高考三角函数复习专题.doc

三角函数复习专题
一、核心知识点归纳：
★★★1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
函
数
性
质

图象

定义域

值域

最值
当时，；
当
时，．
当时，
；
当
时，．
既无最大值也无最小值
周期性

奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上是增函数；在

上是减函数．
在上是增函数；在
上是减函数．
在
上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴

对称中心

对称轴
对称中心

无对称轴
★★2.正、余弦定理：在中有:
①正弦定理：（为外接圆半径）
注意变形应用
②面积公式：
③余弦定理：
二、方法总结：
1.三角函数恒等变形的基本策略。
（1）注意隐含条件的应用：1＝cos2x＋sin2x。
（2）角的配凑。α＝（α＋β）－β，β＝－等。
（3）升幂与降幂。主要用2倍角的余弦。
（4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。
（5）引入辅助角。asinθ＋bcosθ＝sin(θ＋)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan＝确定。
2.解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

三、例题集锦：
考点一：三角函数的概念
1.（2011年东城区示范校考试文15）如图，设是单位圆和轴正半轴的交点，是
单位圆上的两点，是坐标原点，，．
（1）若，求的值；（2）设函数，求的值域．

2．（2011年西城期末文15）已知函数.（Ⅰ）若点
在角的终边上，求的值； （Ⅱ）若，求的值域.

考点二：三角函数的图象和性质
3.（2011年东城区期末文15）函数部分图象如图所示．（Ⅰ）求的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设，求函数在区间上的最大值和最小值．

考点三、四、五：同角三角函数的关系、 诱导公式、三角恒等变换
4．（2010年海淀期中文16）已知函数.（1）若，求的值；（2）求函数的单调增区间.（3）求函数的对称轴方程和对称中心

5.（2011年丰台区期末文15）已知函数
（），相邻两条对称轴之间的距离等于．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当
时，求函数的最大值和最小值及相应的x值．

6、（2011朝阳二模文15）已知函数 .
（Ⅰ）求函数的最小正周期及函数的单调递增区间；
（Ⅱ）若，，求的值.

7、（2011东城二模问15）（本小题共13分）已知，．
（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函数的值域．

考点六：解三角形
8．（2011年朝阳期末文15）已知△中，.
（Ⅰ）求角的大小；20070316
（Ⅱ）设向量，，求当取最
小值时， 值.

9．（2011年石景山期末文15）已知函数．
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的最大值；（Ⅲ）在中，若，
，求的值．

10、（2011东城一模文15）在△中，角，，的对边分别为，，分，且满足． （Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求△面积的最大值．

11、(2011丰台一模文15). 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2-a2=bc．
（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设函数，当取最大值时，判断△ABC的形状．

12、(2011海淀一模文15). 在中，内角A、B、C所对的边分别为，已知，，且.
(Ⅰ)求； (Ⅱ)求的面积.

13、（2011石景山一模文15）．
在中，角，，所对应的边分别为，，，且．
（Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）求的最大值．

例题集锦答案：
1.（2011年东城区示范校考试理15）如图，设是单位圆和轴正半轴的交点，是
单位圆上的两点，是坐标原点，，．
（1）若，求的值；（2）设函数，求的值域．
★★单位圆中的三角函数定义
解：（Ⅰ）由已知可得……………2分
………3分
…………4分
（Ⅱ） ………6分
………………7分
………………8分
………9分
…………12分
的值域是………………………………13分
2．（2011年西城期末理15）已知函数.（Ⅰ）若点
在角的终边上，求的值； （Ⅱ）若，求的值域.
★★三角函数一般定义
解：（Ⅰ）因为点在角的终边上，
所以，， ………………2分
所以 ………………4分
. ………………5分
（Ⅱ） ………………6分
， ………………8分
因为，所以， ………………10分
所以， ………………11分
所以的值域是. ………………13分
3.（2011年东城区期末理15）函数部分图象如图所示．（Ⅰ）求的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设，求函数在区间上的最大值和最小值．
解：（Ⅰ）由图可得，，
所以． ……2分
所以．
当时，，可得 ，
因为，所以． ……5分
所以的解析式为． ………6分
（Ⅱ）
． ……10分
因为，所以．
当，即时，有最大值，最大值为；
当，即时，有最小值，最小值为．……13分
相邻平衡点（最值点）横坐标的差等； ； ;φ----代点法
4．（2010年海淀期中文16）已知函数.（1）若，求的值；（2）求函数的单调增区间.（3）求函数的对称轴方程和对称中心
解：（1） ...3分（只写对一个公式给2分）
....5分
由，可得 ......7分
所以 ......8分 .......9分
（2）当，换元法 ..11
即时，单调递增.
所以，函数的单调增区间是 ... 13分
5.（2011年丰台区期末理15）已知函数
（），相邻两条对称轴之间的距离等于．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当
时，求函数的最大值和最小值及相应的x值．
解：（Ⅰ）． 意义 ……4分
因为 ，所以 ，． ……6分
所以 ．所以 ………7分
（Ⅱ）
当 时， ， 无范围讨论扣分
所以 当，即时，， …10分
当，即时，． ………13分
6、（2011朝阳二模理15）已知函数 .
（Ⅰ）求函数的最小正周期及函数的单调递增区间；
（Ⅱ）若，，求的值.
解: ……………………………………1分
……………………………………2分
. 和差角公式逆用 ………………3分
（Ⅰ）函数的最小正周期. ……………………………………5分
令， ……………………………………6分
所以. 即.
所以，函数的单调递增区间为 . ……………8分
（Ⅱ）解法一：由已知得， …………………9分
两边平方，得 同角关系式 所以 …………11分
因为，所以.
所以. ……………………………………13分
解法二：因为，所以. …………………………9分
又因为，
得 . ……………………………………10分
所以. ……………………………………11分
所以，
. 诱导公式的运用
7、（2011东城二模理15）（本小题共13分）已知，．
（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函数的值域．
解：（Ⅰ）因为，且，
所以，．
角的变换因为
． 所以． ………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．
所以此结构转化为二次函数值域问题
，．
因为，所以，当时，取最大值；
当时，取最小值．
所以函数的值域为．

8．（2011年朝阳期末理15）已知△中，.
（Ⅰ）求角的大小；20070316
（Ⅱ）设向量，，求当取最
小值时， 值.
解：（Ⅰ）因为， 和差角公式逆用
所以. ……… 3分
因为，所以.所以. ……… 5分
因为，所以. …………7分
（Ⅱ）因为， ………………… 8分
所以. …10分
所以当时，取得最小值.
此时（），于是. 同角关系或三角函数定义……12分
所以. …………… 13分
9．（2011年石景山期末理15）已知函数．
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的最大值；（Ⅲ）在中，若，
，求的值．
解：（Ⅰ）． 4分
（Ⅱ）
． …6分
， ．
当时，即时，的最大值为．…8分
（Ⅲ），
若是三角形的内角，则，∴．
令，得
，此处两解
解得或． ……10分
由已知，是△的内角，且，
∴，，
∴． …11分
又由正弦定理，得． ……13分
10、（2011东城一模理15）（本小题共13分）
在△中，角，，的对边分别为，，分，且满足．
（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求△面积的最大值．
解：（Ⅰ）因为，
所以
由正弦定理，得．边化角
整理得．
所以．
在△中，． 所以，．
（Ⅱ）由余弦定理，．
所以 均值定理在三角中的应用
所以，当且仅当时取“=” ． 取等条件别忘
所以三角形的面积．
所以三角形面积的最大值为． ……………………13分
11、(2011丰台一模理15). 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2-a2=bc．
（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设函数，当取最大值时，判断△ABC的形状．
解：（Ⅰ）在△ABC中，因为b2+c2-a2=bc，由余弦定理 a2= b2+c2-2bccosA
可得cosA=．(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分) ……3分
∵ 0<A<π ， （或写成A是三角形内角） ……………………4分
∴． ……………………5分
（Ⅱ） …7分
， ……9分
∵ ∴ ∴ （没讨论，扣1分）…10分
∴当，即时，有最大值是． …11分
又∵， ∴ ∴△ABC为等边三角形． ……13分
12、(2011海淀一模理15). （本小题共13分）
在中，内角A、B、C所对的边分别为，已知，，且.
(Ⅰ)求； (Ⅱ)求的面积.
解：（I）因为，,, …………………1分
代入得到， . …………………3分
因为 , …………………4分
所以. 角关系 ………5分
（II）因为，由（I）结论可得： . …………………7分
因为，所以 . …………8分
所以. …………9分
由得， …………………11分
所以的面积为：. ………………13分
13、（2011石景山一模理15）．
在中，角，，所对应的边分别为，，，且．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的最大值．
解：（Ⅰ）∵ 、、为三角形的内角， ∴ ．
∵ ， 三角形中角的大小关系
∴ ． …………2分
∴ ．即 ． ……4分
∴ ． 又∵　 ， ∴ ． …7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ．∴ 角度变换
．…10分
∵ ，∴ ．
∴ 当，即 时，取得最大值为．…………13分

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