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重庆巴蜀中学七年级数学压轴题专题

一、七年级上册数学压轴题
1．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点．
例如；如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距高是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点．

如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2．

（1）点E，F，G表示的数分别是，6.5，11，其中是美好点的是________；写出美好点H所表示的数是___________．
（2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？
2．已知多项式，次数是b，4a与b互为相反数，在数轴上，点A表示a，点B表示数b．

(1)a= ，b= ；
(2)若小蚂蚁甲从点A处以3个单位长度/秒的速度向左运动，同时小蚂蚁乙从点B处以4个单位长度/秒的速度也向左运动，丙同学观察两只小蚂蚁运动，在它们刚开始运动时，在原点O处放置一颗饭粒，乙在碰到饭粒后立即背着饭粒以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t秒，求甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时间t．(写出解答过程)
(3)若小蚂蚁甲和乙约好分别从A，B两点，分别沿数轴甲向左，乙向右以相同的速度爬行，经过一段时间原路返回，刚好在16s时一起重新回到原出发点A和B，设小蚂蚁们出发t(s)时的速度为v(mm/s)，v与t之间的关系如下图，(其中s表示时间单位秒，mm表示路程单位毫米)
t（s）
0＜t≤2
2＜t≤5
5＜t≤16
v（mm/s）
10
16
8
①当t为1时，小蚂蚁甲与乙之间的距离是 ．
②当2＜t≤5时，小蚂蚁甲与乙之间的距离是 ．(用含有t的代数式表示)
3．在数轴上，点A代表的数是-12，点B代表的数是2，AB表示点A与点B之间的距离．
（1）①若点P为数轴上点A与点B之间的一个点，且AP=6，则BP=_____；
②若点P为数轴上一点，且BP=2，则AP=_____；
（2）若C点为数轴上一点，且点C到点A点的距离与点C到点B的距离的和是20，求C点表示的数；
（3）若点M从点A出发，点N从点B出发，且M、N同时向数轴负方向运动，M点的运动速度是每秒6个单位长度，N点的运动速度是每秒8个单位长度，当MN=2时求运动时间t的值．
4．数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．
例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“关联点”．

回答下列问题：
（1）若点A表示数-2，点B表示数1．下列各数-1，2，4，6所对应的点是、、.其中是点A，B的“关联点”的是______．
（2）点A表示数4，点B表示数10，P为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，则此时点P表示的数是多少？
②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请直接写出此时点P表示的数．
5．已知数轴上三点，，对应的数分别为，0，3，点为数轴上任意一点，其对应的数为．

（1）如果点到点、点的距离相等，那么的值是______．
（2）数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和是8？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（3）如果点以每分钟1个单位长度的速度从点向右运动，同时另一点从点以每分钟2个单位长度的速度向左运动．设分钟时点和点到点的距离相等，则的值为______．（直接写出答案）
6．阅读绝对值拓展材料：表示数a在数轴上的对应点与原点的距离如：表示5在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，有：表示5、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为．
回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ，如果A、B两点之间的距离为2，那么 ．
（3）可以理解为数轴上表示x和 的两点之间的距离．
（4）可以理解为数轴上表示x的点到表示 和 这两点的距离之和．可以理解为数轴上表示x的点到表示 和 这两点的距离之和．
（5）最小值是 ，的最小值是 ．
7．已知，如图，实数a、b、c在数轴上表示的点分别是点A、B、C,且a、b、c满足．

（1）求a、b、c的值；
（2）若点A沿数轴向左以每秒1个单位的速度运动，点B和点C沿数轴向右运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒.设运动时间为t（秒）．
①2秒后，点A、B、C表示的数分别是 ， ， ；
②运动t秒后，求点B和点C之间的距离（用“BC”表示）和点A和点B之间的距离（用“AB”表示）；（用含t的代数式表示）
③在②的基础上，请问：3×BC-AB的值是否随着时间t的变化而变化？若不变化，求这个不变的值；若变化，求这个值的变化范围；
（3）若点A沿数轴向右以每秒1个单位的速度运动，点B和点C沿数轴向左运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒.设运动时间为t（秒）．是否存在某一时刻，满足点A和点B之间的距离是点B和点C之间的距离的？若存在，直接写出时间t的值；若不存在，说明理由．
8．如图，在数轴上，点O是原点，点A，B是数轴上的点，已知点A对应的数是a，点B对应的数是b，且a，b满足．

（1）在数轴上标出点A，B的位置．
（2）在数轴上有一个点C，满足，则点C对应的数为________．
（3）动点P，Q分别从A，B同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动设运动时间为t秒（）．
①当为何值时，原点O恰好为线段PQ的中点．
②若M为AP的中点，点N在线段BQ上，且，若时，请直接写出t的值．
9．（阅读理解）若为数轴上三点，若点到的距离是点到的距离的2倍，我们就称点是()的优点．例如，如图1，点表示的数为-1，点表示的数为2，表示1的点到点的距离是2，到点的距离是1，那么点是()的优点：又如，表示0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是()的优点，但点是()的优点．
（知识运用）
如图2，为数轴上两点，点所表示的数为-2，点所表示的数为4．
（1）数　　　　所表示的点是()的优点：
（2）如图3，为数轴上两点，点所表示的数为-20，点所表示的数为40.现有一只电子蚂蚁从点出发，以3个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．当为何值时，和中恰有一个点为其余两点的优点？(请直接与出答案)

10．如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足|a+3|+（c﹣9）2＝0，b＝1．

（1）a＝　 　，c＝　 　；
（2）若将数轴折叠，使得A点与点C重合，则点B与数　 　表示的点重合．
（3）在（1）的条件下，若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，求当x取何值时代数式|x﹣a|﹣|x﹣c|取得最大值，并求此最大值．
（4）点P从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时点Q从点C处以2个单位/秒的速度也向左运动，在点Q到达点B后，以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），求第几秒时，点P、Q之间的距离是点C、Q之间距离的2倍？
11．已知∠AOB，过顶点O作射线OP，若∠BOP＝∠AOP，则称射线OP为∠AOB的“好线”，因此∠AOB的“好线”有两条，如图1，射线OP1，OP2都是∠AOB的“好线”．
（1）已知射线OP是∠AOB的“好线”，且∠BOP＝30°，求∠AOB的度数．
（2）如图2，O是直线MN上的一点，OB，OA分别是∠MOP和∠PON的平分线，已知∠MOB＝30°，请通过计算说明射线OP是∠AOB的一条“好线”．
（3）如图3，已知∠MON＝120°，∠NOB＝40°．射线OP和OA分别从OM和OB同时出发，绕点O按顺时针方向旋转，OP的速度为每秒12°，OA的速度为每秒4°，当射线OP旋转到ON上时，两条射线同时停止．在旋转过程中，射线OP能否成为∠AOB的“好线”．若不能，请说明理由；若能，请求出符合条件的所有的旋转时间．

12．已知数轴上点A对应的数为，点B在点A右侧，且两点间的距离为8．点P为数轴上一动点，点C在原点位置．

（1）点B的数为____________；
（2）①若点P到点A的距离比到点B的距离大2，点P对应的数为_________；
②数轴上是否存在点P，使点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍？若存在，求出点P对应的数；若不存在，请说明理由；
（3）已知在数轴上存在点P，当点P到点A的距离与点P到点C的距离之和等于点P到点B的距离时，点P对应的数为___________；
13．（概念提出）
数轴上不重合的三个点，若其中一点到另外两点的距离的比值为n（n≥1），则称这个点是另外两点的n阶伴侣点．如图，O是点A、B的1阶伴侣点；O是点A、C的2阶伴侣点；O也是点B、C的2阶伴侣点．

（初步思考）
（1）如图，C是点A、B的 阶伴侣点；
（2）若数轴上两点M、N分别表示－1和4，则M、N的阶伴侣点所表示的数为 ；
（深入探索）
（3）若数轴上A、B、C三点表示的数分别为a、b、c，且点C是点A、B的n阶伴侣点，请直接用含a、b、n的代数式表示c．
14．如图，O为直线AB上的一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角板（∠M=30°），的直角顶点放在O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方，将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．
（1）几秒后ON与OC重合？
（2）如图2，经过t秒后，OM恰好平分∠BOC，求此时t的值．
（3）若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间OC平分∠MOB？请画出图并说明理由．

15．如果两个角的差的绝对值等于60°，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”（本题所有的角都指大于0°小于180°的角），例如，，，则和互为“伙伴角”，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”．

（1）如图1．O为直线上一点，，，则的“伙伴角”是_______________．
（2）如图2，O为直线上一点，，将绕着点O以每秒1°的速度逆时针旋转得，同时射线从射线的位置出发绕点O以每秒4°的速度逆时针旋转，当射线与射线重合时旋转同时停止，若设旋转时间为t秒，求当t何值时，与互为“伙伴角”．
（3）如图3，，射线从的位置出发绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，旋转时间为t秒，射线平分，射线平分，射线平分．问：是否存在t的值使得与互为“伙伴角”？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
16．如图1，平面内一定点A在直线EF的上方，点O为直线EF上一动点，作射线OA、OP、OA'，当点O在直线EF上运动时，始终保持∠EOP＝90°、∠AOP＝∠A'OP，将射线OA绕点O顺时针旋转60°得到射线OB．
（1）如图1，当点O运动到使点A在射线OP的左侧，若OA'平分∠POB，求∠BOF的度数；
（2）当点O运动到使点A在射线OP的左侧，且∠AOE＝3∠A'OB时，求的值；
（3）当点O运动到某一时刻时，∠A'OB＝130°，请直接写出∠BOP＝_______度．

17．如图1，射线OC在的内部，图中共有3个角：、、，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是的“定分线”．
（1）一个角的平分线_________这个角的“定分线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，若，且射线PQ是的“定分线”，则________(用含a的代数式表示出所有可能的结果）；
（3）如图2，若=48°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒8°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成90°时停止旋转，旋转的时间为t秒；同时射线PM绕点P以每秒4°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止．当PQ是的“定分线”时，求t的值．

18．（阅读理解）
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠BOC，则我们称射线OC是射线OA关于∠AOB的伴随线．例如，如图1，若∠AOC＝∠BOC，则称射线OC是射线OA关于∠AOB的伴随线；若∠BOD ＝∠COD，则称射线OD是射线OB关于∠BOC的伴随线．

（知识运用）如图2，∠AOB＝120°．
（1）射线OM是射线OA关于∠AOB的伴随线．则∠AOM＝_________°
（2）射线ON是射线OB关于∠AOB的伴随线，射线OQ是∠AOB的平分线，则∠NOQ的度数是_________°．
（3）射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止．
①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是20°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线组成的角的一边的伴随线．
19．已知是内部的一条射线，分别为上的点，线段同时分别以的速度绕点O逆时针旋转，设旋转时间为t秒．

（1）如图①，若，当逆时针旋转到处，
①若旋转时间t为2时，则______；
②若平分平分_____；
（2）如图②，若分别在内部旋转时，请猜想与的数量关系，并说明理由．
（3）若在旋转的过程中，当时，求t的值．
20．点A，B为数轴上的两点，点A对应的数为a，点B对应的数为3，a3＝﹣8．
（1）求A，B两点之间的距离；
（2）若点C为数轴上的一个动点，其对应的数记为x，试猜想当x满足什么条件时，点C到A点的距离与点C到B点的距离之和最小．请写出你的猜想，并说明理由；
（3）若P，Q为数轴上的两个动点（Q点在P点右侧），P，Q两点之间的距离为m，当点P到A点的距离与点Q到B点的距离之和有最小值4时，m的值为　 　．

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一、七年级上册数学压轴题

1．（1）G，-4或-16；（2）1.5或3或9
【分析】
（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离
解析：（1）G，-4或-16；（2）1.5或3或9
【分析】
（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化．
（2）根据美好点的定义，分情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值．
【详解】
解：（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件，
故答案是：G．
结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定-4符合条件．点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是-16．
故答案是：-4或-16．
（2）根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，
第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1，

当MP=2PN时，PN=3，点P对应的数为2-3=-1，因此t=1.5秒；
第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2，

当2PM=PN时，NP=6，点P对应的数为2-6=-4，因此t=3秒；
第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3，

当PN=2MN时，NP=18，点P对应的数为2-18=-16，因此t=9秒；
综上所述，t的值为：1.5或3或9．
【点睛】
本题考查实数与数轴、美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．
2．（1）-2，8；（2）秒或10秒；（3）①30mm；②32t-14
【分析】
（1）根据多项式的次数的定义可得b值，再由相反数的定义可得a值；
（2）分两种情况讨论：①甲乙两小蚂蚁均向左运动，即0≤
解析：（1）-2，8；（2）秒或10秒；（3）①30mm；②32t-14
【分析】
（1）根据多项式的次数的定义可得b值，再由相反数的定义可得a值；
（2）分两种情况讨论：①甲乙两小蚂蚁均向左运动，即0≤t≤2时，此时OA=2+3t，OB=8-4t；②甲向左运动，乙向右运动，即t＞2时，此时OA=2+3t，OB=4t-8；
（3）①令t=1，根据题意列出算式计算即可；
②先得出小蚂蚁甲和乙爬行的路程及各自爬行的返程的路程，则可求得小蚂蚁甲与乙之间的距离．
【详解】
解：（1）∵多项式4x6y2-3x2y-x-7，次数是b，
∴b=8；
∵4a与b互为相反数，
∴4a+8=0，
∴a=-2．
故答案为：-2，8；
（2）分两种情况讨论：
①甲乙两小蚂蚁均向左运动，即0≤t≤2时，此时OA=2+3t，OB=8-4t；
∵OA=OB，
∴2+3t=8-4t，
解得：t=；
②甲向左运动，乙向右运动，即t＞2时，此时OA=2+3t，OB=4t-8；
∵OA=OB，
∴2+3t=4t-8，
解得：t=10；
∴甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时间t为秒或10秒；
（3）①当t为1时，
小蚂蚁甲与乙之间的距离是：8+10×1-（-2-10×1）=30mm；
②∵小蚂蚁甲和乙同时出发以相同的速度爬行，
∴小蚂蚁甲和乙爬行的路程是相同的，各自爬行的总路程都等于：
10×2+16×3+8×11=156（mm），
∵原路返回，刚好在16s时一起重新回到原出发点A和B，
∴小蚂蚁甲和乙返程的路程都等于78mm，
∴甲乙之间的距离为：8-（-2）+10×2×2+16×（t-2）×2=32t-14．
故答案为：32t-14．
【点睛】
本题考查了一元一次方程在数轴上两点之间的距离问题中的应用，具有方程思想并会分类讨论是解题的关键．
3．（1）①8；②16；（2）-15或5；（3）6或8
【分析】
（1）①根据题目要求，P在数轴上点A与B之间，所以根据BP=AB-AP进行求解
②需要考虑两种情况，即P在数轴上点A与B之间时和当P不在
解析：（1）①8；②16；（2）-15或5；（3）6或8
【分析】
（1）①根据题目要求，P在数轴上点A与B之间，所以根据BP=AB-AP进行求解
②需要考虑两种情况，即P在数轴上点A与B之间时和当P不在数轴上点A与B之间时．当P在数轴上点A与B之间时，AP=AB-BP．当P不在数轴上点A与B之间时，此时有两种情况，一种是超越A点，在A点左侧，此时BP＞14，不符合题目要求．另一种情况是P在B点右侧，此时根据AP=AB+BP作答．
（2）根据前面分析，C不可能在AB之间，所以，C要么在A左侧，要么在B右侧．根据这两种情况分别进行讨论计算．
（3）分点M在点N的左侧和点M在点N的右侧，两种情况分别列出方程求解．
【详解】
解：（1）①∵AB总距离是2-（-12）=14，P在数轴上点A与B之间，
∴BP=AB-AP=14-6=8，
故答案为：8．
②P在数轴上点A与B之间时，AP=AB-BP=14-2=12；
当P不在数轴上点A与B之间时，因为AB=14，所以P只能在B右侧，此时BP=2，AP=AB+BP=14+2=16，
故答案为：16．
（2）假设C为x，
当C在A左侧时，AC=-12-x，BC=2-x，AC+BC=20，
则-12-x+2-x=20，解得x=-15，
当C在B右侧时，AC=x-（-12），BC=x-2，AC+BC=20，
则x-（-12）+x-2=20，解得x=5，
∴点C表示的数为-15或5；
（3）当M在点N左侧时，
2-8t-（-12-6t）=2，
解得：t=6；
当M在点N右侧时，
-12-6t-（2-8t）=2，
解得：t=8，
∴MN=2时，t的值为6或8．
【点睛】
本题考查了动点问题，一元一次方程的应用．在充分理解题目要求的基础上，可借助数轴用数形结合的方法求解．在解答过程中，注意动点问题的多解可能，并针对每一种可能进行讨论分析．
4．（1）C1，C3；（2）①-2或6或8；②16或22或13
【分析】
（1）根据题意求得CA与BC的关系，得到答案；
（2）①根据PA=2PB列方程求解；
②分当P为A、B关联点、A为P、B关联点、
解析：（1）C1，C3；（2）①-2或6或8；②16或22或13
【分析】
（1）根据题意求得CA与BC的关系，得到答案；
（2）①根据PA=2PB列方程求解；
②分当P为A、B关联点、A为P、B关联点、B为A、P关联点、B为P、A关联点四种可能列方程解答．
【详解】
解：（1）∵点A表示数-2，点B表示数1，C1表示的数为-1，
∴AC1=1，BC1=2，
∴C1是点A、B的“关联点”；
∵点A表示数-2，点B表示数1，C2表示的数为2，
∴AC2=4，BC1=1，
∴C2不是点A、B的“关联点”；
∵点A表示数-2，点B表示数1，C3表示的数为4，
∴AC3=6，BC3=3，
∴C3是点A、B的“关联点”；
∵点A表示数-2，点B表示数1，C4表示的数为6，
∴AC4=8，BC4=5，
∴C4不是点A、B的“关联点”；
故答案为：C1，C3；
（2）①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，设点 P 表示的数为 x
（Ⅰ）当点P在A的左侧时，则有：2PA=PB，即2（4-x）=10-x，解得，x=-2；
（Ⅱ）当点P在A、B之间时，有2PA=PB或PA=2PB，即有2（x-4）=10-x或x-4=2（10-x），解得，x=6或x=8；
因此点P表示的数为-2或6或8；
②若点P在点B的右侧，
（Ⅰ）若点P是点A、B的“关联点”，则有，2PB=PA，即2（x-10）=x-4，解得，x=16；
（Ⅱ）若点B是点A、P的“关联点”，则有，2AB=PB或AB=2PB，即2（10-4）=x-10或10-4=2（x-10），得，x=22或x=13；
（Ⅲ）若点A是点B、P的“关联点”，则有，2AB=PA，即2（10-4）=x-4，解得，x=16；
因此点P表示的数为16或22或13．
【点睛】
本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，认真理解新定义：关联点表示的数是与前面的点A的距离是到后面的数B的距离的2倍，列式可得结果．
5．（1）1 （2）存在，或 （3）或
【分析】
（1）根据两点间的距离列方程求解即可；
（2）分两种情况求解即可；
（3）分点P和点Q相遇时和点Q运动到点M的左侧时两种情况
解析：（1）1 （2）存在，或 （3）或
【分析】
（1）根据两点间的距离列方程求解即可；
（2）分两种情况求解即可；
（3）分点P和点Q相遇时和点Q运动到点M的左侧时两种情况求解．
【详解】
解：（1）由题意得
3-x=x-(-1)，
解得
x=1；
（2）存在，
∵MN=3-(-1)=4，
∴点P不可能在M、N之间．
当点P在点M的左侧时，
(-1-x)+(3-x)=8，
解得
x=-3；
当点P在点N的右侧时，
x-(-1)+(x-3)=8，
解得
x=5；
∴或；
（3）当点P和点Q相遇时，
t+2t=3，
解得
t=1；
当点Q运动到点M的左侧时，
t+1=2t-4，
解得
t=5；
∴或．
【点睛】
此题主要考查了数轴的应用以及一元一次方程的应用，分类讨论得出是解题关键．
6．（1）3，4；（2）|x+1|，x=1或-3；（3）-2；（4）2，3，-2，1；（5）1，3
【分析】
（1）根据两点之间的距离公式计算即可；
（2）根据两点之间的距离公式计算即可；
（3）根据绝
解析：（1）3，4；（2）|x+1|，x=1或-3；（3）-2；（4）2，3，-2，1；（5）1，3
【分析】
（1）根据两点之间的距离公式计算即可；
（2）根据两点之间的距离公式计算即可；
（3）根据绝对值的意义可得；
（4）根据绝对值的意义可得；
（5）分别得出和的意义，再根据数轴的性质可得．
【详解】
解：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是3，
数轴上表示1和-3的两点之间的距离是4；
（2）数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是|x+1|，
如果|AB|=2，即|x+1|=2，
∴x=1或-3；
（3）|x+2|可以理解为数轴上表示x和-2的两点之间的距离；
（4）|x-2|+|x-3|可以理解为数轴上表示x的点到表示2和3这两点的距离之和，
|x+2|+|x-1|可以理解为数轴上表示x的点到表示-2和1这两点的距离之和；
（5）由（4）可知：
当x在2和3之间时，|x-2|+|x-3|最小值是1，
当x在-2和1之间时，|x+2|+|x-1|的最小值是3．
【点睛】
本题考查的是绝对值的问题，涉及到数轴应用问题，只要理解绝对值含义和数轴上表示数值的关系（如：|x+2|表示x与-2的距离），即可求解．
7．（1）；（2）① ，；②， ；③不变，这个不变的值为；（3）存在，，．
【分析】
（1）根据平方与绝对值的和为0，可得平方与绝对值同时为0，可得a、b、c的值，根据两点间的距离，可得答案；
（2）①
解析：（1）；（2）① ，；②， ；③不变，这个不变的值为；（3）存在，，．
【分析】
（1）根据平方与绝对值的和为0，可得平方与绝对值同时为0，可得a、b、c的值，根据两点间的距离，可得答案；
（2）①2秒时A计算-8-2，B计算-2+2×2，C计算3+2×3即可,
②t秒时，点A表示-8-t，点B表示-2+2t，点C表示3+3t，根据根据两点间的距离公式计算BC=3+3t-(-2+2t)，AB=-2+2t-(-8-t),
③计算3×BC-AB=3（5+t）-(8+3t)即可；
（3）分类讨论．先把A、B、C用t表示，点A表示-8+t，点B表示-2-2t，，点C表示3-3t，BC=3-3t-(-2-2t)=3-3t+2+2t=5-t，AB=-2-2t-(-8+t)=-2-2t+8-t=6-3t，时5-t=2(6-3t)， 时5-t=2(3t-6)， t≥5时，t-5=2(3t-6)即可．
【详解】
(1)依题意，=0，=0，=0．
所以，，．
(2)①2秒后，点A表示-8-2=-10，
点B表示-2+2×2=-2+4=2,
点C表示3+2×3=3+6=9,
2秒后，点A、B、C表示的数分别是-10，2， 9；
②t秒时，点A表示-8-t，点B表示-2+2t，点C表示3+3t，
BC=3+3t-(-2+2t)=3+3t+2-2t=5+t，
AB=-2+2t-(-8-t)=-2+2t+8+t=6+3t，
③3×BC-AB=3（5+t）-(6+3t)=15+3t-6-3t=9
不变化，这个不变的值为9；
（3）t秒时，点A表示-8+t，点B表示-2-2t，点C表示3-3t，
BC=3-3t-(-2-2t)=3-3t+2+2t=5-t，
AB=-2-2t-(-8+t)=-2-2t+8-t=6-3t，
时5-t=2(6-3t)，t=
时5-t=2(3t-6)，t=
t≥5时，t-5=2(3t-6),t=舍去
存在，时间t的值为或．
【点睛】
本题考查了实数与数轴，非负数的性质，列代数式，整式的加减，两点间的距离公式，分类构造方程是解题关键．
8．（1）见解析；（2）；（3）①时，点O恰好为线段PQ的中点；②当MN=3时 ,的值为或秒．
【分析】
（1）由绝对值和偶次方的非负性质得出，，得出，，画出图形即可；

（2）设点C对应的数为x，分两
解析：（1）见解析；（2）；（3）①时，点O恰好为线段PQ的中点；②当MN=3时 ,的值为或秒．
【分析】
（1）由绝对值和偶次方的非负性质得出，，得出，，画出图形即可；
（2）设点C对应的数为x，分两种情况，画出示意图，由题意列出方程，解方程即可；
（3）①分相遇前和相遇后两种情况，画出示意图，由题意列出方程，解方程即可；
②根据题意得到点Q、点N对应的数，列出绝对值方程即可求解．
【详解】
（1）∵，
∴，，
∴，，
点A，B的位置如图所示：

（2）设点C对应的数为，
由题意得：C应在A点的右侧，
∴CA==，
①当点C在线段AB上时，如图所示：

则CB=，
∵CA-CB=，
∴，
解得：；
②当点C在线段AB延长线上时，如图所示：

则CB=，
∵CA-CB=，
∴，方程无解；
综上，点C对应的数为；
故答案为：；
（3）①由题意得：，，分两种情况讨论：
相遇前，如图：

，，
∵点O恰好为线段PQ的中点，
∴，
解得：；
相遇后，如图：

，，
∵点O恰好为线段PQ的中点，
∴，
解得：，此时，，不合题意；
故时，点O恰好为线段PQ的中点；
②当运动时间为t秒时，点P对应的数为()，点Q对应的数为()，
∵M为AP的中点，点N在线段BQ上，且，
∴点M对应的数为，
点N对应的数为，
∵，
∴，
∴，
∴或，
答：当的值为或秒时，．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用、绝对值和偶次方的非负性以及数轴，解题的关键是根据题意正确画出图形，要考虑全面，分类讨论，不要遗漏．
9．（1）x＝2或x＝10；（2）或或10．
【分析】
（1）设所求数为x，根据优点的定义列出方程x−（−2）＝2(4−x）或x−（−2）＝2（x−4），解方程即可；
（2）根据题意点P在线段AB上，由
解析：（1）x＝2或x＝10；（2）或或10．
【分析】
（1）设所求数为x，根据优点的定义列出方程x−（−2）＝2(4−x）或x−（−2）＝2（x−4），解方程即可；
（2）根据题意点P在线段AB上，由优点的定义可分4种情况：①P为(A，B)的优点；②A为(B，P)的优点；③P为(B，A)的优点；④B为(A，P)的优点，设点P表示的数为y，根据优点的定义列出方程，进而得出t的值．
【详解】
解：（1）设所求数为x，由题意得
x−（−2）＝2（4−x）或x−（−2）＝2（x−4），
解得：x＝2或x＝10；
（2）设点P表示的数为y，分四种情况：
①P为(A，B)的优点．
由题意，得y−（−20）＝2（40−y），
解得y＝20，
t＝（40−20）÷3＝（秒）；
②A为(B，P)的优点．
由题意，得40−（−20）＝2[y−（−20）]，
解得y＝10，
t＝（40−10）÷3＝10（秒）；
③P为(B，A)的优点．
由题意，得40−y＝2[y−（−20）]，
解得y＝0，
t＝（40−0）÷3＝（秒）；
④B为(A，P)的优点
40-(-20)=2(40-x)，解得：x=10
t=(40-10) ÷3=10（秒）．
综上可知，当t为10秒、秒或秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的优点．
故答案为：或或10．
【点睛】
本题考查了数轴及一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，理解优点的定义，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
10．（1）-3，9；（2）5；（3）当x≥9时，|x－a|﹣|x﹣c|取得最大值为12；（4）第秒，第秒，第28秒时，点P、Q之间的距离是点C、Q之间距离的2倍．
【分析】
（1）根据绝对值和偶次方的非
解析：（1）-3，9；（2）5；（3）当x≥9时，|x－a|﹣|x﹣c|取得最大值为12；（4）第秒，第秒，第28秒时，点P、Q之间的距离是点C、Q之间距离的2倍．
【分析】
（1）根据绝对值和偶次方的非负性求解即可．
（2）根据折叠点为点A与点C的中点，列式求解即可．
（3）将（1）中所得的a与c的值代入代数式|x﹣a|﹣|x﹣c|，再根据数轴上两点之间的距离与绝对值的关系可得出答案．
（4）先求得线段BC的长，再求得其一半的长，然后分类计算即可：当0＜t≤4时，点P表示的数为﹣3﹣t，点Q表示的数为9﹣2t；当t＞4时，点P表示的数为﹣3﹣t，点Q表示的数为1+2（t﹣4）．
【详解】
解：（1）∵|a+3|+（c﹣9）2＝0，
又∵|a+3|≥0，（c﹣9）2≥0，
∴a+3＝0，c﹣9＝0，
∴a＝﹣3，c＝9．
故答案为：﹣3，9．
（2）∵将数轴折叠，使得点A与点C重合，
∴折叠点表示的数为：＝3，
∴2×3﹣1＝5，
∴点B与数5表示的点重合．
故答案为：5．
（3）∵a＝﹣3，c＝9．
∴|x﹣a|﹣|x﹣c|＝|x+3|﹣|x﹣9|，
∵代数式|x+3|﹣|x﹣9|表示点P到点A的距离减去点P到点C的距离，
∴当x≥9时，|x+3|﹣|x﹣9|取得最大值为9﹣（﹣3）＝12．
（4）∵BC＝9﹣1＝8，
∴8÷2＝4，
当0＜t≤4时，点P表示的数为﹣3﹣t，点Q表示的数为9﹣2t，
∴PQ＝9﹣2t﹣（﹣3﹣t）
＝9﹣2t+3+t
＝12﹣t，
CQ＝2t，
∵PQ＝2CQ，
∴12﹣t＝2×2t，
∴5t＝12，
∴t＝．
当t＞4时，点P表示的数为﹣3﹣t，点Q表示的数为1+2（t﹣4），
∴CQ＝|9﹣[1+2（t﹣4）]|，
PQ＝1+2（t﹣4）﹣（﹣3﹣t）
＝1+2t﹣8+3+t
＝3t﹣4，
∵PQ＝2CQ，
∴3t﹣4＝2|9﹣[1+2（t﹣4）]|＝2|16﹣2t|，
∴当3t﹣4＝2（16﹣2t）时，
3t﹣4＝32﹣4t，
∴7t＝36，
∴t＝；
当3t﹣4＝2（2t﹣16）时，
3t﹣4＝4t﹣32，
∴t＝28．
∴第秒，第秒，第28秒时，点P、Q之间的距离是点C、Q之间距离的2倍．
【点睛】
本题考查了数轴上的两点之间的距离、绝对值与偶次方的非负性及一元一次方程在数轴上的动点问题中的应用，熟练掌握相关运算性质及正确列式是解题的关键．
11．（1）∠AOB =90°或30°；（2）证明见解析；（3）运动时间为5秒或秒.
【分析】
（1）根据好线的定义，可得∠AOP=60°，再分OP在∠AOB内部时，在∠AOB外部时，两种情况分别求值即可
解析：（1）∠AOB =90°或30°；（2）证明见解析；（3）运动时间为5秒或秒.
【分析】
（1）根据好线的定义，可得∠AOP=60°，再分OP在∠AOB内部时，在∠AOB外部时，两种情况分别求值即可；
（2）根据OB，OA别是∠MOP和∠PON的平分线，可得∠AOB=9