半导体电导有效质量的各向同性问题探究.pdf

第卷第期大学物理 年月收稿日期：；修回日期：基金项目：国家自然科学基金（）资助作者简介：许杰（），男，江苏无锡人，南京邮电大学副教授，博士，主要从事半导体物理教学以及微纳电子器件相关的研究工作：櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍殻殻殻殻教学研究半导体电导有效质量的各向同性问题探究许杰（南京邮电大学 集成电路科学与工程学院，江苏 南京）摘要：本文利用多元函数微积分和张量分析手段，给出了三维空间中等能面非球面时半导体电子有效质量的表达式，进而讨论了硅和锗等半导体中电导有效质量的各向同性问题对这一问题的探讨有助于促进学生理解半导体能带结构及其对导电性的影响关键词：半导体；有效质量；导电性；各向同性中图分类号：文献标识码：文章编号：（）【】电子有效质量是半导体物理的一个重要概念，它概括了晶格势场对电子运动的影响，使得在外力作用下电子的运动规律符合牛顿第二定律的形式，特别地，在外电场作用下，电子作定向漂移运动形成电流，其有效质量将影响半导体的导电性在四探针法测量半导体电阻率等导电性测试中，通常默认电导率沿各方向是相同的，即假定半导体电导有效质量是各向同性的但考虑到半导体硅和锗在倒空间的等能面并非球面，其电导有效质量是否具有各向同性实际上并非显而易见，而标准教科书也未对这一问题进行深入讨论，本文试图从半导体能带结构出发，利用多元函数微积分和张量分析手段，来探讨半导体电导有效质量的各向同性问题对这一问题的讨论有助于促进学生理解半导体三维能带结构及其对导电性的影响，提高对半导体物理的学习兴趣能带结构与有效质量半导体中的电子具有波粒二象性，其粒子性由能量和动量描述，而波动性由频率和波矢描述，且具有如下联系：，（）其中为约化普朗克常量在半导体物理中，采用关系描述的能带结构将决定电子（可看作波包）的运动速度，速度的分量形式为（）其中下标可取、或方向在能量极值点附近（为便于讨论，不妨假设极值点位于空间原点），利用泰勒公式将关系展开至二阶项，同时注意极值点处一阶导数为，可得（）（），（）其中（）为能量极值，求和指标、取遍、和方向（下同），的定义为Co （）分别对公式（）和（）求关于时间的全导数，可得到外力和加速度，其分量形式为（）（）再利用多元函数全微分公式，结合公式（）、（）可得（）将公式（）代入公式（），并结合公式（），将得到能带极值点附近电子的运动规律如下：大学物理第卷（）这是牛顿第二定律的张量形式，其中是对称的二阶张量，描述电子的倒易有效质量在外电场作用下，半导体中电子将作漂移运动，形成传导电流当半导体能带具有对称的多能谷结构时，电子处于各能谷的概率相等，电场对电子漂移运动和导电性的影响应考虑所有能谷的影响，这时电流密度和电场之间将满足如下关系：（）其中为电子浓度，为电子电荷量，为两次散射的平均间隔时间，为各能谷倒易有效质量的平均值，即倒易电导有效质量若张量是对角元相等的对角矩阵，则导电性将具有各向同性的特点导带电子电导有效质量硅如图（）所示，硅导带底部附近等能面为沿着方向的个旋转椭球面以方向为例，等能面方程为（）py（）其中和为极值点处能量和波矢值，和分别为长轴和短轴有效质量根据公式（），该能谷处电子的倒易有效质量为 （）rigghrgighriiihrggihrgighrggihrigght(tct)t)t)tc t(t(tc20-B2e-B图硅和锗的导带等能面示意图同理可得和方向能谷处倒易有效质量，（）因此，硅导带电子的倒易电导有效质量为（）可见它的确是各向同性的进而，由公式（）给出的导电性也具有各向同性的特点锗锗导带底部附近等能面为沿着方向的个旋转椭球面，其中一半位于第一布里渊区内，极值点位于布里渊区边界处图（）给出了第一布里渊区内沿着方向的半个旋转椭球，在图中坐标系下，该椭球面仍具有公式（）的形式，则倒易有效质量仍具有公式（）的形式（但锗、硅的和取值不同）利用正交变换，可进一步求出在坐标系下该等能面对应的有效质量为（）其中槡槡槡槡槡槡槡槡为坐标系到坐标系的正交变换矩阵另外个对称方向的旋转椭球坐标系到坐标系的变换矩阵分别为槡槡槡槡槡槡槡槡，槡槡槡槡槡槡槡槡槡槡槡槡槡槡槡槡（）因此，锗导带电子的倒易电导有效质量为 （）这一结果与公式（）相同，也是各向同性的（下转页）大学物理第卷 ，：；（上接页）价带空穴电导有效质量另一方面，硅和锗的价带顶部位于空间原点处，能量极值点附近的等能面具有如下形式：（槡）（）其中为自由电子质量，、和为常数，号对应重空穴和轻空穴两个能带由于价带顶部附近空穴与电子的有效质量互为相反数，不难推导，此处轻、重空穴的平均倒易有效质量也是各向同性的但轻、重空穴能带的态密度并不相同，因此，倒易电导有效质量应取轻、重空穴有效质量的加权平均值，在理论上并不满足各向同性综上所述，三维空间中半导体载流子的倒易有效质量是一个二阶张量，当存在对称的等能面时，倒易电导有效质量为各等能面倒易有效质量的平均值通过研究半导体硅和锗的能带结构发现，它们的导带电子电导有效质量具有各向同性的特点，而由于价带两个等能面并不对称，空穴电导有效质量在理论上不具有各向同性通过对这一问题的探究有助于学生深入理解半导体能带结构和有效质量，同时领会对称性分析的重要作用参考文献：刘恩科，朱秉升，罗晋生半导体物理学版北京：电子工业出版社，：叶良修半导体物理学版北京：高等教育出版社，：施敏，伍国钰半导体器件物理耿丽等，译西安：西安交通大学出版社，：，：桑芝芳，陈鸿莉，高雷各向异性介质中群速度的讨论大学物理，（）：，：，（）：马遥，庞蜜半导体中电子回旋共振有效质量的量子理论推导大学物理，（）：（，）：，：；