1、2.8 2.8 有理数域上多项式有理数域上多项式 有理数域上多项式简称有理系有理数域上多项式简称有理系数多项式数多项式.本节我们讨论有理系数本节我们讨论有理系数多项式可约性以及有理系数多项式多项式可约性以及有理系数多项式有理根求法有理根求法.1/13 一、有理系数多项式可约性一、有理系数多项式可约性 引理引理2.16（高斯高斯(Gauss)引理）引理）两个本原多项两个本原多项式乘积仍是本原多项式式乘积仍是本原多项式.2/133/13定理定理2.17（艾森施艾森施坦因坦因（Eisenstein）判别法判别法）设设 是一个整系数多项式是一个整系数多项式.假如有一个素数假如有一个素数 使得使得则则
2、在有理数域上不可约在有理数域上不可约 推论推论2.172.17 有理数域上有理数域上存在任意次存在任意次不可约多项式不可约多项式.4/13 Eisenstein判别法是判断不可约充分条件，而判别法是判断不可约充分条件，而 非必要条件非必要条件注意：注意：也就是说，假如一个整系数多项式也就是说，假如一个整系数多项式不满足不满足Eisenstein判别法条件，则它可能是可约，判别法条件，则它可能是可约，也可能是不可约也可能是不可约 有些整系数多项式有些整系数多项式 不能直接用不能直接用Eisenstein判别法来判断其是否可约，此时可考虑用适当判别法来判断其是否可约，此时可考虑用适当代换代换 使使
3、 满足满足Eisenstein判别法条件，从而来判定原多项判别法条件，从而来判定原多项式不可约式不可约5/136/137/13对于一些整系数多项式来说，作适当线性代换后对于一些整系数多项式来说，作适当线性代换后再用再用Eisenstein判别法判定它是否可约是个可行判别法判定它是否可约是个可行多项式不论作怎样代换都不能多项式不论作怎样代换都不能 使使 满足满足Eisenstein判别法条件（其中判别法条件（其中 说明说明：方法，但未必总是凑效也就是说，存在方法，但未必总是凑效也就是说，存在 都是整数，都是整数，8/13 二、有理系数多项式有理根求法二、有理系数多项式有理根求法9/13定理定理2.19 设设是一个整系数多项式是一个整系数多项式.假如有理数假如有理数 是是一个根，一个根，这这里里u，v是互素整数，是互素整数，则则（i）推论推论2.19.1 设设(i)(ii)(ii)10/13 推推论论2.19.2 最高次最高次项项系数系数为为1整系数多整系数多项项式式有理根一定是整数，而且是常数有理根一定是整数，而且是常数项项因数因数.分析：分析：1.先找出先找出 f(x)全部可能有理根；全部可能有理根；2.利用利用综综合除法合除法检验检验哪个是哪个是f(x)根根.假如假如f(x)次数不高，也可直接代入多次数不高，也可直接代入多项项式式进进行行检验检验.11/1312/1313/13
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