资源描述
一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，三角形OAB的边OA、OB分别在x轴正半轴上和y轴正半轴上，A（a，0），a是方程的解，且△OAB的面积为6．
（1）求点A、B的坐标；
（2）将线段OA沿轴向上平移后得到PQ，点O、A的对应点分别为点P和点Q（点P与点B不重合），设点P的纵坐标为t，△BPQ的面积为S，请用含t的式子表示S；
（3）在（2）的条件下，设PQ交线段AB于点K，若PK=，求t的值及△BPQ的面积．
2．已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE的角分线相交于点F．
（1）如图1，若BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线，且∠BED＝100°，求∠M的度数；
（2）如图2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，∠BED＝α°，求∠M的度数；
（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，请直接写出∠M与∠BED之间的数量关系
3．点A，C，E在直线l上，点B不在直线l上，把线段AB沿直线l向右平移得到线段CD．
（1）如图1，若点E在线段AC上，求证：B+D=BED；
（2）若点E不在线段AC上，试猜想并证明B，D，BED之间的等量关系；
（3）在（1）的条件下，如图2所示，过点B作PB//ED，在直线BP，ED之间有点M，使得ABE=EBM，CDE=EDM，同时点F使得ABE=nEBF，CDE=nEDF，其中n≥1，设BMD=m，利用（1)中的结论求BFD的度数（用含m，n的代数式表示）．
4．综合与探究
（问题情境）
王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动
（1）如图1，，点、分别为直线、上的一点，点为平行线间一点，请直接写出、和之间的数量关系；
（问题迁移）
（2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交、于点、，直线分别交、于点、，点在射线上运动，
①当点在、（不与、重合）两点之间运动时，设，．则，，之间有何数量关系？请说明理由．
②若点不在线段上运动时（点与点、、三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出，，之间的数量关系．
5．如图，直线，点是、之间（不在直线，上）的一个动点．
（1）如图1，若与都是锐角，请写出与，之间的数量关系并说明理由；
（2）把直角三角形如图2摆放，直角顶点在两条平行线之间，与交于点， 与交于点，与交于点，点在线段上，连接，有，求的值；
（3）如图3，若点是下方一点，平分， 平分，已知，求的度数．
6．已知：ABCD．点E在CD上，点F，H在AB上，点G在AB，CD之间，连接FG，EH，GE，∠GFB＝∠CEH．
（1）如图1，求证：GFEH；
（2）如图2，若∠GEH＝α，FM平分∠AFG，EM平分∠GEC，试问∠M与α之间有怎样的数量关系（用含α的式子表示∠M）？请写出你的猜想，并加以证明．
7．（阅读材料）
数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：“39”．邻座的乘客十分惊奇，忙间其中计算的奥妙．
你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试：
第一步：∵，，，
∴．
∴能确定59319的立方根是个两位数．
第二步：∵59319的个位数是9，
∴能确定59319的立方根的个位数是9．
第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，
而，则，可得，
由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．
（解答问题）
根据上面材料，解答下面的问题
（1）求110592的立方根，写出步骤．
（2）填空：__________．
8．如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．
（1）图2中A、B两点表示的数分别为___________，____________；
（2）请你参照上面的方法：
①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长___________．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）
②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长）
9．阅读型综合题
对于实数我们定义一种新运算（其中均为非零常数），等式右边是通常的 四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中叫做线性数的一个数对．若实数 都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的叫做正格线性数的正格数对．
（1）若，则 ， ；
（2）已知，．若正格线性数，（其中为整数），问是否有满足这样条件的正格数对？若有，请找出；若没有，请说明理由．
10．阅读材料：求值：，
解答：设，
将等式两边同时乘2得：，
将得：，即．
请你类比此方法计算：
．
其中n为正整数
11．规定：求若千个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”，一般地，把记作，读作“”的圈次方．
（初步探究）（1）直接写出计算结果： ； ；
（2）关于除方，下列说法错误的是（ ）
A．任何非零数的圈次方都等于 B．对于任何正整数
C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
（深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（3）试一试：，依照前面的算式，将，的运算结果直接写成幂的形式是 ， ；
（4）想一想：将一个非零有理数的圆次方写成幂的形式是： ；
（5）算一算：．
12．若一个四位数t的前两位数字相同且各位数字均不为0，则称这个数为“前介数”；若把这个数的个位数字放到前三位数字组成的数的前面组成一个新的四位数，则称这个新的四位数为“中介数”；记一个“前介数”t与它的“中介数”的差为P（t）．例如，5536前两位数字相同，所以5536为“前介数”；则6553就为它的“中介数”，P（5536）＝5536﹣6553＝-1017．
（1）P（2215）＝ ，P（6655）＝ ．
（2）求证：任意一个“前介数”t，P（t）一定能被9整除．
（3）若一个千位数字为2的“前介数”t能被6整除，它的“中介数”能被2整除，请求出满足条件的P（t）的最大值．
13．如图1在平面直角坐标系中，大正方形OABC的边长为m厘米，小正方形ODEF的边长为n厘米，且|m﹣4|+＝0．
（1）求点B、点D的坐标．
（2）起始状态如图1所示，将大正方形固定不动，小正方形以1厘米/秒的速度沿x轴向右平移，如图2．设平移的时间为t秒，在平移过程中两个正方形重叠部分的面积为S平方厘米．
①当t＝1.5时，S＝ 平方厘米；
②在2≤t≤4这段时间内，小正方形的一条对角线扫过的图形的面积为 平方厘米；
③在小正方形平移过程中，若S＝2，则小正方形平移的时间t为 秒．
（3）将大正方形固定不动，小正方形从图1中起始状态沿x轴向右平移，在平移过程中，连接AD，过D点作DM⊥AD交直线BC于M，∠DAx的角平分线所在直线和∠CMD的角平分线所在直线交于N（不考虑N点与A点重合的情形），求∠ANM的大小并说明理由．
14．已知，．点在上，点在 上．
（1）如图1中，、、的数量关系为： ；（不需要证明）；如图2中，、、的数量关系为： ；（不需要证明）
（2）如图 3中，平分，平分，且，求的度数；
（3）如图4中，，平分，平分，且，则的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出么的度数．
15．已知A（0，a）、B（b，0），且+（b﹣4）2＝0．
（1）直接写出点A、B的坐标；
（2）点C为x轴负半轴上一点满足S△ABC＝15．
①如图1，平移直线AB经过点C，交y轴于点E，求点E的坐标；
②如图2，若点F（m，10）满足S△ACF＝10，求m．
（3）如图3，D为x轴上B点右侧的点，把点A沿y轴负半轴方向平移，过点A作x轴的平行线l，在直线l上取两点G、H（点H在点G右侧），满足HB＝8，GD＝6．当点A平移到某一位置时，四边形BDHG的面积有最大值，直接写出面积的最大值．
16．某水果店到水果批发市场采购苹果，师傅看中了甲、乙两家某种品质一样的苹果，零售价都为8元/千克，批发价各不相同，甲家规定：批发数量不超过100千克，全部按零价的九折优惠；批发数量超过100千克全部按零售价的八五折优惠，乙家的规定如下表：
数量范围（千克）
不超过50的部分
50以上但不超过150的部分
150以上的部分
价格（元）
零售价的95%
零售价的85%
零售价的75%
（1）如果师傅要批发240千克苹果选择哪家批发更优惠？
（2）设批发x千克苹果（），问师傅应怎样选择两家批发商所花费用更少？
17．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC,点A的坐标是(4，0)，点B的坐标是(2，3)，点C在x轴的负半轴上,且AC=6.
(1)直接写出点C的坐标.
(2)在y轴上是否存在点P，使得S△POB=S△ABC若存在,求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.
(3)把点C往上平移3个单位得到点H，作射线CH,连接BH，点M在射线CH上运动(不与点C、H重合).试探究∠HBM，∠BMA，∠MAC之间的数量关系，并证明你的结论.
18．如图1，已知，点A(1，a)，AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B(b，0)，其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足．
（1）填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A(________)、B(________)、C(________)；
②直接写出三角形AOH的面积________．
（2）如图1，若点D(m，n)在线段OA上，证明：4m＝n．
（3）如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标．
19．我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？
（2）若某商人准备用20两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
20．某工厂接受了20天内生产1200台GH型电子产品的总任务．已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成．工厂现有80名工人，每个工人每天能加工6个G型装置或3个H型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G、H型装置数量正好全部配套组成GH型产品．
（1）按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品？请列出二元一次方程组解答此问题．
（2）为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行G型装置的加工，且每人每天只能加工4个G型装置．设原来每天安排x名工人生产G型装置，后来补充m名新工人，求x的值（用含m的代数式表示）
21．（1）阅读下列材料并填空：
对于二元一次方程组，我们可以将x，y的系数和相应的常数项排成一个数表，求得的一次方程组的解 ，用数表可表示为．用数表可以简化表达解一次方程组的过程如下，请补全其中的空白：
从而得到该方程组的解为x= ，y= ．
（2）仿照（1）中数表的书写格式写出解方程组的过程．
22．某公园的门票价格如下表所示：
某中学七年级(1)、(2)两个班计划去游览该公园，其中(I)班的人数较少，不足 50 人；(2) 班人数略多，有 50 多人．如果两个班都以班为单位分别购票，则一共应付 1172 元，如 果两个班联合起来，作为一个团体购票，则需付 1078 元．
(1)列方程求出两个班各有多少学生；
(2)如果两个班联合起来买票，是否可以买单价为 9 元的票？你有什么省钱的方法来帮 他们买票呢？请给出最省钱的方案．
23．七年（1）（2）两班各40人参加垃圾分类知识竞赛，规则如图．比赛中，所有同学均按要求一对一连线，无多连、少连．
（1）分数5，10，15，20中，每人得分不可能是________分．
（2）七年（1）班有4人全错，其余成员中，满分人数是未满分人数的2倍；七年（2）班所有人都得分，最低分人数的2倍与其他未满分人数之和等于满分人数．
①问（1）班有多少人得满分？
②若（1）班除0分外，最低得分人数与其他未满分人数相等，问哪个班的总分高？
24．阅读感悟：
有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数、满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则_______，_______；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支水笔、3块橡皮、2本记事本共需35元，买39支水笔、5块橡皮、3本记事本工序62元，则购买6支水笔、6块橡皮、6本记事本共需多少元？
（3）对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么_______．
25．学校组织名同学和名教师参加校外学习交流活动现打算选租大、小两种客车，大客车载客量为人/辆，小客车载客量为人/辆
（1）学校准备租用辆客车，有几种租车方案?
（2）在（1）的条件下，若大客车租金为元/辆，小客车租金为元/辆，哪种租车方案最省钱?
（3）学校临时增加名学生和名教师参加活动，每辆大客车有2名教师带队，每辆小客车至少有名教师带队.同学先坐满大客车，再依次坐满小客车，最后一辆小客车至少要有人，请你帮助设计租车方案
26．某校为了丰富同学们的课外活动，决定给全校20个班每班配4副乒乓球拍和若干乒乓球，两家体育用品商店对同一款乒乓球拍和乒乓球推出让利活动，甲商店买一副乒乓球拍送10个乒乓球，乙商店所有商品均打九折（按标价的90％）销售，已知2副乒乓球拍和10个乒乓球110元，3副乒乓球拍和20个乒乓球170元。
请解答下列问题：
（1）求每副乒乓球拍和每个乒乓球的单价为多少元.
（2）若每班配4副乒乓球拍和40个乒乓球，则甲商店的费用为 元，乙商店的费用为 元.
（3）每班配4副乒乓球拍和m（m＞100）个乒乓球则甲商店的费用为 元，乙商店的费用为 元.
（4）若该校只在一家商店购买，你认为在哪家超市购买更划算？
27．阅读材料：
如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作[x] ．
例如，[3.2]=3，[5]=5，[－2.1]=－3．
那么，x=[x]+a，其中0≤a＜1．
例如，3.2=[3.2]+0.2，5=[5]+0，－2.1=[－2.1]+0.9．
请你解决下列问题：
（1）[4.8]= ，[－6.5]= ；
（2）如果[x]=3，那么x的取值范围是 ；
（3）如果[5x－2]=3x+1，那么x的值是 ；
（4）如果x=[x]+a，其中0≤a＜1，且4a= [x]+1，求x的值．
28．在平面直角坐标系中，点，，，且，，满足．
（1）请用含的式子分别表示，两点的坐标；
（2）当实数变化时，判断的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围；
（3）如图，已知线段与轴相交于点，直线与直线交于点，若，求实数的取值范围．
29．阅读下列材料：
问题：已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0
解：∵x﹣y＝2．∴x＝y+2，
又∵x＞1∴y+2＞1
∴y＞﹣1
又∵y＜0
∴﹣1＜y＜0①
∴﹣1+2＜y+2＜0+2
即1＜x＜2②
①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2
∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2
请按照上述方法，完成下列问题：
（1）已知x﹣y＝3，且x＞﹣1，y＜0，则x的取值范围是 ；x+y的取值范围是 ；
（2）已知x﹣y＝a，且x＜﹣b，y＞2b，根据上述做法得到-2＜3x-y＜10，求a、b的值．
30．已知，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于点B，点A满足，平移线段AB使点A与原点重合，点B的对应点为点C．
（1）则a＝ ，b＝ ，点C坐标为 ；
（2）如图1，点D（m，n）在线段BC上，求m，n满足的关系式；
（3）如图2，E是线段OB上一动点，以OB为边作∠BOG＝∠AOB，交BC于点G，连CE交OG于点F，当点E在线段OB上运动过程中，的值是否会发生变化？若变化请说明理由，若不变，请求出其值．
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一、解答题
1．（1）B（0，3）；（2）S=（3）4
【分析】
（1）解方程求出a的值，利用三角形的面积公式构建方程求出b的值即可解决问题；
（2）分两种情形分别求解：当点P在线段OB上时，当点P在线段OB的延长线上时；
（3）过点K作KH⊥OA用H．根据S△BPK+S△AKH=S△AOB-S长方形OPKH，构建方程求出t，即可解决问题；
【详解】
解：（1）∵，
∴2（a+2）-3（a-2）=6，
∴-a+4=0，
∴a=4，
∴A（4，0），
∵S△OAB=6，
∴•4•OB=6，
∴OB=3，
∴B（0，3）．
（2）当点P在线段OB上时，S=•PQ•PB=×4×（3-t）=-2t+6．
当点P在线段OB的延长线上时，S=•PQ•PB=×4×（t-3）=2t-6．
综上所述，S=．
（3）过点K作KH⊥OA用H．
∵S△BPK+S△AKH=S△AOB-S长方形OPKH，
∴PK•BP+AH•KH=6-PK•OP，
∴××（3-t）+（4-）•t=6-•t，
解得t=1，
∴S△BPQ=-2t+6=4．
【点睛】
本题考查三角形综合题，一元一次方程、三角形的面积、平移变换等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
2．（1）65°；（2）；（3）2n∠M+∠BED=360°
【分析】
（1）首先作EG∥AB，FH∥AB，连结MF，利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE=260°，再利用角平分线的定义得到∠ABF+∠CDF=130°，从而得到∠BFD的度数，再根据角平分线的定义和三角形外角的性质可求∠M的度数；
（2）先由已知得到∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE=360°-∠BED，∠M=∠ABM+∠CDM，等量代换即可求解；
（3）由（2）的方法可得到2n∠M+∠BED=360°．
【详解】
解：（1）如图1，作，，连结，
，
，
，，，，
，
，
，
和的角平分线相交于，
，
，
、分别是和的角平分线，
，，
，
；
（2）如图1，，，
，，
与两个角的角平分线相交于点，
，，
，
，
，
；
（3）由（2）结论可得，，，
则．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和四边形的内角和，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质．
3．（1）见解析；（2）当点E在CA的延长线上时，∠BED=∠D-∠B；当点E在AC的延长线上时，∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D；（3）
【分析】
（1）如图1中，过点E作ET∥AB．利用平行线的性质解决问题．
（2）分两种情形：如图2-1中，当点E在CA的延长线上时，如图2-2中，当点E在AC的延长线上时，构造平行线，利用平行线的性质求解即可．
（3）利用（1）中结论，可得∠BMD=∠ABM+∠CDM，∠BFD=∠ABF+∠CDF，由此解决问题即可．
【详解】
解：（1）证明：如图1中，过点E作ET∥AB．由平移可得AB∥CD，
∵AB∥ET，AB∥CD，
∴ET∥CD∥AB，
∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，
∴∠BED=∠BET+∠DET=∠B+∠D．
（2）如图2-1中，当点E在CA的延长线上时，过点E作ET∥AB．
∵AB∥ET，AB∥CD，
∴ET∥CD∥AB，
∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，
∴∠BED=∠DET-∠BET=∠D-∠B．
如图2-2中，当点E在AC的延长线上时，过点E作ET∥AB．
∵AB∥ET，AB∥CD，
∴ET∥CD∥AB，
∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，
∴∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D．
（3）如图，设∠ABE=∠EBM=x，∠CDE=∠EDM=y，
∵AB∥CD，
∴∠BMD=∠ABM+∠CDM，
∴m=2x+2y，
∴x+y=m，
∵∠BFD=∠ABF+∠CDF，∠ABE=n∠EBF，∠CDE=n∠EDF，
∴∠BFD===．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会条件常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
4．（1）；（2）①，理由见解析；②图见解析，或
【分析】
（1）作PQ∥EF，由平行线的性质，即可得到答案；
（2）①过作交于，由平行线的性质，得到，，即可得到答案；
②根据题意，可对点P进行分类讨论：当点在延长线时；当在之间时；与①同理，利用平行线的性质，即可求出答案．
【详解】
解：（1）作PQ∥EF，如图：
∵，
∴，
∴，，
∵
∴；
（2）①；
理由如下：如图，
过作交于，
∵，
∴，
∴，，
∴；
②当点在延长线时，如备用图1：
∵PE∥AD∥BC，
∴∠EPC=，∠EPD=，
∴；
当在之间时，如备用图2：
∵PE∥AD∥BC，
∴∠EPD=，∠CPE=，
∴．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等，从而得到角的关系．
5．（1）见解析；（2）；（3）75°
【分析】
（1）根据平行线的性质、余角和补角的性质即可求解．
（2）根据平行线的性质、对顶角的性质和平角的定义解答即可．
（3）根据平行线的性质和角平分线的定义以及三角形内角和解答即可．
【详解】
解：（1）∠C=∠1+∠2，
证明：过C作l∥MN，如下图所示，
∵l∥MN，
∴∠4=∠2（两直线平行，内错角相等），
∵l∥MN，PQ∥MN，
∴l∥PQ，
∴∠3=∠1（两直线平行，内错角相等），
∴∠3+∠4=∠1+∠2，
∴∠C=∠1+∠2；
（2）∵∠BDF=∠GDF，
∵∠BDF=∠PDC，
∴∠GDF=∠PDC，
∵∠PDC+∠CDG+∠GDF=180°，
∴∠CDG+2∠PDC=180°，
∴∠PDC=90°-∠CDG，
由（1）可得，∠PDC+∠CEM=∠C=90°，
∴∠AEN=∠CEM，
∴，
（3）设BD交MN于J．
∵BC平分∠PBD，AM平分∠CAD，∠PBC=25°，
∴∠PBD=2∠PBC=50°，∠CAM=∠MAD，
∵PQ∥MN，
∴∠BJA=∠PBD=50°，
∴∠ADB=∠AJB-∠JAD=50°-∠JAD=50°-∠CAM，
由（1）可得，∠ACB=∠PBC+∠CAM，
∴∠ACB+∠ADB=∠PBC+∠CAM+50°-∠CAM=25°+50°=75°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、余角和补角的性质，解题的关键是根据平行找出角度之间的关系．
6．（1）见解析；（2），证明见解析．
【分析】
（1）由平行线的性质得到，等量代换得出，即可根据“同位角相等，两直线平行”得解；
（2）过点作，过点作，根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可．
【详解】
（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
如图2，过点作，过点作，
，
，
，，
，
同理，，
平分，平分，
，，
，
由（1）知，，
，
，
，
，
．
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质及作出合理的辅助线是解题的关键．
7．（1）48；（2）28
【分析】
（1）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．
（2）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．
【详解】
解：（1）第一步：，，，
，
能确定110592的立方根是个两位数．
第二步：的个位数是2，，
能确定110592的立方根的个位数是8．
第三步：如果划去110592后面的三位592得到数110，
而，则，可得，
由此能确定110592的立方根的十位数是4，因此110592的立方根是48；
（2）第一步：，，，
，
能确定21952的立方根是个两位数．
第二步：的个位数是2，，
能确定21952的立方根的个位数是8．
第三步：如果划去21952后面的三位952得到数21，
而，则，可得，
由此能确定21952的立方根的十位数是2，因此21952的立方根是28．
即，
故答案为：28．
【点睛】
本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度．
8．（1），；（2）①图见解析，；②见解析
【分析】
（1）根据图1得到小正方形的对角线长，即可得出数轴上点A和点B表示的数
（2）根据长方形的面积得正方形的面积，即可得到正方形的边长，再画出图象即可；
（3）从原点开始画一个长是2，高是1的长方形，对角线长即是a，再用圆规以这个长度画弧，交数轴于点M，再把这个长方形向左平移3个单位，用同样的方法得到点N．
【详解】
（1）由图1知，小正方形的对角线长是，
∴图2中点A表示的数是，点B表示的数是，
故答案是：，；
（2）①长方形的面积是5，拼成的正方形的面积也应该是5，
∴正方形的边长是，
如图所示：
故答案是：；
②如图所示：
【点睛】
本题考查无理数的表示方法，解题的关键是理解题意，模仿题目中给出的解题方法进行求解．
9．（1）5，3；（2）有正格数对，正格数对为
【分析】
（1）根据定义，直接代入求解即可；
（2）将代入求出b的值，再将代入，表示出kx，再根据题干分析即可．
【详解】
解：（1）∵
∴5，3
故答案为：5，3；
（2）有正格数对．
将代入，
得出，，
解得，，
∴，
则
∴
∵，为正整数且为整数
∴，，，
∴正格数对为：．
【点睛】
本题考查的知识点是实数的运算，理解新定义是解此题的关键．
10．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
设，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值；
同理即可得到所求式子的值．
【详解】
解：设，
将等式两边同时乘2得：，
将下式减去上式得：，即，
则；
设，
两边同时乘3得：，
得：，即，
则．
【点睛】
本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题．
11．（1），；（2）C；（3），；（4）；（5）-5．
【分析】
概念学习：（1）分别按公式进行计算即可；
（2）根据定义依次判定即可；
深入思考：
（3）由幂的乘方和除方的定义进行变形，即可得到答案；
（4）把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，结果第一个数不变为a，第二个数及后面的数变为，则；
（5）将第二问的规律代入计算，注意运算顺序．
【详解】
解：（1）；
；
故答案为：，；
（2）A、任何非零数的圈2次方都等于1；所以选项A正确；
B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，1ⓝ都等于1； 所以选项B正确；
C、，，
则；故选项C错误；
D、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故D正确；
故选：；
（3）根据题意，
，
由上述可知：；
（4）根据题意，
由（3）可知，；
故答案为：
（5）
．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序．
12．（1）-3006，990；（2）见解析；（3）P（t）的最大值是P（2262）=36．
【分析】
（1）根据“前介数”t与它的“中介数”的差为P（t）的定义求解即可；
（2）设“前介数”为且a、b、c均不为0的整数，即1a、b、c，根据定义得到P（t）=，则P（t）一定能被9整除；
（3）设“前介数”为，根据题意得到能被3整除，且b只能取2，4，6，8中的其中一个数；对应的“中介数”是，得到a只能取2，4，6，8中的其中一个数，计算P（t），推出要求P（t）的最大值，即要尽量的大，要尽量的小，再分类讨论即可求解．
【详解】
（1）解：2215是“前介数”，其对应的“中介数”是5221，
∴P（2215）=2215-5221=-3006；
6655是“前介数”，其对应的“中介数”是5665，
∴P（6655）=6655-5665=990；
故答案为：-3006，990；
（2）证明：设“前介数”为且a、b、c均为不为0的整数，即1a、b、c，
∴，
又对应的“中介数”是，
∴P（t）=
，
∵a、b、c均不为0的整数，
∴为整数，
∴P（t）一定能被9整除；
（3）证明：设“前介数”为且即1a、b，a、b均为不为0的整数，
∴，
∵能被6整除，
∴能被2整除，也能被3整除，
∴为偶数，且能被3整除，
又1，
∴b只能取2，4，6，8中的其中一个数，
又对应的“中介数”是，
且该“中介数”能被2整除，
∴为偶数，
又1，
∴a只能取2，4，6，8中的其中一个数，
∴P（t）=
，
要求P（t）的最大值，即要尽量的大，要尽量的小，
①的最大值为8，的最小值为2，但此时，
且14不能被3整除，不符合题意，舍去；
②的最大值为6，的最小值仍为2，但此时，能被3整除，
且P（t）=2262-2226=36；
③的最大值仍为8，的最小值为4，但此时，
且16不能被3整除，不符合题意，舍去；
其他情况，减少，增大，则P（t）减少，
∴满足条件的P（t）的最大值是P（2262）=36．
【点睛】
本题考查用新定义解题，根据新定义，表示出“前介数”，与其对应的“中介数”是求解本题的关键．本题中运用到的分类讨论思想是重要一种数学解题思想方法．
13．（1）；（2）①3，②4，③1或5；（3），理由见解析
【分析】
（1）由非负性的性质以及算数平方根的性质可得出的值，可答案可求出；
（2）①1.5秒时，小正方形向右移动1.5厘米，即可计算出重叠部分的面积；
②画出图形，计算所得图形面积即可；
③小正方形的高不变，根据面积即可求出小正方形平移的距离和时间；
（3）过作轴，过作轴，设，则，得出，得出，得出， ．
【详解】
解（1），
，
；
（2）①当秒时，小正方形向右移动1.5厘米，
（平方厘米）；
②如图1所示，小正方形的一条对角线扫过的面积为红色平行四边形，
面积为：（平方厘米）；
③如图2，小正方形平移距离为（厘米），
小正方形平移的距离为1厘米或5厘米，
或，
综上所述，小正方形平移的时间为1或5秒；
（3）如图3，过作轴，过作轴，
平分,
设，
则，
，
，
，
平分，
，
．
【点睛】
本题考查了非负数的性质、坐标与图形的性质、平移的性质、平行线的性质、角平分线的性质、解题的关键是熟练掌握平行线的性质及平移的性质．
14．（1）∠BME＝∠MEN−∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）120°（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．
【分析】
（1）过E作EHAB，易得EHABCD，根据平行线的性质可求解；过F作FHAB，易得FHABCD，根据平行线的性质可求解；
（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME＋∠END）＋∠BMF−∠FND＝180°，可求解∠BMF＝60°，进而可求解；
（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ＝∠BME，进而可求解．
【详解】
解：（1）过E作EHAB，如图1，
∴∠BME＝∠MEH，
∵ABCD，
∴HECD，
∴∠END＝∠HEN，
∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，
即∠BME＝∠MEN−∠END．
如图2，过F作FHAB，
∴∠BMF＝∠MFK，
∵ABCD，
∴FHCD，
∴∠FND＝∠KFN，
∴∠MFN＝∠MFK−∠KFN＝∠BMF−∠FND，
即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
故答案为∠BME＝∠MEN−∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
（2）由（1）得∠BME＝∠MEN−∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，
∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，
∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，
∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF−∠FND＝180°，
∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF−∠FND＝180°，
即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF−∠FND＝180°，
解得∠BMF＝60°，
∴∠FME＝2∠BMF＝120°；
（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．
由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，
∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，
∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME＋∠END），∠ENP＝∠END，
∵EQNP，
∴∠NEQ＝∠ENP，
∴∠FEQ＝∠FEN−∠NEQ＝（∠BME＋∠END）−∠END＝∠BME，
∵∠BME＝60°，
∴∠FEQ＝×60°＝30°．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作辅助线是解题的关键．
15．（1）A（0，5），B（4，0）；（2）①E（0，﹣）；②﹣2或6；（3）24．
【分析】
（1）根据二次根式和偶次幂的非负性得出a，b解答即可；
（2）①根据三角形的面积公式得出点C的坐标，根据平行线的性质解答即可；②延长CA交直线l于点H（a，10），
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