求解一类非线性抛物型方程的局部一维化方法-毕业设计（论文）.pdf

硕士学位论文求解一类非线性抛物型方程的局部一 维化方法Locally one-dimensional methods for solving a class of nonlinear parabolic equations：万方数据大连理工大学硕士学位论文摘 要偏微分方程数值解的理论和方法是计算数学研究领域中非常具有挑战性的课题，随 着计算机技术的日益发展，通过数值计算求解实际物理过程中的数学模型，越来越成为 国内外科研发展的前沿。而抛物型方程作为一类重要的偏微分方程，其理论研究和解法 近年来逐渐趋于成熟，这使得其在各大学科领域的研究和应用更为广泛。目前求解此类 方程，常采用有限差分法进行离散，由于其简单直观、易于操作等优点，在众多方法中 占有十分关键的地位。其中，显格式计算方便且容易实现，但精度低且不能保证稳定性；隐格式虽与显格式相比稳定性更好，但在实际数值模拟过程中，往往需要计算高维或非 线性方程，其在处理高维问题时导致计算量较大。本文主要考虑如下的非线性抛物型方程(组)：Qu=V(o(x,y,z,/,u)VM)4/(x,z,/,M),x,y,z e Q,/0 ut对于此方程(组)的初边值问题，在多数情况下解决的是的情形，即a与 无关，但在本文主要讨论a=。(口)的情形，即a与u相关。本文主要采用由Dya konov和 Ya nenk。提出的局部一维化方法(简称LOD),此方法主要用于求解高维方程，但由于 非线性问题的固有特性，非线性项难以处理且其过渡层的值是难以确定的，使得求解过 程困难，即使给出一些简化方法，计算精度也会受到影响。针对上述的一系列问题，本 文在已有的LOD方法的基础上进行改造，提出了对于非线性项的两种处理方法，相比以往文献中所给的方法，本文所构造出的差分格式具有计算量较少，误差易于掌握，程序不难实现等优点。文章的主要内容安排如下：第一部分，介绍非线性抛物型方程的研究背景及意义，以及现有的求解此类方程的 理论和方法。第二部分，介绍一些关于几种差分格式的相关内容。第三部分，介绍局部 一维化格式，给出了其离散过程，并针对线性抛物型方程进行了截断误差与稳定性分析,数值计算的结果也表明了方法的有效性。第四部分，介绍针对非线性抛物型方程的非线 性项。()的两种处理方法，此部分是对上一部分的结果做了进一步的改进，并给出两组 数值实验。最后，给出总结与展望。关键词：三维非线性抛物方程；非线性项；有限差分；局部一维格式；误差估计万方数据求解一类非线性抛物型方程的局部一维化方法Loca lly one-di mensi ona l meth ods for solvi ng a cla ss of nonli nea r pa ra boli c equa ti onsAbstractIn th e resea rch fi eld of computa ti ona l ma th ema ti cs,th e th eory a nd meth od of numeri ca l soluti on of PDE i s a very ch a lleng i ng ta sk.Wi th th e i ncrea si ng development of computer tech nolog y,people use numeri ca l computa ti on to solve ma th ema ti ca l model i n th e a ctua l ph ysi ca l process,a nd i t h a s i ncrea si ng ly become th e forefront of th e resea rch a nd development a t h ome a nd a broa d.Pa ra boli c equa ti ons a re a n i mporta nt cla ss of pa rti a l di fferenti a l equa ti ons,a nd th ei r th eoreti ca l study a nd soluti on a re well studi ed i n recent yea rs,wh i ch ma ke th ei r resea rch a nd a ppli ca ti on more wi dely i n th e ma jor subject a rea s.At present,th e fi ni te di fference meth od(F DM)i s usua lly used to solve th ese equa ti ons.Beca use of i ts si mple a nd i ntui ti ve opera ti on,th e F DM pla ys a very i mporta nt role i n ma ny meth ods.Among th em,th e expli ci t sch eme i s ea sy to i mplement,but i t often h a s low preci si on a nd poor sta bi li ty.Th e sta bi li ty of th e i mpli ci t sch eme i s better th a n th a t of expli ci t sch eme,but i n th e a ctua l numeri ca l si mula ti on process,i t i s often requi red to ca lcula te h i g h di mensi ona l or nonli nea r equa ti ons,wh i ch lea ds to a la rg e a mount of computa ti on wh en dea li ng wi th h i g h di mensi ona l problems.In th i s pa per,loca lly one-di mensi ona l meth ods a re consi dered for solvi ng th e followi ng nonli nea r pa ra boli c equa ti ons=V(a(x,y,z J,u)V u)+f(x,y,z,t,u),x,y,zeQ,t0.dtIn th ese equa ti ons,th e i ni ti a l bounda ry va lue problem i s ma i nly di scussed.F or th e a bove problems,i n most ca ses,people work on th e si mple ca se a h a(u).Th a t i s,th e a h a s noth i ng to do wi th u.But now we a re g oi ng to di scuss th e ca se a=a(u).Th i s pa per a ppli es th e tech ni que of loca lly one-di mensi ona l(a bbrevi a ted a s LOD)meth od proposed by Dya konov a nd Ya nenko.Th i s meth od i s pri ma ri ly used to solve h i g h di mensi ona l equa ti ons.However,due to th e i nh erent ch a ra cteri sti cs of nonli nea r problems,th e nonli nea r term i s di ffi cult to h a ndle a nd i t i s di ffi cult to determi ne th e va lue of th e buffer la yer,so th e process i s h a rd to solve.Even th oug h some si mpli fi ed meth ods a re g i ven,th e ca lcula ti on a ccura cy i s a lso a ffected.F ocusi ng on a seri es of questi ons for th e a bove problems,on th e ba si s of th e exi sti ng LOD meth od,th i s pa per sug g ests to use two meth ods to dea l wi th nonli nea r terms a(u).Compa red wi th th e meth ods g i ven i n th e previ ous li tera ture,th e di fference-II-万方数据大连理工大学硕士学位论文sch eme constructed i n th i s pa per h a s th e a dva nta g es of less computa ti on,ea sy to g ra sp a nd ea sy to i mplement a nd so on.Th e ma i n works of th e th esi s a re a rra ng ed a s follows:Th e fi rst ch a pte r i ntroduces th e resea rch ba ckg round a nd si g ni fi ca nce of th e nonli nea r pa ra boli c equa ti on,a s well a s th e exi sti ng th eory a nd meth od for solvi ng th i s ki nd of nonli nea r pa ra boli c equa ti ons.In Ch a pter 2,some rela ted contents of severa l di fferent sch emes a re i ntroduced.Ch a pter 3 descri bes th e loca lly one-di mensi on forma t a nd g i ves i ts di screte process.Th e trunca ti on error a nd sta bi li ty a na lysi s of li nea r pa ra boli c equa ti ons a re a lso ca rri ed out.And i ts effecti veness i s sh owed i n th e numeri ca l experi ment results.In Ch a pter 4,two processi ng meth ods for nonli nea r pa ra boli c equa ti ons a re i ntroduced.Th i s ch a pte r ma kes a furth er i mprove ment for th e result of th e la st ch a pter,a nd two sets of numeri ca l experi ments a re a lso g i ven i n th i s pa rt.F i na lly,a summa ry ch a pter i s g i ven.Key Words：3-D nonli nea r pa ra boli c equa ti on;nonli nea r term;fi ni te di fference sch eme;loca lly one-di mensi ona l sch eme;error esti ma ti on-i n-万方数据求解一类非线性抛物型方程的局部一维化方法目 录摘 要.IAbstra ct.II1绪论.11.1 非线性抛物型方程研尢背景及意义.11.2 非线性抛物型方程国内外研究现状.313 本文主要的研究内容.42传统有限差分格式.62.1 引言.62.2 古典显式差分格式.62.3 古典隐式差分格式.82.4 Cra nk-Ni ch olson 隐式差分格式.92.5 本章小结.113线性抛物型方程的局部一维化方法.123.1 引言.123.2 差分格式的建立.123.3 收敛性分析.133.4 数值实验.153.5 本章小结.174非线性抛物型方程的局部一维化方法.184.1 引言.184.2 一维非线性抛物型方程差分格式的建立.184.3 三维非线性抛物型方程差分格式的建立.224.4 数值实验.294.5 本章小结.31结 论.32参考文献.33攻读硕士学位期间发表学术论文情况.36致 谢.37大连理工大学学位论文版权使用授权书.38-IV-万方数据大连理工大学硕士学位论文1绪论偏微分方程数值解的理论和方法是计算数学研究领域中非常具有挑战性的课题，很 多实际问题都可以转化为此类方程的数学模型。本章主要介绍非线性抛物型方程发展背 景及意义，同时介绍了偏微分方程的一些基础知识和相关性质，阐述了抛物型方程的定 义和性质，并对本文的研究内容做了大致的介绍。1.1非线性抛物型方程研究背景及意义随着科技进步和社会发展，大量复杂的计算问题不断出现在人们面前，而数值计算 方法的出现，解决了一系列复杂的计算问题。如然科学与实际工程中的很多运动发展轨 迹与平衡现象等，都可以转化为数学模型，用偏微分方程来描述【I】。微积分理论的成立，极大地推动了计算数学的发展，偏微分方程被人们用作描述、说明、预测各种自然界的现象和本质，而后人们将研究方法与成果应用于各个研究领域,成效卓著，展现了偏微分方程在人类认识自然界奥秘中的巨大作用。求解以自然科学中的实际应用问题为背景的数学模型的算法，成为计算数学的重要 研究方向，它连接着许多自然现象和实际工程问题，不断地给人们提出新的课题和方法,并被广泛应用于数学的各个分支，促进其发展的同时又引入若干处理问题的有效工具。至此，近年来偏微分方程己经占据数学学科中的重要地位，成为一座连接数学学科各大 分支和其它领域之间的重要桥梁。定义1.产设自变量为小再，,x.(A2),未知函数为“=马,天),则表示为关于的偏微分方程。对”=”力,天,天)及其各阶偏导致的全体都是线性的，则称之为线性的，反之称为 非线性的。例如对于下面的线性偏微分方程工与&门户+丑方/不广力善+仪不丹川二/区,X“)(1.2)M dx,dxJ 片 因当为血,c均为常数时，此时称之为常系数的，反之称为变系数的；当/三0时，此 时称之为齐次方程，反之称为非齐次。对于非线性情况，形如下面方程：万方数据求解一类非线性抛物型方程的局部一维化方法6,加 加、d2u.duM 弼 况 四为 曲,X.)(1.3)当最高阶微分表现为线性形式，此时称之为拟线性的；当最高阶微分不是线性形式,称方程为完全非线性的。由定义可以看出，大多数情况下，偏微分方程的解析解，很难以一个精确表达式来 给出，即使给出也无法保证误差性，对于非线性情况下处理的难度更大。因此，通常以 数值计算的方法得到其近似解。近半个世纪，偏微分方程数值解的理论研究和解法逐渐趋于成熟，这使得其在各大 学科领域的研究和应用更为广泛。定义1.2二阶线性方程弋 d2u 3,du,其中=1,n),c及/是维空间(玉,x”)的某区域C中的函数,为=不同时为零，且不失一般性，可设%=%。引入二次型。(=Z ajp(1.4)(1.5)取Q中一点p(x；,曜)，则(1)若其在点p处正定或负定，则称在点p处为椭圆型方程。若Q中处处为椭圆 型，则我们称方程是椭圆型；(2)若其在点p为退化，其有同号的特征值且只有一个特征值为0,则称在点p处 为抛物型方程。若C中处处满足，则我们称方程是抛物型；(3)若其在点p不退化，又不为正(负)定，且有-1个特征值同号，则称方程 在点为双曲型，若方程在C中的每一点都为双曲型，称方程在区域Q中为双曲型。诸如石油开采、核污染、统计物理、声热同传现象、生物种群演化模型、水文地质 制图等问题模型的研究，很多情况下，都可转化为抛物型的数学模型，且由于其复杂的 关系描述，大部分情形下都是#线性的MJ。因此，对此方向的研究，具有非常深刻的价 值。例如抛物型方程的几个经典实例有：扩散方程-2-万方数据大连理工大学硕士学位论文如=口（。/+S（1.6）dt其中8=3（、,丁/,1）代表扩散场（时亥打在（x,y,z）上的分子浓度）；。为扩散系数，S为扩散函数。热传导方程Cp=(kVT)-q dt(1.7)其中。代表比热，T=T（x,y,z J）代表温度，左为热传导系数，夕为热源函数。薛定渭方程讪生=-七50科+Ve（1.8）其中为代表普朗克常数，机为质量，/为位势，。为波函数。1.2 非线性抛物型方程国内外研究现状迄今为止关于非线性抛物型方程，沈隆钧、周毓麟、袁光伟、ASKa la sh ni kov等人，在理论研究方面得到了极具价值的优秀成果g山。在数值分析研究方面以J.Doug la sl2!等为代表，提出并探究了方程的解（经典解、广义解、数值解等）。在进行计算的过程 中，对于求解非线性抛物型方程时，仅个别情形下可以方便地求得其精确解（且往往难 以保证求得解的精度与稳定性），一般来说，当所求方程比较复杂，或其精确解不能或 难于求得，这样代替改为应用数值计算来求得定解问题的数值解，于是就有了数值计算 理论与应用。通常情况下，好的数值计算方法，对近似计算要保证误差性和稳定性，要 有好的计算复杂性（时间、空间、逻辑等），以便行之有效地模拟实际应用问题。对于 两种最常用的离散方法：有限差分法的优点是简单直观，主要应用于有结构网格；有限 元法的优点是可处理复杂问题，常见于结构力学、流体力学等数值模拟。目前差分的构造有很多形式，但主体思想绝大部分是在微分方程中用网格节点处的 差商代替偏导数，离散后可得出相应的差分方程，而后对其求解，得到原方程解的近似 值。国际上对非线性抛物型方程的有限差分法进行离散求解，在20世纪70年代以前只 有个别学者的少数论文发表，70年代以来，计算机性能快速进步，计算成本的逐步降低 大大增进了此问题的深度和广度。而与此同时高级语言种类进一步增加并得到发展，很 万方数据求解一类非线性抛物型方程的局部一维化方法大程度上解决了高阶格式程序化的不可行问题。1971年Doug la s】提出了交替方向法，至此对抛物型领域开始有了系统的研究。80年代以来，世界范围内的计算机性能与网络技术飞速发展，为差分方法与应用，提供了强有力的实现途径，促进了其迅速发展。Hei nri ch B，在1987年提出了非均匀 网格上有限差分方法的相关理论。而解决非线性抛物型问题的有限元法，一般情况下是空间以有限元法进行离散，时 间以有限差分法进行离散，并在相异时刻应用统一网格。但在实际应用过程中，我们往 往对不同时刻的空间区域应用相异的网格。Bonner.R和Ja me tP在1974年分析了解 决此类方程的变网格F EM；袁益让等【引于1986年在油水两相渗流问题中，将其构造 为数学模型(转化为退化的非线性抛物型问题)，采用变网格F EM进行求解。1.3 本文主要的研究内容本文首先用Cra nk-Ni ch olson格式的思想构造LOD格式，将其用于解决一般线性 抛物型问题，之后对其进行推广与改造，提出了针对非线性抛物问题的非线性项的两种 处理方法，应用于求解如下非线性抛物型方程：du-=V(a(x,z,r,u)Vu)+/(x,y,z,t,u)otu(x,y,z,0)=(p(x,y)(L9)”(0,y,z,t)=u(l,y,z,t)=u(x,0,z,t)=u(x,y,0,/)=ux,y,l,t)=0其中4(”)及/()是已知函数，满足Li psch i tz条件且满足本文所需光滑性，且 0/8。本文在区域C=(0,/)x(0,/)x(0,/)上进行讨论。对所构造的LOD格式，给出了误差分析，在第三章和第四章末分别给出了数值算 例。本文所做的主要工作有：(1)针对上面给出的问题，对于非线性项的两种处理方法，构造出两种改进的局 部一维化格式，并分别用它们进行数值计算，给出了误差与稳定性分析，通过给出的数 值实验，验证了格式的有效性。(2)在局部一维化格式的构造中，本文对适用于线性的格式进行了改造与推广。如果采用以往文献中的传统差分或有限元法，会使得非线性问题过于复杂且不易计算，从而影响数值结果的精度。因此我们针对以上问题，根据所考虑的方程的固有非线性特 万方数据大连理工大学硕士学位论文性，提出了对非线性项的两种处理方法。而针对非线性项的第二种处理方法，是在第一 种的基础上保证了精度。本文主要内容分为四个部分。第一章，介绍非线性抛物型方程研究背景和现实意义。第二章，介绍了三种常用的差分格式，讨论了差分方程的构造方法，并讨论了其稳 定性、收敛性等基本问题。第三章，介绍局部一维化格式，给出了其离散过程，并针对线性抛物型方程进行了 截断误差与稳定性分析。第四章，介绍针对此类方程中非线性项a Q）的两种处理方法，分析其误差性，给出 两组数值实验。最后，给出了总结与展望。万方数据求解一类非线性抛物型方程的局部一维化方法2传统有限差分格式2.1引言求解抛物型方程的差分格式有很多，本文介绍几种最基础的格式。首先考虑最简单的一维方程:六小八%du d2u,0 xl,0r 0 x 0(x,0)=%(x)0其中or0(2.1)(2.2)如果方程(2.1)中取/=(，此时被定义为常系数，即可写作:du d2u/、Cu(x,O)=(p(x)W(O,r)=M(l,/)=O(2.3)其中Q=(xj)Oxl,Or o下面来对于方程(2.3),推导几种差分格式的构造过程吐2叫并讨论其误差性、稳定 性等基本问题。2.2古典显式差分格式由=公有+,=e xp(K=1+左比+；好(比y+*(2.4)且有-6-万方数据大连理工大学硕士学位论文。城-京+京一)(2.5)则可得C=1+rb；(2.6)其中=城为步长比。在上式中，不妨只取二阶中心差分，且设U二为差分方程解在结点(加九球)上的值,则。7=。+喈)。:(2.7)代入B的表达式，则得差分方程。丁=心+。-沈+川3(2.8)此时称上式为古典显格式。古典显格式可由下图表示。隼,m,n+lO-o-Om-1 再 m,n m+l,n图2.1古典显格式示意图F i g.2.1 Sch ema ti c di a g ra m of cla ssi ca l expli ci t sch eme定理2.1风 格式(2.8)的截断误差为0+力)。定理2.2 格式(2.8)稳定的充要条件是2此时的稳定性分析，可通过下面的例子来加以说明：例4.1考虑以下方程：du d2u=M(2.9)利用F ouri e r方法进行稳定性分析，则条件应该是：mJ 亦;(2.10)一 7-万方数据求解一类非线性抛物型方程的局部一维化方法再比如，考虑以下方程：黑嵩山”K(ID那么显式的稳定性条件为心胃弓(2.12)由上面不难看出，要使得格式稳定，所满足条件不但依赖于差分格式的步长和引，也还依赖于/,使满足条件的时间步长很小，正因如此，大多数情形下对稳定性的限 定相对严格出)。2.3古典隐式差分格式仍考虑一维抛物型方程(2.1)。由=e xp(MM.可以得到下式exp(皿)丁7保留二阶导数项，且以发替代则得差分格式(1一评)次=4或一心盘+(1+2四丁一郎二：；=%.此时称上式为古典隐格式，可由下图表示。(2.13)(2.14)(2.15)(2.16)-8-万方数据大连理工大学硕士学位论文-m-l,n+lm,n4-lm+l,n+lOm,i i图2.2古典隐格式示意图F i g.2.2 Sch ema ti c di a g ra m of cla ssi ca l i mpli ci t sch eme定理2.3格式(2.16)的截断误差为O(r+/?)。定理2.4闻 格式(2.16)是无条件稳定的。2.4 Cra nk-Ni ch olson隐式差分格式讨论如下抛物型方程问题:”(x,y,O)=0(x,y)u(Q,y,t)=u(l,y,t)=i/(x,0,t)=u(x,l,t)=0下面介绍C-N差分格式的构造过程。考虑如下两个Ta ylor公式u(t+h)=u(t)+ut)h+0(“向)u(t-h)=u(t)-u(1)力+(/)/z2-h3n由上式可得exp(-；=exp(；U)或“由L=a+Dj(2.17)(2.18i)(2.18i i)(2.19)(2.20)可以得到-9-万方数据求解一类非线性抛物型方程的局部一维化方法”料一婀+沿财)2+符码了=1+；肛+；也;+；(权叱)2+，3。；)2+.小(22)对于上式，两边仅保留第一项和第二项，且令系：=a(2.22)则可得差分格式(1-;-;啕)噌=(1+1：+即心 a)上式称为Cra nk-Ni colson隐式格式。也可写为(1+2力?。二+U；+见1(2.24)=(1-2 叩:+小%+Ut+U：+5+由于其包括6个结点，因此也可称为六点差分格式，可由下图表示。图2.3 C-N隐格式示意图F i g.2.3 Sch ema ti c di a g ra m of C-N i mpli ci t sch eme定理2.5 格式(2.23)的截断误差为。+配)。格式(2.23)的矩阵形式为：An=Bnm+en,n=0,l.N-lU=(p(2.25)-10-万方数据大连理工大学硕士学位论文显然，存在常数K使得CYKOWq即为稳定性条件。引理2.1 格式(2.23)稳定的必要条件是存在与k无关%,使。=%-咕的语半径满 足p(C)0。针对此问题的定义域，用平行线x=%=帚,y=y=jh z=Za=A/?,构建网格，其中i,_/,k=QL,N。这样，将C=(O,/)x(O,Z)x(V)剖分成了 N3个小块，同时记可人为节点上 的差分解。3.2 差分格式的建立对(3.1)式中的抛物型方程离散，得到求解三维抛物方程的LOD格式如下磔-2%踪丛修岑(曙+呱)三浮二 E(曙+“/)(3.2)货W系网:+瞋)其中 Tw=0,l,-5-l(3.3)=,N-l此时-12-万方数据大连理工大学硕士学位论文(3.4)C2 m _ U：j,k+l-2u；k+,*_-记=百，则可将原来方程写为如下形式:(3.5)(3.6)或可写为：(l+r)3-lr(C；J 4-；)=(1+,)味+$(%+&,)(1+r)曙 3-+唠;)=(1+,)咪+*(喘，喘;)(1+)限+%工)=(1+，M产+%(吟方+%第)端=蜘 k)ijjc=0,1,.JV%&=%=峪法=心=%o=%=。，1，N3.3 收敛性分析下面来探讨构造出的差分方程组解的收敛性和稳定性。对三维问题LOD格式截断误差阶与稳定性的分析结果得到，格式(3.6)关于初值对 任意网比都是无条件稳定的，且截断误差阶和收敛阶是。(72+人2)12%3引。分析的具体过 程如下：为对上述格式进行理论研究，设法消去过渡层值和；2/3,利用(3.6)式中的差 分方程组，由于所求解的区域为正方形，算子正,耳，石的积可交换，即-13-万方数据求解一类非线性抛物型方程的局部一维化方法3第步；=兹四星=瑟号瑟.将(3.5-1)代入(3.5-2),并注意利用(3.7),则有g-叶朗1畤力将上式两边同时乘并注意到(3.6-3)和(3.7)式，可得(，小加储吁量+朋+朋JH咻(3.9)故格式(3.8)与(3.9)有同样的收敛性与稳定性。因此有Lhu(iJ,k,n)=同 d；1 f；1)”(+；)-(七)J+学+医)将上式中的(i j,攵)简记为，将其在节点(i,/,左,)处Ta ylor展开，并利用u(i,j,k,n+l)-u(i,j,k,)二包十 _!_独+。任2)dt 2!a P-()分27ybi”(i J,)=4+(2)，W=X歪曲.h dw经整理可得du 1 d2u 1(d3u d3u d3u)加=加+5常志+丽尸茄习-倚+券部。)当方程(3.6)的解充分光滑时，有(3.10)(3.11)(3.12)(3.13)其中“夕为非负整数。当步长趋于无穷小，(3.6)式的误差阶为O(i+42)。14-万方数据大连理工大学硕士学位论文根据F ouri er方法进行稳定性分析，令%小则,则(3.13)式与(3.9)式相消后，并注意到以下关系式：0 A(p其中，5,=si n2,52=si n2y,53=si n2ye0,1。用嗫=倒4,b2=气,(3.14)%吗*=0T(x,y,z,0)=si n x si n y si n z7(0 j,z J)=T(1,y,z J)=T(x,0,z,/)=T(x,7,z J)=T(x,y,0,t)=T(3 Jj)=0(3.21)用本文构造的(3.6)格式求解，取A=/4,r=M2,令0=3e-3，si n(x+y+z)并与精确解 =e-Wsi n(x+y+z)对比。并分别令r=1/4,r=1/2,计算到=200时的结果如表3.1。表3.1部分结点处两种解的比较Ta b.3.1 Compa ri son of two ki nds of soluti ons i n some nodesr=l/4r=1/2(x,y,z,t)LOD数值解精确解LOD数值解精确解(0.5,050.5,0.1)1.42E-011.46E-012.01 E-012.06E-01(0.5,0.5,0.5,0.2)1.49E-011.47E-012.34E-171.89E-17(0.5,0.5,0.5,03)1.56E-011.52E-012.86E-171.92E-17(0.5,0.5,0.5,0.4)2.16E-153.04E-151.26E-171.78E-17(0.5,0.5,0.5,0.5)-1.56E-01-1.46E-01-2.00E-01-2.06E-01输出的结点处的数值解和原初值问题的精确解的对比如下图所示。图3.1两种解的对比图(左为数值解)F i g.3.1 Th e compa ri son of two ki nds of soluti ons(Th e pi cture on th e left sh ows th e numeri ca l soluti on)从表和图可以看出，通过构造的LOD格式求得的差分方程的数值解与原微分方程 的精确解有较好的一致性，得到了很好的逼近效果，这与本章初始的理论分析完全吻合。-16-万方数据大连理工大学硕士学位论文3.5本章小结本章提出的是求解线性抛物型方程的LOD法，通过收敛性分析和数值实验，说明 了差分格式的有效性。但其虽对于本文旨在解决的非线性问题并不适用，必须结合方程 的非线性特性将此方法进行推广改造。-17-万方数据求解一类非线性抛物型方程的局部一维化方法4非线性抛物型方程的局部一维化方法4.1引言在这一章，主要介绍针对非线性抛物型问题的非线性项。()的两种处理办法，此部 分是对上一部分的结果做了进一步的改进，并给出两组数值模拟，然后对一个实例进行 分析，验证了方法理论分析的精准性与实际问题处理的实用性。上一章节已经介绍了求解常系数线性抛物型问题的局部一维化技巧，证明了其收敛 性与稳定性。本章在此局部一维化方法的基础上，将其改造以应用于本文旨在解决的非 线性抛物型问题上来。考虑一维方程的初边值问题ot oxy ox)w(x,O)=Mo(x),Ox0u(x,o)=,(x),r 0我们假定r0,p0,这样做的目的是为了使问题是适定的13%C1解是存在的；C2解是惟一的；C3解连续依赖于初边值条件。4.2 一维非线性抛物型方程差分格式的建立下面介绍针对上述一维非线性方程差分格式的两种方法，王明新【均等人已对一维非 线性情形下给出了一种较好的解决思路，因此本文针对非线性项PQ)提出了两种处理技 巧，从而构造差分格式。法一：最简单的三层格式是七产=9瓦(,何)呵)-犷(4.2)/其中-18-万方数据大连理工大学硕士学位论文如=1/1-tt I J-2叶”=仑凡”；）（43）夕,=夕区,*M）但这是一个绝对不稳定格式。因此我们构造三层隐.式格式。=2 公）”叫-“血-%）卜；“，（4.4）其中z x 川+%、q（）=P-2-I 4.5）现在用更精确的格式进行修正小=*q；+%+明）=1+）（4.6）（吗+%+明）这样可以得到-,1-；）=孙,/）.-,）+（%-“；g-”7）2 1（4.7）-明）+（“；-啧）+（“7-明）一夕了一 2.对于此方程，我们可以证明对于充分小的r和人有曙忖一“（3）|“卜+“）（4.8）其中，和X）分别是（4.7）和（4.1）的解。法二：考虑差分格式万方数据求解一类非线性抛物型方程的局部一维化方法叫（4,10）2-；A_w；=w；-u；_,下面来考察其截断误差。设是初边值问题（4.1）充分光滑的解。对在点（为4+1）进 行Ta ylor级数展开。也。+”“（3）=，%，响,）-（3”）琮其中mi n(u(xptn),w(xpr)ma x(u(xpt),u(x7,/II+1)利用“(X3+Jr(3.)=倍)+0(巧 那么有也。响/Ex/,。响,*)-2传)+。(巧?l/t J j JU 一 同理夕卜,，%，(3”)=心,*/区,*)-噜)+o(d)售 其中 ma x(x,Q 弓，a)(4.11)(4.12)(4.13)(4.14)(4.15)(4.16)(4.17)-20-万方数据大连理工大学硕士学位论文由上述表达式，可以得到3心心M）心吟山+9 6,（3”）一却_（0 h*A+“（左%）+夕如，臼耳）=M3（3t）-倍+。（巧 圉+。卜2）-偿图+。（町+帆盯。盯心）-噜1+。（巧愣(4.18)+q 区,。+1，“(盯。|)+。&+21由于是初边值问题的解，所以有区小（3.）（3上卜必）+。（3”）小（卬川+“(乙，%)+q(3)=o(r+h2)(4.19)因此可以得到差分（4.9）的截断误差是0（r+/）。由（4.9）可注意到和q是在“上计算的，由差分格式（4.9）得到的代数方程组是线性 的，且系数矩阵是三对角矩阵，因此可以通过追赶法求方程。为了改进计算精度，此时可以采用C-N格式，可知和q是在上进行计算的。格式为其中-21-万方数据求解一类非线性抛物型方程的局部一维化方法qj J(4.21)同时注意到，在差分格式(4.20)中计算“我是困难的，为了避免上述情况，下面给出 了(4.20)的变形券2+0 一中也网-上加2+%2 J(4.22)可以证明，格式(4.20)的截断误差是0+必)。由上述格式得到的方程组是非线性的，因此对于此方程，此时可以利用迭代逐次求 解。令=小并设寸皿是已知的，那么差分格式(4.20)的迭代公式可以写作其中4.3三维非线性抛物型方程差分格式的建立讨论在区域C=(0,7)x(0,Z)x(0,Z)上的非线性抛物方程：=V(a(x,y,z,t,u)V m)+w)(4.24)其中a(切及/()是已知函数，满足Li psch i tz条件且满足本文所需光滑性，且0 a0 a(u)co,或写成初边值问题：-22-万方数据大连理工大学硕士学位论文=V(a(x,y,z J,)y“)+/(x,y,z M otu(x,y,z,O)=z妙 1足+/1”匕,z*J”+i，u(x”力,Z/J)+八，3（七，%）出偿）+第+（凯卜。博临:信r+联+*）挡+R0但+闺a偿+O伊，永（3/J