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二次函数总复习

★★★分析二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点：
1.开口方向 2.对称轴 3.顶点 4.与x轴的交点 5.与y轴的交点．
★★求二次函数的三种形式：
1. 一般式：y=ax2+bx+c，（已知三个点）
顶点坐标（－，）
2.顶点式：y=a（x－h）2+k，（已知顶点坐标对称轴）
顶点坐标（h，k）
3. 交点式：y=a(x- x1)(x- x2)，（有交点的情况）
与x轴的两个交点坐标x1，x2
对称轴为
★★★a b c作用分析
│a│的大小决定了开口的宽窄，│a│越大，开口越小，│a│越小，开口越大，
a，b的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y轴，当a，b同号时，对称轴x=－<0，即对称轴在y轴左侧，当a，b异号时，对称轴x=－>0，即对称轴在y轴右侧，（左同右异y轴为0）c的符号决定了抛物线与y轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与y轴交于正半轴；c<0时，与y轴交于负半轴，以上a，b，c的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出．
分块复习：
１. 二次函数解析式及定义型问题(顶点式中考要点)
１.把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是则原二次函数的解析式为　　　　　
２.二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状开口与抛物线y= - 2x2相同，这个函数解析式为________。
３.如果函数是二次函数,则k的值是______
４.（08绍兴）已知点，均在抛物线上，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
★5.抛物线以Y轴为对称轴则。M＝　　　　　
6.二次函数的图象顶点在Y轴负半轴上。且函数值有最小值，则m的取值范围是　　　　
7.抛物线当x　　时，Y随X的增大而增大
★8.已知二次函数，当X取和时函数值相等，当X取+时函数值为
2.一般式交点式中考要点
1.如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3,那么c的值等于（ ）
（A）8 （B）14 （C）8或14 （D）-8或-14

2.二次函数y=x2-(12-k)x+12,当x>1时，y随着x的增大而增大，当x<1时，y随着x的增大而减小，则k的值应取（ ）
（A）12 （B）11 （C）10 （D）9
3.若，则二次函数的图象的顶点在 （ ）
（A）第一象限（B）第二象限
（C）第三象限（D）第四象限
4.不论x为何值,函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值恒大于0的条件是( )
A.a>0,△>0 B.a>0, △<0 C.a<0, △<0 D.a<0, △<0
★5.已知二次函数的图象过原点则a的值为　　　　　　　
6.二次函数关于Y轴的对称图象的解析式为　　　　　　关于X轴的对称图象的解析式为　　　　关于顶点旋转１８０度的图象的解析式为　　　　　　　
7.若抛物线的顶点在轴的下方，则的取值范围是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3.二次函数图象与系数关系+增减性

1.已知y=ax2+bx+c的图象如下，
则：a____0 b___0 c___0 a+b+c____0，
a-b+c__0。2a+b____0b2-4ac___0　4a+2b+c 0
2.二次函数的图象如图所示．
有下列结论：
①；②；
③；④；
⑤当时，等于．
⑥有两个不相等的实数根
⑦有两个不相等的实数根
⑧有两个不相等的实数根
⑨有两个不相等的实数根
其中正确的是（　　　　　　　）
3.（天津市）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，（的实数）其中正确的结论有（ ）。
4.直已知y=ax2+bx+c中a<0，b>0，c<0 ，△<0，函数的图象过　　　　　　象限。
5.若为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
6.在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（　　）
C
A
y
x
O

7.抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，OA=OC，则 （ ）
（A） ac+1=b（B） ab+1=c
（C）bc+1=a （D）以上都不是
8.已知二次函数y=a+bx+c,且a＜0,a-b+c＞0,则一定有（ ）
Ａ　 ＞0 Ｂ＝０　Ｃ＜０　Ｄ≤０
9.（10 四川自贡）y=x2＋（1－a）x＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（ ）。
A．a=5 B．a≥5 C．a＝3 D．a≥3
4.二次函数与方程不等式
1.y=ax2+bx+c中，a<0，抛物线与x轴有两个交点A（2，0）B（-1，0），则ax2+bx+c>0的解是____________; ax2+bx+c<0的解是____________
2.如果抛物线y=x2-mx+5m2与x轴有交点，则m______
3.（大连）右图是二次函数
y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的
图像，观察图像
写出y2≥y1时，x的取值范围_______．

5.形积专题
1.(中考变式）如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D。交Y轴于C
求该抛物线的解析式与△ABC的面积。

2.(08湛江)如图所示，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．
求A、B、C三点的坐标．
过A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．

6.二次函数极值问题
1.二次函数中，，且时，则（ ）
A.B.C.D.

2.（2008年潍坊市）若一次函数的图像过第一、三、四象限,则函数（ ）
A.最大值B..最大值C.最小值D.有最小值
3.若二次函数的值恒为正值, 则 _____.
　A. B.
C. D.
4.函数。当-2<X<4时函数的最大值为

5.若函数，当函数值有最 值为

7.二次函数综合运用

【利润问题】
（2007年贵阳市）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
（1）求平均每天销售量（箱）与销售价（元/箱）之间的函数关系式．（3分）
（2）求该批发商平均每天的销售利润（元）与销售价（元/箱）之间的函数关系式．（3分）
（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？（4分）

【最值问题】
（韶关市）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym².
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？

【动点问题】
1.如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.
（1）求AD的长；
（2）设CP=x，问当x为何值时△PDQ的面积达到最大，并求出最大值；

（3）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由.

2.已知：如图，直角梯形中，，，，(DM/CD=4/5)
(1)求梯形的面积；
(2)点分别是上的动点，点从点出发向点运动，点从点出发向点运动，若两点均以每秒1个单位的速度同时出发，连接．求面积的最大值，并说明此时的位置．

3.如图，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，．
（1）在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求两点的坐标；

（2）如图，若上有一动点（不与重合）自点沿方向向点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为秒（），过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点．求四边形的面积与时间之间的函数关系式；当取何值时，有最大值？最大值是多少？

（3）在（2）的条件下，当为何值时，以为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点的坐标．

【综合运用】
1.已知：二次函数为y=x2－x+m，（1）写出它的图像的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）m为何值时，顶点在x轴上方，（3）若抛物线与y轴交于A，过A作AB∥x轴交抛
物线于另一点B，当S△AOB=4时，求此二次函数的解析式．

2.如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB的宽为20m,如果水位上升3m时,水面CD的宽是10m.
(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式;
(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1小时时,忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行),试问:如果货车按原来速度行驶,能否完全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?

A
3．(浙江义乌市) 如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平
　　行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

4.(河南省实验区)如图，对称轴为直线的抛物线经过点A（6，0）和 B（0，4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（，）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？

B(0,4)
A(6,0)
E
F

O
②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

5、如图，已知抛物线与轴交于两点，在的左侧，坐标为 与轴交于点 的面积为6.
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴与直线相交于点点为轴上一点，当以为顶点的三角形与相似时，请你求出的长度；
A
B
C
D
O
M
x
y
(3)设抛物线的顶点为在线段上方的抛物线上是否存在点 使得是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.

x
y
第6题图

6． 如图，已知抛物线y=ax2+4ax+t（a＞0）交x轴于
A、B两点，交y轴于点C，点B的坐标为（－1，0）.
（1）求此抛物线的对称轴及点A的坐标；
（2）过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，
你能判断四边形ABCP是什么四边形吗？请证明你的结论；
（3）连结AC，BP，若AC⊥BP，试求此抛物线的解析式.

7.如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线
（1） 求点E的坐标；
（2） 求过 A、O、E三点的抛物线解析式；
（3） 若点P是（2）中求出的抛物线AE段上一动点（不与A、E重合），设四边形OAPE的面积为S，求S的最大值。

8.如图,抛物线与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.
(1) 求点A的坐标;
(2) 以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;

9．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，）．［图（2）、图（3）为解答备用图］
（1）　　　　　，点A的坐标为　　　　　　，点B的坐标为　　　　　；
（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在抛物线上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．
图（1）　　　　　　图（2）　　　　　　　　图（3）

作业：
1．将抛物线y=x2－2x向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_______.
2.二次函数有( )
A． 最大值 B． 最小值 C． 最大值 D． 最小值
3. 抛物线y=x2-2x-3的顶点坐标是 .
4.下列函数中,当x>0时y值随x值增大而减小的是（ ）．
A．y = x2 B．y = x－１ C． y = x D．y =
5.下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( )
A．y = (x − 2)2 + 1 B．y = (x + 2)2 + 1 C．y = (x − 2)2 − 3 D．y = (x + 2)2 − 3
6.已知二次函数,当自变量x取m时,对应的函数值大于0,当自变量x分别取m-1,m+1时对应的函数值、,则必值,满足 ( )
A. >0,>0 B. <0,<0 C.<0,>0 D.>0,<0
7.在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是( )

8.已知抛物线与x轴有两个不同的交点．
(1)求c的取值范围；
(2)试确定直线y＝cx+l经过的象限，并说明理由．
(3)抛物线与x轴两交点的距离为2，求c的值．
9.已知一元二次方程的两个实数根、满足和，那么二次函数的图象有可能是（ ）

10.已知函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( )
A. B. C.且 D.且
11. 如图所示，二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．
（1）求m的值；（3分）
（2）求点B的坐标；（3分）
（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0），使S△ABD=S△ABC，求点D的坐标．（4分）

12.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.
（1）求点B的坐标；
（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
A
y
x
O
B
（4）在（2）中x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△AOB分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2 : 3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．