、B，与y轴交于点C，（1）求A、B、C三点的坐标；（2）如果P(x，y)是抛物线AC之间的动点，O为坐标原点，试求POA的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）是否存在这样的点P，使得PO=PA，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。20、（2009广东梅州）如图 12，已知直线过点和，是轴正半轴上的动点，的垂直平分线交于点，交轴于点 LAOMPBxyL1图12Q（1）直接写出直线的解析式； （2）设，的面积为，求关于t的函数关系式；并求出当时，的最大值； （3）直线过点且与轴平行，问在上是否存在点， 使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C的坐标，并证明；若不存在，请说明理由21、如图，已知抛物线的对称轴方程为x4，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，O是坐标原点，且A、C的坐标分别为（2，0）、（0，3）。（1）、求此抛物线的解析式；（2）、抛物线上有一点P，满足PBC90，求P点的坐标；（3）y轴上是否存在一点E，使得AOE与PBC是相似三角形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由。22、如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于C点，已知抛物线的对称轴为x1，B（3，0），C（0，-3）。（1）、求抛物线的解析式。（2）、在对称轴上是否存在一点P，使得点P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。（3）、平行于x轴的一条直线交抛物线于M、N两点，若以为MN的中点到x轴的距离刚好等于的MN长的一半，求此这条直线的解析式。23、（发散70页）：如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A和点B（A、B分别位于原点O的两侧），与y轴的负半轴交于点C，且tanOAC=2,AB=CB=5。(1) 求直线BC和二次函数的解析式；(2) 直线BC上是否存在这样的点P，使PAB和OBC相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由。24、（发散71页）：已知抛物线y=mx2-(m-5)x-5 (m0)与x轴交于两点A（x1,0）、B(x2,0)( x1x2)，与y轴交于点C，且AB6。（1）求抛物线和直线BC的解析式；（2）画出它们的大致图象；（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MNx轴于点N，使MBN被直线BC分成面积比为1：3的两部份？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由。25、（发散87页）：已知二次函数y=x2+2ax-2b+1和y=-x2+(a-3)x+b2-1的图象都经过x轴上两个不同的点M、N，求a、b的值。26、（2007海口）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过O（0，0），A（4，0），B（3，）三点，连结AB，过点B作BCx轴交抛物线于点C。（1）求该抛物线的解析式；（2）两个动点P、Q分别从O、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度运行，其中，点P沿着线段OA向A点运动，点Q沿着折线ABC的路线向点C运动。设这两个动点运动的时间为t（秒）（0t4）。PQA的面积记为S。求S与t的函数关系式；当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？并指出此时PQA的形状；是否存在这样的t值，使得PQA是直角三角形？若存在，请直接写出此时的P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由。27、（2008威海）如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB7，CD1，ADBC5，点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MNAB，MEAB，NFAB，垂足分别为E，F。（1）求梯形ABCD的面积；（2）求四边形MEFN面积的最大值；（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出它的面积；若不能，请说明理由。28、（发散94页）已知抛物线y=x2+mx-与抛物线y=x2-mx+在同一坐标系中的位置如图所示，其中一条与x轴交于点A和B。（1）试判断哪条抛物线经过A，B两点，并说明理由；（2）若A，B两点到原点的距离OA，OB满足，求经过A，B两点的这条抛物线的解析式。第7题图(2)ADFBEC(1)EFGHABDC29、（2008荆门）某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，CFE、ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成CFE、ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？30、（2009广州）如图13，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），ABC的面积为。（1）求该二次函数的关系式；（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。31、（2009深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及PAB的最大面积；若没有，请说明理由.32、（导学练54页）已知RtABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系内，使其斜边AB与x轴重合（其中OAOB），直角顶点在y轴正半轴上。如图1（1）求线段OA，OB的长和经过点A，B的抛物线的解析式；（2）如图2,点D的坐标为（2，0）,点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m0，n0）,连接DP交BC于点E。当BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标；连接CD，CP，如图3，CDP是否有最大面积？若有，求出它的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由。（第33题）ABFCGDHQPNM红黄紫E33、（2009吉林）某数学研究所门前有一个边长为4米的正方形花坛，花坛内部要用红、黄、紫三种颜色的花草种植成如图所示的图案，图案中准备在形如Rt的四个全等三角形内种植红色花草，在形如Rt的四个全等三角形内种植黄色花草，在正方形内种植紫色花草，每种花草的价格如下表：品种红色花草黄色花草紫色花草价格（元/米2）6080120设的长为米，正方形的面积为平方米，买花草所需的费用为元，解答下列问题：（1）与之间的函数关系式为 ；（2）求与之间的函数关系式，并求所需的最低费用是多少元；（3）当买花草所需的费用最低时，求的长xyO12321A34、（2009江苏）如图，已知二次函数的图象的顶点为二次函数的图象与轴交于原点及另一点，它的顶点在函数的图象的对称轴上（1）求点与点的坐标；（2）当四边形为菱形时，求函数的关系式yxOABC35、（2009武汉）如图，抛物线经过、两点，与轴交于另一点（1）求抛物线的解析式；（2）已知点在第一象限的抛物线上，求点关于直线对称的点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接，点为抛物线上一点，且，求点的坐标36、EABGNDMC（第22题图）（2009德州）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆 （1）当MN和AB之间的距离为0.5米时，求此时EMN的面积； （2）设MN与AB之间的距离为米，试将EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数； （3）请你探究EMN的面积S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由37、（2009宜宾）如图，在平面直角坐标系xoy中，等腰梯形OABC的下底边OA在x轴的正半轴上，BCOA，OC=ABtanBA0=，点B的坐标为(7，4)(1)求点A、C的坐标；(2)求经过点0、B、C的抛物线的解析式；(3)在第一象限内(2)中的抛物线上是否存在一点P，使得经过点P且与等腰梯形一腰平行的直线将该梯形分成面积相等的两部分?若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由38、（2009泸州） 如图12，已知二次函数 的图象与x轴的正半轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且 (1)求c的值； (2)若ABC的面积为3，求该二次函数的解析式； 图12图12 (3)设D是(2)中所确定的二次函数图象的顶点，试问在直线AC上是否存在一点P使PBD的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由39、(2009成都)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，其顶点为M,若直线MC的函数表达式为,与x轴的交点为N，且COSBCO。(1)求此抛物线的函数表达式； (2)在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由； (3)过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?40、（2009莆田）已知，如图抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧。点B的坐标为(1，0),OC=30B (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值： (3)若点E在x轴上，点P在抛物线上。是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由41、（2009湖州）已知抛物线y=x22x+a（a0）与轴相交于点，顶点为.直线y=0.5xa分别与x轴，y轴相交于B、C两点，并且与直线AM相交于点N.(1)填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M ( , ), N ( , )； (2)如图，将NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N恰好落在抛物线上，AN与x轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积；(3)在抛物线（）上是否存在一点，使得以P,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由.第（2）题xyBCODAMNNxyBCOAMN备用图42、xyDCAOB（第24题）（2009江西）如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为.（1）直接写出、三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作交抛物线于点，设点的横坐标为；用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？设的面积为，求与的函数关系式.43、（2009安顺）如图，已知抛物线与交于A(1，0)、E(3，0)两点，与轴交于点B(0，3)。（1） 求抛物线的解析式；（2） 设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；（3） AOB与DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。44、第25题图（2009荆门）一开口向上的抛物线与x轴交于A(m2，0)，B(m2，0)两点，记抛物线顶点为C，且ACBC(1)若m为常数，求抛物线的解析式；(2)若m为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？(3)设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得BOD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由45、（2009义乌）如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。 （1）当时，折痕EF的长为；当点E与点A重合时，折痕EF的长为；（2）请写出使四边形EPFD为菱形的的取值范围，并求出当时菱形的边长；（3）令，当点E在AD、点F在BC上时，写出与的函数关系式。当取最大值时，判断EAP与PBF是否相似？若相似，求出的值；若不相似，请说明理由。46、（2009义乌）已知点A、B分别是轴、轴上的动点，点C、D是某个函数图像上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图像的伴侣正方形。例如：如图，正方形ABCD是一次函数y=x+1图像的其中一个伴侣正方形。（1）若某函数是一次函数y=x+1，求它的图像的所有伴侣正方形的边长；（2）若某函数是反比例函数y=kx-1(k0)，他的图像的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m 2）在反比例函数图像上，求m的值及反比例函数解析式；（3）若某函数是二次函数y=ax2+c(a0)，它的图像的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4）.写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标，写出符合题意的其中一条抛物线解析式，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？(本小题只需直接写出答案)（第47题）47、(2009台州)如图，已知直线交坐标轴于A、B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E（1）请直接写出点C、D的坐标； （2）求抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线下滑，直至顶点D落在x轴上时停止设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时D停止，求抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积备用图yxOCDBA33648、(2009南充)如图9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(3,3)（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B(6,m)，求m的值和这个一次函数的解析式；（3）第（2）问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足：3S12S？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由49、（2009丽水）已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P,Q分别从A,C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒.(第24题)(1)填空：菱形ABCD的边长是、面积是、 高BE的长是；(2)探究下列问题：若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时，求APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值； 若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k值，使得APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t=4秒时的情形，并求出k的值.50、（2009宁德）如图，已知抛物线C1：y=a(x+2)2-5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1（1）求P点坐标及a的值；（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；yxAOBPN图2C1C4QEF图（2）（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180后得到抛物线C4抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标yxAOBPM图1C1C2C3图（1）51、（2009益阳）阅读材料：图12-2xCOyABD11 如图12-1，过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：SABC，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题： 如图12-2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求CAB的铅垂高CD及SCAB； (3)是否存在一点P，使SPAB=，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.52、（2009衡阳）如图12，直线y=-x+4与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MCOA于点C，MDOB于D（1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由；（2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为a(0a4)，正方形OCMD与AOB重叠部分的面积为S试求S与a的函数关系式并画出该函数的图象BxyMCDOA图12（1）BxyOA图12（2）BxyOA图12（3）第 16 页 共 16 页