资源描述
一、解答题
1．在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，过点作直线轴，垂足为，交线段于点.
（1）如图1，过点作，垂足为，连接.
①填空：的面积为______；②点为直线上一动点，当时，求点的坐标；
（2）如图2，点为线段延长线上一点，连接，，线段交于点，若，请直接写出点的坐标为______.
2．如图，，点A、B分别在直线MN、GH上，点O在直线MN、GH之间，若，．
（1）= ；
（2）如图2，点C、D是、角平分线上的两点，且，求 的度数；
（3）如图3，点F是平面上的一点，连结FA、FB，E是射线FA上的一点，若 ，，且，求n的值．
3．已知，．点在上，点在 上．
（1）如图1中，、、的数量关系为： ；（不需要证明）；如图2中，、、的数量关系为： ；（不需要证明）
（2）如图 3中，平分，平分，且，求的度数；
（3）如图4中，，平分，平分，且，则的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出么的度数．
4．点A，C，E在直线l上，点B不在直线l上，把线段AB沿直线l向右平移得到线段CD．
（1）如图1，若点E在线段AC上，求证：B+D=BED；
（2）若点E不在线段AC上，试猜想并证明B，D，BED之间的等量关系；
（3）在（1）的条件下，如图2所示，过点B作PB//ED，在直线BP，ED之间有点M，使得ABE=EBM，CDE=EDM，同时点F使得ABE=nEBF，CDE=nEDF，其中n≥1，设BMD=m，利用（1)中的结论求BFD的度数（用含m，n的代数式表示）．
5．如图，直线，点是、之间（不在直线，上）的一个动点．
（1）如图1，若与都是锐角，请写出与，之间的数量关系并说明理由；
（2）把直角三角形如图2摆放，直角顶点在两条平行线之间，与交于点， 与交于点，与交于点，点在线段上，连接，有，求的值；
（3）如图3，若点是下方一点，平分， 平分，已知，求的度数．
6．已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD．
（1）如图1，求证：∠BCD＋∠CDE＝∠ABC；
（2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，探究∠ABC和∠F之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线交CD于点G，连接GB并延长至点H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．
7．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如:2的差倒数是，现已知a1=，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…
(1)求a2，a3，a4的值；
(2)根据(1)的计算结果，请猜想并写出a2016•a2017•a2018的值；
(3)计算：a33+a66+a99+…+a9999的值．
8．请观察下列等式，找出规律并回答以下问题．
，，，，……
（1）按照这个规律写下去，第5个等式是：______；第n个等式是：______．
（2）①计算：．
②若a为最小的正整数，，求：
．
9．小学的时候我们已经学过分数的加减法法则：“同分母分数相加减，分母不变，分子相加减；异分母分数相加减，先通分，转化为同分母分数，再加减．”如：，反之，这个式子仍然成立，即：.
（1）问题发现
观察下列等式：
①，
②，
③，…，
猜想并写出第个式子的结果： ．（直接写出结果，不说明理由）
（2）类比探究
将（1）中的的三个等式左右两边分别相加得：
，
类比该问题的做法，请直接写出下列各式的结果：
① ；
② ；
（3）拓展延伸
计算：．
10．我们已经学习了“乘方”运算，下面介绍一种新运算，即“对数”运算．
定义：如果（a＞0，a≠1，N＞0），那么b叫做以a为底N的对数，记作．
例如：因为，所以；因为，所以．
根据“对数”运算的定义，回答下列问题：
（1）填空： ， ．
（2）如果，求m的值．
（3）对于“对数”运算，小明同学认为有“（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）”，他的说法正确吗？如果正确，请给出证明过程；如果不正确，请说明理由，并加以改正．
11．阅读材料：求值：，
解答：设，
将等式两边同时乘2得：，
将得：，即．
请你类比此方法计算：
．
其中n为正整数
12．如果有一列数，从这列数的第2个数开始，每一个数与它的前一个数的比等于同一个非零的常数，这样的一列数就叫做等比数列（Geometric Sequences）．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．
（1）观察一个等比列数1，，…，它的公比q＝ ；如果an（n为正整数）表示这个等比数列的第n项，那么a18＝ ，an＝ ；
（2）如果欲求1+2+4+8+16+…+230的值，可以按照如下步骤进行：
令S＝1+2+4+8+16+…+230…①
等式两边同时乘以2，得2S＝2+4+8+16++32+…+231…②
由② ﹣ ①式，得2S﹣S＝231﹣1
即（2﹣1）S＝231﹣1
所以
请根据以上的解答过程，求3+32+33+…+323的值；
（3）用由特殊到一般的方法探索：若数列a1，a2，a3，…，an，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，请用含a1，q，n的代数式表示an；如果这个常数q≠1，请用含a1，q，n的代数式表示a1+a2+a3+…+an．
13．已知、两点的坐标分别为，，将线段水平向右平移到，连接，，得四边形，且．
（1）点的坐标为______，点D的坐标为______；
（2）如图1，轴于，上有一动点，连接、，求最小时点位置及其坐标，并说明理由；
（3）如图2，为轴上一点，若平分，且于，．求与之间的数量关系．
14．已知，AB∥CD，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，FE⊥HE，垂足为E．
（1）如图1，求证：HG⊥HE；
（2）如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，求证：∠GHE＝2∠GME；
（3）如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度数．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC,点A的坐标是(4，0)，点B的坐标是(2，3)，点C在x轴的负半轴上,且AC=6.
(1)直接写出点C的坐标.
(2)在y轴上是否存在点P，使得S△POB=S△ABC若存在,求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.
(3)把点C往上平移3个单位得到点H，作射线CH,连接BH，点M在射线CH上运动(不与点C、H重合).试探究∠HBM，∠BMA，∠MAC之间的数量关系，并证明你的结论.
16．某超市投入31500元购进A、B两种饮料共800箱，饮料的成本与销售价如下表：（单位：元/箱）
类别
成本价
销售价
A
42
64
B
36
52
（1）该超市购进A、B两种饮料各多少箱？
（2）全部售完800箱饮料共盈利多少元？
（3）若超市计划盈利16200元，且A类饮料售价不变，则B类饮料销售价至少应定为每箱多少元？
17．如图，在长方形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，点E是CD边上的一点，且DE=2cm，动点P从A点出发，以2cm/s的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．设点P运动的时间为t秒．
（1）请以A点为原点，AB所在直线为x轴，1cm为单位长度，建立一个平面直角坐标系，并用t表示出点P在不同线段上的坐标．
（2）在（1）相同条件得到的结论下，是否存在P点使△APE的面积等于20cm2时，若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点A（x1，y1）与B（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点A与点B的“非常距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点A与点B的“非常距离”为|y1﹣y2|．
（1）填空：已知点A（3，6）与点B（5，2），则点A与点B的“非常距离”为 ；
（2）已知点C（﹣1，2），点D为y轴上的一个动点．①若点C与点D的“非常距离”为2，求点D的坐标；②直接写出点C与点D的“非常距离”的最小值．
19．学校将20××年入学的学生按入学年份、年级、班级、班内序号的顺序给每一位学生编号，如2015年入学的8年级3班的46号学生的编号为15080346．张山同学模仿二维码的方式给学生编号设计了一套身份识别系统，在5×5的正方形风格中，黑色正方形表示数字1，白色正方形表示数字0． 我们把从上往下数第i行、从左往右数第j列表示的数记为aij，（其中，i、j＝1，2，3，4，5），规定Ai＝16ai1＋8ai2＋4ai3＋2ai4＋ai5．
（1）若A1表示入学年份，A2表示所在年级，A3表示所在班级，A4表示编号的十位数字，A5表示编号的个位数字．
①图1是张山同学的身份识别图案，请直接写出张山同学的编号；
②请在图2中画出2018年入学的9年级5班的39号同学的身份识别图案；
（2）张山同学又设计了一套信息加密系统，其中A1表示入学年份加8，A2表示所在年级的数减6再加上所在班级的数，A3表示所在年级的数乘2后减3再减所在班级的数，将编号（班内序号）的末两位单列出来，作为一个两位数，个位与十位数字对换后再加2，所得结果的十位数字用A4表示、个位数字用A5表示．例如：2018年9年级5班的39号同学，其加密后的身份识别图案中，A1＝18＋8＝26，A2＝9－6＋5＝8，A3＝9×2－3－5＝10，93＋2＝95，所以A4＝9，A5＝5，所以其加密后的身份识别（26081095）图案如图3所示．图4是李思同学加密后的身份识别图案，请求出李思同学的编号．
20．（1）阅读下列材料并填空：
对于二元一次方程组，我们可以将x，y的系数和相应的常数项排成一个数表，求得的一次方程组的解 ，用数表可表示为．用数表可以简化表达解一次方程组的过程如下，请补全其中的空白：
从而得到该方程组的解为x= ，y= ．
（2）仿照（1）中数表的书写格式写出解方程组的过程．
21．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6米3时，水费按a元/米3收费；每户每月用水量超过6米3时，不超过的部分每立方米仍按a元收费，超过的部分按c元/米3收费，该市某用户今年3、4月份的用水量和水费如下表所示：
月份
用水量(m3)
收费(元)
3
5
7.5
4
9
27
(1)求a、c的值，并写出每月用水量不超过6米3和超过6米3时，水费与用水量之间的关系式；
(2)已知某户5月份的用水量为8米3，求该用户5月份的水费．
22．数轴上有两个动点M，N，如果点M始终在点N的左侧，我们称作点M是点N的“追赶点”．如图，数轴上有2个点A，B，它们表示的数分别为-3，1，已知点M是点N的“追赶点”，且M，N表示的数分别为m，n．
（1）由题意得：点A是点B的“追赶点”，AB=1-(-3)=4(AB表示线段AB的长，以下相同)；类似的，MN=____________．
（2）在A，M，N三点中，若其中一个点是另外两个点所构成线段的中点，请用含m的代数式来表示n．
（3）若AM=BN，MN=BM，求m和n值．
23．新定义，若关于，的二元一次方程组①的解是，关于，的二元一次方程组②的解是，且满足，，则称方程组②的解是方程组①的模糊解．关于，的二元一次方程组的解是方程组的模糊解，则的取值范围是________．
24．小明为班级购买信息学编程竞赛的奖品后，回学校向班主任李老师汇报说：“我买了两种书，共30本，单价分别为20元和24元，买书前我领了700元，现在还余38元．”李老师算了一下，说：“你肯定搞错了．”
（1）李老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释；
（2）小明连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本．但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于10元的整数，如果单价为20元的书多于24元的书，请问：笔记本的单价为多少元？
25．阅读材料：
如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作[x] ．
例如，[3.2]=3，[5]=5，[－2.1]=－3．
那么，x=[x]+a，其中0≤a＜1．
例如，3.2=[3.2]+0.2，5=[5]+0，－2.1=[－2.1]+0.9．
请你解决下列问题：
（1）[4.8]= ，[－6.5]= ；
（2）如果[x]=3，那么x的取值范围是 ；
（3）如果[5x－2]=3x+1，那么x的值是 ；
（4）如果x=[x]+a，其中0≤a＜1，且4a= [x]+1，求x的值．
26．在平面直角坐标系xOy中．点A，B，P不在同一条直线上．对于点P和线段AB给出如下定义：过点P向线段AB所在直线作垂线，若垂足Q落在线段AB上，则称点P为线段AB的内垂点．若垂足Q满足|AQ-BQ|最小，则称点P为线段AB的最佳内垂点．已知点A（﹣2，1），B（1，1），C（﹣4，3）．
（1）在点P1（2，3）、P2（﹣5，0）、P3（﹣1，﹣2），P4（﹣，4）中，线段AB的内垂点为 ；
（2）点M是线段AB的最佳内垂点且到线段AB的距离是2，则点M的坐标为 ；
（3）点N在y轴上且为线段AC的内垂点，则点N的纵坐标n的取值范围是 ；
（4）已知点D（m，0），E（m+4，0），F（2m，3）．若线段CF上存在线段DE的最佳内垂点，求m的取值范围．
27．对于三个数，，，表示，，这三个数的平均数，表示，，这三个数中最小的数，如：
，；
，．
解决下列问题：
（1）填空：______；
（2）若，求的取值范围；
（3）①若，那么______；
②根据①，你发现结论“若，那么______”（填，，大小关系）；
③运用②解决问题：若，求的值．
28．阅读理解：
例1．解方程|x|＝2，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2，所以方程|x|＝2的解为x＝±2．
例2．解不等式|x﹣1|＞2，在数轴上找出|x﹣1|＝2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为﹣1或3，所以方程|x﹣1|＝2的解为x＝﹣1或x＝3，因此不等式|x﹣1|＞2的解集为x＜﹣1或x＞3．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|x﹣2|＝3的解为 ；
（2）解不等式：|x﹣2|≤1．
（3）解不等式：|x﹣4|+|x+2|＞8．
（4）对于任意数x，若不等式|x+2|+|x﹣4|＞a恒成立，求a的取值范围．
29．对，定义一种新的运算，规定：（其中）．已知，．
（1）求、的值；
（2）若，解不等式组．
30．如图，已知点，，．
（1）求的面积；
（2）点是在坐标轴上异于点的一点，且的面积等于的面积，求满足条件的点的坐标；
（3）若点的坐标为，且，连接交于点，在轴上有一点，使的面积等于的面积，请直接写出点的坐标__________（用含的式子表示）．
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一、解答题
1．（1）①6；②的坐标为，；（2）.
【解析】
【分析】
（1）①易证四边形AECO为矩形，则点B到AE的距离为OA，AE=OC=3，OA=CE=4，S△ABE=AE•OA，即可得出结果；
②设点的坐标为，分两种情况: 点在点上方，连接,得=++=8,点在点的下方，得=8,分别列出方程解方程即可得出结果；
（2）由S△AOF=S△QBF，则S△AOB=S△QOB，△AOB与△QOB是以AB为同底的三角形，高分别为：OA、QC，得出OA=CQ，即可得出结果．
【详解】
解：（1）①∵CD⊥x轴，AE⊥CD，
∴AE∥x轴，四边形AECO为矩形，点B到AE的距离为OA，
∵点A（0，4），点C（3，0），
∴AE=OC=3，OA=CE=4，
∴S△ABE=AE•OA=×3×4=6，
故答案为：6；
②设点的坐标为.
（i）∵点坐标为，点坐标为，
∴.
∵，
∴.
∴点在点上方，连接（如图1）.根据题意得
∵，
∴，
∴，
∴.
∴当点的坐标为.
（ii）点在点的下方，连接（如图2）.
∵.
∴.
∴点在点的下方，根据题意得
∵，
∴，
∴，
∴.
∴当点的坐标为.
（2）（2）∵S△AOF=S△QBF，如图3所示：
∴S△AOB=S△QOB，
∵△AOB与△QOB是以AB为同底的三角形，高分别为：OA、QC，
∴OA=CQ，
∴点Q的坐标为（3，4），
故答案为：（3，4）．
【点睛】
本题是三角形综合题，主要考查了图形与点的坐标、矩形的判定与性质、三角形面积的计算等知识，熟练掌握图形与点的坐标，灵活运用割补法表示三角形面积列出方程是解题的关键．
2．（1）100；（2）75°；（3）n=3．
【分析】
（1）如图：过O作OP//MN，由MN//OP//GH得∠NAO+∠POA=180°，∠POB+∠OBH=180°，即∠NAO+∠AOB+∠OBH=360°，即可求出∠AOB；
（2）如图：分别延长AC、CD交GH于点E、F，先根据角平分线求得，再根据平行线的性质得到；进一步求得，，然后根据三角形外角的性质解答即可；
（3）设BF交MN于K，由∠NAO=116°，得∠MAO=64°，故∠MAE=，同理∠OBH=144°，∠HBF=n∠OBF，得∠FBH=，从而，又∠FKN=∠F+∠FAK，得，即可求n．
【详解】
解：（1）如图：过O作OP//MN，
∵MN//GHl
∴MN//OP//GH
∴∠NAO+∠POA=180°，∠POB+∠OBH=180°
∴∠NAO+∠AOB+∠OBH=360°
∵∠NAO=116°，∠OBH=144°
∴∠AOB=360°-116°-144°=100°；
（2）分别延长AC、CD交GH于点E、F，
∵AC平分且，
∴，
又∵MN//GH，
∴；
∵，
∵BD平分，
∴，
又∵
∴；
∴；
（3）设FB交MN于K，
∵，则；
∴
∵，
∴，，
在△FAK中，,
∴，
∴．
经检验：是原方程的根，且符合题意.
【点睛】
本题主要考查平行线的性质及应用，正确作出辅助线、构造平行线、再利用平行线性质进行求解是解答本题的关键．
3．（1）∠BME＝∠MEN−∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）120°（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．
【分析】
（1）过E作EHAB，易得EHABCD，根据平行线的性质可求解；过F作FHAB，易得FHABCD，根据平行线的性质可求解；
（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME＋∠END）＋∠BMF−∠FND＝180°，可求解∠BMF＝60°，进而可求解；
（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ＝∠BME，进而可求解．
【详解】
解：（1）过E作EHAB，如图1，
∴∠BME＝∠MEH，
∵ABCD，
∴HECD，
∴∠END＝∠HEN，
∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，
即∠BME＝∠MEN−∠END．
如图2，过F作FHAB，
∴∠BMF＝∠MFK，
∵ABCD，
∴FHCD，
∴∠FND＝∠KFN，
∴∠MFN＝∠MFK−∠KFN＝∠BMF−∠FND，
即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
故答案为∠BME＝∠MEN−∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
（2）由（1）得∠BME＝∠MEN−∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，
∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，
∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，
∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF−∠FND＝180°，
∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF−∠FND＝180°，
即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF−∠FND＝180°，
解得∠BMF＝60°，
∴∠FME＝2∠BMF＝120°；
（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．
由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，
∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，
∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME＋∠END），∠ENP＝∠END，
∵EQNP，
∴∠NEQ＝∠ENP，
∴∠FEQ＝∠FEN−∠NEQ＝（∠BME＋∠END）−∠END＝∠BME，
∵∠BME＝60°，
∴∠FEQ＝×60°＝30°．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作辅助线是解题的关键．
4．（1）见解析；（2）当点E在CA的延长线上时，∠BED=∠D-∠B；当点E在AC的延长线上时，∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D；（3）
【分析】
（1）如图1中，过点E作ET∥AB．利用平行线的性质解决问题．
（2）分两种情形：如图2-1中，当点E在CA的延长线上时，如图2-2中，当点E在AC的延长线上时，构造平行线，利用平行线的性质求解即可．
（3）利用（1）中结论，可得∠BMD=∠ABM+∠CDM，∠BFD=∠ABF+∠CDF，由此解决问题即可．
【详解】
解：（1）证明：如图1中，过点E作ET∥AB．由平移可得AB∥CD，
∵AB∥ET，AB∥CD，
∴ET∥CD∥AB，
∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，
∴∠BED=∠BET+∠DET=∠B+∠D．
（2）如图2-1中，当点E在CA的延长线上时，过点E作ET∥AB．
∵AB∥ET，AB∥CD，
∴ET∥CD∥AB，
∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，
∴∠BED=∠DET-∠BET=∠D-∠B．
如图2-2中，当点E在AC的延长线上时，过点E作ET∥AB．
∵AB∥ET，AB∥CD，
∴ET∥CD∥AB，
∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，
∴∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D．
（3）如图，设∠ABE=∠EBM=x，∠CDE=∠EDM=y，
∵AB∥CD，
∴∠BMD=∠ABM+∠CDM，
∴m=2x+2y，
∴x+y=m，
∵∠BFD=∠ABF+∠CDF，∠ABE=n∠EBF，∠CDE=n∠EDF，
∴∠BFD===．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会条件常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
5．（1）见解析；（2）；（3）75°
【分析】
（1）根据平行线的性质、余角和补角的性质即可求解．
（2）根据平行线的性质、对顶角的性质和平角的定义解答即可．
（3）根据平行线的性质和角平分线的定义以及三角形内角和解答即可．
【详解】
解：（1）∠C=∠1+∠2，
证明：过C作l∥MN，如下图所示，
∵l∥MN，
∴∠4=∠2（两直线平行，内错角相等），
∵l∥MN，PQ∥MN，
∴l∥PQ，
∴∠3=∠1（两直线平行，内错角相等），
∴∠3+∠4=∠1+∠2，
∴∠C=∠1+∠2；
（2）∵∠BDF=∠GDF，
∵∠BDF=∠PDC，
∴∠GDF=∠PDC，
∵∠PDC+∠CDG+∠GDF=180°，
∴∠CDG+2∠PDC=180°，
∴∠PDC=90°-∠CDG，
由（1）可得，∠PDC+∠CEM=∠C=90°，
∴∠AEN=∠CEM，
∴，
（3）设BD交MN于J．
∵BC平分∠PBD，AM平分∠CAD，∠PBC=25°，
∴∠PBD=2∠PBC=50°，∠CAM=∠MAD，
∵PQ∥MN，
∴∠BJA=∠PBD=50°，
∴∠ADB=∠AJB-∠JAD=50°-∠JAD=50°-∠CAM，
由（1）可得，∠ACB=∠PBC+∠CAM，
∴∠ACB+∠ADB=∠PBC+∠CAM+50°-∠CAM=25°+50°=75°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、余角和补角的性质，解题的关键是根据平行找出角度之间的关系．
6．（1）证明见解析；（2）；（3）．
【分析】
（1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，由此即可得证；
（2）过点作，同（1）的方法，先根据平行线的性质得出，，从而可得，再根据垂直的定义可得，由此即可得出结论；
（3）过点作，延长至点，先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的定义、结合（2）的结论可得，然后根据角的和差、对顶角相等可得，由此即可得出答案．
【详解】
证明：（1）如图，过点作，
，
，
，
，即，
，
；
（2）如图，过点作，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
；
（3）如图，过点作，延长至点，
，
，
，
，
平分，平分，
，
由（2）可知，，
，
又，
．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、对顶角相等、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
7．（1）a2=2，a3=-1，a4=
（2）a2016•a2017•a2018= -1
（3）a33+a66+a99+…+a9999=-1
【分析】
(1)将a1=代入中即可求出a2，再将a2代入求出a3，同样求出a4即可.
(2)从（1）的计算结果可以看出，从a1开始，每三个数一循环，而2016÷3=672，则a2016=-1,a2017= ,a2018=2然后计算a2016•a2017•a2018的值；
(3)观察可得a3、a6、a9、…a99，都等于-1，将-1代入，即可求出结果.
【详解】
（1）将a1=，代入，得 ；
将a2=2，代入，得；
将a3=-1，代入，得.
（2）根据(1)的计算结果，从a1开始，每三个数一循环，
而2016÷3=672，则a2016=-1,a2017= ,a2018=2
所以，a2016•a2017•a2018=（-1）××2= -1
（3）观察可得a3、a6、a9、…a99，都等于-1，将-1代入，
a33+a66+a99+…+a9999
=（-1）3+（-1）6+（-1）9+…+（-1）99
=（-1）+1+（-1）+…(-1)
=-1
【点睛】
此类问题考查了数字类的变化规律，解题的关键是要严格根据定义进行解答，同时注意分析循环的规律．
8．（1），；（2）①；②
【分析】
（1）根据规律可得第5个算式；根据规律可得第n个算式；
（2）①根据运算规律可得结果．
②利用非负数的性质求出与的值，代入原式后拆项变形，抵消即可得到结果．
【详解】
（1）根据规律得：第5个等式是，第n个等式是；
（2）①，
，
，
；
②为最小的正整数，，
，，
原式，
，
，
，
．
【点睛】
本题主要考查了数字的变化规律，发现规律，运用规律是解答此题的关键．
9．(1) ；(2)①；②；(3) ．
【分析】
（1）根据题目中的式子可以写出第n个式子的结果；
（2）①根据题目中的式子的特点和（1）中的结果，可以求得所求式子的值；
②根据题目中的式子的特点和（1）中的结果，可以求得所求式子的值；
（3）根据题目中式子的特点，可以求得所求式子的值．
【详解】
解：（1）由题目中的式子可得，
，
故答案为：；
（2）①
，
故答案为：；
②
，
故答案为：；
（3）
．
【点睛】
本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中式子的变化特点，求出所求式子的值．
10．（1）1，4；（2）m=10 ；（3）不正确，改正见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据新定义由61=6、34=81可得log66=1，log381=4；
（2）根据定义知m﹣2=23，解之可得；
（3）设ax=M，ay=N，则logaM=x、logaN=y，根据ax•ay=ax+y知ax+y=M•N，继而得logaMN=x+y，据此即可得证．
试题解析：解：（1）∵61=6，34=81，∴log66=1，log381=4．故答案为：1，4；
（2）∵log2（m﹣2）=3，∴m﹣2=23，解得：m=10；
（3）不正确，设ax=M，ay=N，则logaM=x，logaN=y（a＞0，a≠1，M、N均为正数）．∵ax•ay=，∴=M•N，∴logaMN=x+y，即logaMN=logaM+logaN．
点睛：本题考查了有理数和整式的混合运算，解题的关键是明确题意，可以利用新定义进行解答问题．
11．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
设，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值；
同理即可得到所求式子的值．
【详解】
解：设，
将等式两边同时乘2得：，
将下式减去上式得：，即，
则；
设，
两边同时乘3得：，
得：，即，
则．
【点睛】
本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题．
12．（1） ， ， ；（2）；（3）
【分析】
（1）÷1即可求出q，根据已知数的特点求出a18和an即可；
（2）根据已知先求出3S，再相减，即可得出答案；
（3）根据（1）（2）的结果得出规律即可．
【详解】
解：（1）÷1＝，
a18＝1×（）17＝，an＝1×（）n﹣1＝，
故答案为：，，；
（2）设S＝3+32+33+…+323，
则3S＝32+33+…+323+324，
∴2S＝324﹣3，
∴S＝
（3）an＝a1•qn﹣1，a1+a2+a3+…+an＝．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算的应用，主要考查学生的理解能力和阅读能力，题目是一道比较好的题目，有一定的难度．
13．（1），；（2），理由见解析；（3）
【分析】
（1）根据已知条件求出AD和BC的长度，即可得到D、C的坐标；
（2）连接BD与直线CG相交，其交点Q即为所求，然后根据求出 QC、QG后即可得到Q点坐标；
（3）过H作HF∥AB，过C作CM∥ED，则根据已知条件、平行线的性质和角的有关知识可以得到 ．
【详解】
（1）解：由题意可得四边形ABCD是平行四边形，且AD与BC间距离为1-（-1）=2，
∴平行四边形ABCD的高为2，
∴AD=BC=S四边形ABCD÷2=12÷2=6，
∴C点坐标为（-4+6，-1）即（2，-1），D点坐标为（-2+6，1）即（4，1）；
（2）解：如图，连接交于，
∵，
∴此时最小（两点之间，线段最短），
过作于，
∵，，，
∴，，，
设，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）∵，，
∴，，
∴．
∵平分，∴．
又∵，
设，则，
∴，，
过作，
又∵，∴，
∴，∴．
过作，
∴，．
∵于，∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】
本题考查平行线的综合应用，熟练掌握平行线的判定与性质、平移坐标变换规律、两点之间线段最短的性质、角的有关知识和运算是解题关键 ．
14．（1）见解析；（2）见解析；（3）40°
【分析】
（1）根据平行线的性质和判定解答即可；
（2）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可；
（3）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可．
【详解】
证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠AFE＝∠FED，
∵∠AGH＝∠FED，
∴∠AFE＝∠AGH，
∴EF∥GH，
∴∠FEH+∠H＝180°，
∵FE⊥HE，
∴∠FEH＝90°，
∴∠H＝180°﹣∠FEH＝90°，
∴HG⊥HE；
（2）过点M作MQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴MQ∥CD，
过点H作HP∥AB，
∵AB∥CD，
∴HP∥CD，
∵GM平分∠HGB，
∴∠BGM＝∠HGM＝∠BGH，
∵EM平分∠HED，
∴∠HEM＝∠DEM＝∠HED，
∵MQ∥AB，
∴∠BGM＝∠GMQ，
∵MQ∥CD，
∴∠QME＝∠MED，
∴∠GME＝∠GMQ+∠QME＝∠BGM+∠MED，
∵HP∥AB，
∴∠BGH＝∠GHP＝2∠BGM，
∵HP∥CD，
∴∠PHE＝∠HED＝2∠MED，
∴∠GHE＝∠GHP+∠PHE＝2∠BGM+2∠MED＝2（∠BGM+∠MED），
∴∠GHE＝∠2GME；
（3）过点M作MQ∥AB，过点H作HP∥AB，
由∠KFE：∠MGH＝13：5，设∠KFE＝13x，∠MGH＝5x，
由（2）可知：∠BGH＝2∠MGH＝10x，
∵∠AFE+∠BFE＝180°，
∴∠AFE＝180°﹣10x，
∵FK平分∠AFE，
∴∠AFK＝∠KFE＝ ∠AFE，
即，
解得：x＝5°，
∴∠BGH＝10x＝50°，
∵HP∥AB，HP∥CD，
∴∠BGH＝∠GHP＝50°，∠PHE＝∠HED，
∵∠GHE＝90°，
∴∠PHE＝∠GHE﹣∠GHP＝90°﹣50°＝40°，
∴∠HED＝40°．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理以及灵活构造平行线是解题的关键．
15．(1)C(-2，0)；(2)点P坐标为(0，6)或(0，-6)；(3)∠BMA=∠MAC±∠HBM，证明见解析.
【分析】
(1)由点A坐标可得OA=4，再根据C点x轴负半轴上，AC=6即可求得答案；
(2)先求出S△ABC=9，S△BOP=OP，再根据S△POB=S△ABC，可得OP=6，即可写出点P的坐标；
(3)先得到点H的坐标，再结合点B的坐标可得到BH//AC，然后根据点M在射线CH上，分点M在线段CH上与不在线段CH上两种情况分别进行讨论即可得.
【详解】
(1)∵A(4，0)，
∴OA=4，
∵C点x轴负半轴上，AC=6，
∴OC=AC-OA=2，
∴C(-2，0)；
(2)∵B(2，3)，
∴S△ABC=×6×3=9，S△BOP=OP×2=OP，
又∵S△POB=S△ABC，
∴OP=×9=6，
∴点P坐标为(0，6)或(0，-6)；
(3)∠BMA=∠MAC±∠HBM，证明如下：
∵把点C往上平移3个单位得到点H，C(-2，0)，
∴H(-2，3)，
又∵B(2，3)，
∴BH//AC；
如图1，当点M在线段HC上时，过点M作MN//AC，
∴∠MAC=∠AMN，MN//HB，
∴∠HBM=∠BMN，
∵∠BMA=∠BMN+∠AMN，
∴∠BMA=∠HBM+∠MAC；
如图2，当点M在射线CH上但不在线段HC上时，过点M作MN//AC，
∴∠MAC=∠AMN，MN//HB，
∴∠HBM=∠BMN，
∵∠BMA=∠AMN-∠BMN，
∴∠BMA=∠MAC-∠HBM；
综上，∠BMA=∠MAC±∠HBM.
【点睛】
本题考查了点的坐标，三角形的面积，点的平移，平行线的判定与性质等知识，综合性较强，正确进行分类并准确画
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