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重庆育才中学七年级数学压轴题专题

一、七年级上册数学压轴题
1．已知：，OB、OM、ON，是 内的射线．

（1）如图 1，若 OM 平分 ， ON平分．当射线OB 绕点O 在 内旋转时，=  度．
（2）OC也是内的射线，如图2，若 ，OM平分，ON平分，当射线OB绕点O在内旋转时，求的大小．
（3）在（2）的条件下，当射线OB从边OA开始绕O点以每秒的速度逆时针旋转t秒，如图3，若，求t的值．
2．如图一，点在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”．
（1）填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）
（问题解决）
（2）如图二，点和在数轴上表示的数分别是和，点是线段的巧点，求点在数轴上表示的数。
（应用拓展）
（3）在（2）的条件下，动点从点处，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当、、三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间的所有可能值．

3．如图，在数轴上点A表示的数是－3，点B在点A的右侧，且到点A的距离是18；点C在点A与点B之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍．
（1）点B表示的数是；点C表示的数是；
（2）若点P从点A出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，当P运动到C点时，点Q与点B的距离是多少？
（3）在（2）的条件下，若点P与点C之间的距离表示为PC，点Q与点B之间的距离表示为QB．在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC+QB＝4？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由．

4．如图，在数轴上点表示数，点表示数b，点表示数c，其中．若点与点B之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点在点之间，且满足 ．
（1） ；
（2）若点分别从、同时出发，相向而行，点的速度是1个单位/秒，点的速度是2个单位秒，经过多久后相遇．
（3）动点从点位置出发，沿数轴以每秒1个单位的速度向终点运动，设运动时间为秒，当点运动到点时，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点，问：在点开始运动后，两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出运动的时间的值以及此时对应的点所表示的数；如果不能，请说明理由．

5．已知实数，，在数轴上所对应的点分别为A，B，C，其中b是最小的正整数，且，，满足．两点之间的距离可用这两点对应的字母表示，如：点A与点B之间的距离可表示为AB．
（1） ， ， ；
（2）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点C以每秒5个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为t秒，则 ， ；（结果用含t的代数式表示）这种情况下，的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值；
（3）若A，C两点的运动和（2）中保持不变，点B 变为以每秒n（）个单位长度的速度向右运动，当时，，求n的值．

6．如图，一个电子跳蚤从数轴上的表示数a的点出发，我们把“向右运动两个单位或向左运动一个单位”作为一次操作，如：当时，则一次操作后跳蚤可能的位置有两个，所表示的数分别是2和5．

（1）若，则两次操作后跳蚤所在的位置表示的数可能是多少？
（2）若，且跳蚤向右运动了20次，向左运动了n次．
①它最后的位置所表示的数是多少？（用含n的代数式表示）
②若它最后的位置所表示的数为10，求n的值．
（3）若，跳蚤共进行了若干次操作，其中有50次是向左运动，且最后的位置所表示的数为260，求操作的次数．
7．如图，在数轴上点表示数，点表示数，，满足．
（1）求，的值；
（2）若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，求点表示的数；
（3）如图，一小球甲从点处以2个单位/秒的速度向左运动；同时另一个小球乙从点处以3个单位/秒的速度也向左运动，设运动的时间为（秒）．
①分别表示出（秒）时甲、乙两小球在数轴上所表示的数（用含的代数式表示）；
②求甲、乙两小球相距两个单位时所经历的时间．

8．在数轴上，点代表的数是，点代表的数是2，代表点与点之间的距离，
（1）填空
①______．
②若点为数轴上点与之间的一个点，且，则______．
③若点为数轴上一点，且，则______．
（2）若点为数轴上一点，且点到点点的距离与点到点的距离的和是35，求点表示的数；
（3）若从点出发，从原点出发，从点出发，且、、同时向数轴负方向运动，点的运动速度是每秒6个单位长度，点的运动速度是每秒8个单位长度，点的运动速度是每秒2个单位长度，在、、同时向数轴负方向运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？
9．已知，一个点从数轴上的原点开始．先向左移动6cm到达A点，再从A点向右移动10cm到达B点，点C是线段AB的中点．
（1）点C表示的数是　 　；
（2）若点A以每秒2cm的速度向左移动，同时C、B两点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动，设移动时间为t秒，
①运动t秒时，点C表示的数是　 　（用含有t的代数式表示）；
②当t＝2秒时，CB•AC的值为　 　．
③试探索：点A、B、C在运动的过程中，线段CB与AC总有怎样的数量关系？并说明理由．

10．（背景知识）
数轴是数学中的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了一些重要的规律：若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为．
（问题情境）
如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位的速度向右匀速运动．设运动时间为．

（综合运用）
（1）填空：
①A，B两点间的距离______，线段的中点表示的数为________．
②用含t的代数式表示：后，点P表示的数为_______，点Q表示的数为_______．
（2）求当t为何值时，P，Q两点相遇，并写出相遇点表示的数．
（3）求当t为何值时，．
（4）若M为的中点，N为的中点，点P在运动过程中，线段的长是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出线段的长．
11．如图，已知∠AOB＝120°，射线OP从OA位置出发，以每秒2°的速度顺时针向射线OB旋转；与此同时，射线OQ以每秒6°的速度，从OB位置出发逆时针向射线OA旋转，当射线OQ达到OA后，两条射线同时停止运动．设旋转时间为t秒．
（1）分别求出当t＝5和t＝18时，∠POQ的度数；
（2）当OP与OQ重合时，求t的值；
（3）当∠POQ＝40°时，求t的值．

12．已知直线AB过点O，∠COD＝90°，OE是∠BOC的平分线．
（1）操作发现：①如图1，若∠AOC＝40°，则∠DOE＝
②如图1，若∠AOC＝α，则∠DOE＝ （用含α的代数式表示）
（2）操作探究：将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，②中的结论是否成立？试说明理由．
（3）拓展应用：将图2中的∠COD绕顶点O逆时针旋转到图3的位置，其他条件不变，若∠AOC＝α，求∠DOE的度数，（用含α的代数式表示）

13．已知：，、、是内的射线．
（1）如图1，若平分，平分．当射线绕点在内旋转时，求的度数．
（2）也是内的射线，如图2，若，平分，平分，当射线绕点在内旋转时，求的大小．

14．已知，O为直线AB上一点，射线OC将分成两部分，若时，

（1）如图1，若OD平分，OE平分，求的度数；
（2）如图2，在（1）的基础上，将以每秒的速度绕点O顺时针旋转，同时射线OC以每秒的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为．
①t为何值时，射线OC平分？
②t为何值时，射线OC平分？
15．如图，点O在直线AB上，．
（1）如图①，当的一边射线OC在直线AB上（即OC与OA重合），另一边射线OD在直线AB上方时，OF是的平分线，则的度数为_______．
（2）在图①的基础上，将绕着点O顺时针方向旋转（旋转角度小于），OE是的平分线，OF是的平分线，试探究的大小．
①如图②，当的两边射线OC、OD都在直线AB的上方时，求的度数．
小红、小英对该问题进行了讨论：
小红：先求出与的和，从而求出与的和，就能求出的度数．
小英：可设为x度，用含x的代数式表示、的度数，也能求出的度数．请你根据她们的讨论内容，求出的度数．
②如图③，当的一边射线OC在直线AB的上方，另一边射线OD在直线AB的下方时，小红和小英认为也能求出的度数．你同意她们的看法吗?若同意，请求出的度数；若不同意，请说明理由．
③如图④，当的两边射线OC、OD都在直线AB的下方时，能否求出的度数?若不能求出，请说明理由；若能求出，请直接写出的度数．

16．（学习概念） 如图1，在∠AOB的内部引一条射线OC，则图中共有3个角，分别是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“好好线”．
（理解运用）
（1）①如图2，若∠MPQ＝∠NPQ，则射线PQ ∠MPN的“好好线”（填“是”或“不是”）；
②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射线PQ是∠MPN的“好好线”，请用含α的代数式表示∠MPN；
（拓展提升）
（2）如图3，若∠MPN＝120°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒12°的速度逆时针旋转，旋转的时间为t秒．当PQ与PN成110°时停止旋转．同时射线PM绕点P以每秒6°的速度顺时针旋转，并与PQ同时停止． 当PQ、PM其中一条射线是另一条射线与射线PN的夹角的“好好线”时，则t＝ 秒．

17．如图，∠AOB＝150°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每秒6°；射线OD从OB开始，绕点O顺时针旋转，旋转的速度为每秒14°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t秒（0≤t≤25）．
（1）当t为何值时，射线OC与OD重合；
（2）当t为何值时，∠COD＝90°；
（3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC、OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由．

18．定义：在同一平两内，有公共端点的三条射线中，一条射线是另两条射线组成夹角的角平分线，我们称这三条射线为“共生三线”．
如图为一量角器的平面示意图，为量角器的中心．作射线，，，并将其所对应的量角器外圈刻度分别记为，，．
（1）若射线，，为“共生三线”，且为的角平分线．
①如图1，，，则______；
②当，时，请在图2中作出射线，，，并直接写出的值；
③根据①②的经验，得______（用含，的代数式表示）．
（2）如图3，，．在刻度线所在直线上方区域内，将，，按逆时针方向绕点同时旋转，旋转速度分别为每秒，，，若旋转秒后得到的射线，，为“共生三线”，求的值．

19．如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．（注：本题旋转角度最多．）

（1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过秒后，______度（用含的式子表示），若恰好平分，则______秒（直接写结果）．
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过秒后，______度（用含的式子表示）若平分，求为多少秒？
（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒平分？（直接写结果）
20．如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足|a+3|+（c﹣9）2＝0，b＝1．

（1）a＝　 　，c＝　 　；
（2）若将数轴折叠，使得A点与点C重合，则点B与数　 　表示的点重合．
（3）在（1）的条件下，若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，求当x取何值时代数式|x﹣a|﹣|x﹣c|取得最大值，并求此最大值．
（4）点P从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时点Q从点C处以2个单位/秒的速度也向左运动，在点Q到达点B后，以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），求第几秒时，点P、Q之间的距离是点C、Q之间距离的2倍？

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一、七年级上册数学压轴题

1．（1）80；（2）70°；（3）26
【分析】
（1）根据角平分线的定义进行角的计算即可；
（2）依据OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，即可得到∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD，再根据∠MO
解析：（1）80；（2）70°；（3）26
【分析】
（1）根据角平分线的定义进行角的计算即可；
（2）依据OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，即可得到∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD，再根据∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC进行计算即可；
（3）依据∠AOM=（10°+2t+20°），∠DON=（160°-10°-2t），∠AOM：∠DON=2：3，即可得到3（30°+2t）=2（150°-2t），进而得出t的值．
【详解】
解：（1）∵∠AOD=160°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，
∴∠MOB=∠AOB，∠BON=∠BOD，
∴∠MON=∠MOB+∠BON=∠AOB+∠BOD=（∠AOB+∠BOD）=∠AOD=80°，
故答案为：80；
（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD，
∴∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC
=∠AOC+∠BOD-∠BOC
=（∠AOC+∠BOD）-∠BOC
=×180-20
=70°；
（3）∵∠AOM=（2t+20°），∠DON=（160°-2t），
又∠AOM：∠DON=2：3，
∴3（20°+2t）=2（160°-2t）
解得，t=26．
答：t为26秒．
【点睛】
本题考查的是角平分线的定义和角的计算，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，解决本题的关键是理解动点运动情况．
2．（1）是；（2）10或0或20；(3) ；t=6；；t=12；；．
【分析】
（1）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的2倍关系，进行判断即可；
（2）由题意设C点表示的数为
解析：（1）是；（2）10或0或20；(3) ；t=6；；t=12；；．
【分析】
（1）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的2倍关系，进行判断即可；
（2）由题意设C点表示的数为x，再根据新定义列出合适的方程即可；
（3）根据题意先用t的代数式表示出线段AP，AQ，PQ，再根据新定义列出方程，得出合适的解即可求出t的值．
【详解】
解：（1）因原线段是中点分成的短线段的2倍，所以线段的中点是这条线段的巧点，
故答案为：是；
（2）设C点表示的数为x，则AC=x+20，BC=40-x，AB=40+20=60，
根据“巧点”的定义可知：
①当AB=2AC时，有60=2（x+20），
解得，x=10；
②当BC=2AC时，有40-x=2（x+20），
解得，x=0；
③当AC=2BC时，有x+20=2（40-x），
解得，x=20．
综上，C点表示的数为10或0或20；
（3）由题意得，
（i）、若0≤t≤10时，点P为AQ的“巧点”，有
①当AQ=2AP时，60-4t=2×2t，
解得，，
②当PQ=2AP时，60-6t=2×2t，
解得，t=6；
③当AP=2PQ时，2t=2（60-6t），
解得，；
综上，运动时间的所有可能值有；t=6；；
（ii）、若10＜t≤15时，点Q为AP的“巧点”，有
①当AP=2AQ时，2t=2×（60-4t），
解得，t=12；
②当PQ=2AQ时，6t-60=2×（60-4t），
解得，；
③当AQ=2PQ时，60-4t=2（6t-60），
解得，．
综上，运动时间的所有可能值有：t=12；；．
故，运动时间的所有可能值有：；t=6；；t=12；；．
【点睛】
本题是新定义题，是数轴的综合题，主要考查数轴上的点与数的关系，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是根据新定义列出方程并进行求解．
3．（1）15，3；（2）3；（3）存在，1或
【分析】
（1）根据两点间的距离公式可求点表示的数；根据线段的倍分关系可求点表示的数；
（2）算出点P运动到点C的时间即可求解；
（3）分点在点左侧时，点
解析：（1）15，3；（2）3；（3）存在，1或
【分析】
（1）根据两点间的距离公式可求点表示的数；根据线段的倍分关系可求点表示的数；
（2）算出点P运动到点C的时间即可求解；
（3）分点在点左侧时，点在点右侧时两种情况讨论即可求解．
【详解】
解：（1）点表示的数是；点表示的数是．
故答案为：15，3；
（2）当P运动到C点时，s，
则，点Q与点B的距离是：；
（3）假设存在，
当点在点左侧时，，，
，
，
解得．
此时点表示的数是1；
当点在点右侧时，，，
，
，
解得．
此时点表示的数是．
综上所述，在运动过程中存在，此时点表示的数为1或．
【点睛】
考查了数轴、两点间的距离，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
4．（1）5；（2）2秒；（3）当t的值为6或2时，M、N两点之间的距离为2个单位，此时点M表示的数为5或9．
【分析】
（1）用b表示BC、AB的长度，结合BC=2AB可求出b值；
（2）根据相遇时间
解析：（1）5；（2）2秒；（3）当t的值为6或2时，M、N两点之间的距离为2个单位，此时点M表示的数为5或9．
【分析】
（1）用b表示BC、AB的长度，结合BC=2AB可求出b值；
（2）根据相遇时间=相遇路程÷速度和，即可得出结论；
（3）用含t的代数式表示出点M，N表示的数，结合MN=2，即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
（1）∵．
又∵点B在点A、C之间，且满足BC=2AB，
∴9-b=2（b-3），
∴b=5．
（2）AC=9-3=6
6÷（2+1）=2，即两秒后相遇．
（3）M到达B点时t=（5-3）÷1=2（秒）；
M到达C点时t=（9-3）÷1=6（秒）；
N到达C时t=（9-3）÷2+2=5（秒）
N回到A点用时t=（9-3）÷2×2+2=8（秒）
当0≤t≤5时，N没有到达C点之前，
此时点N表示的数为3+2（t-2）=2t-1；
M表示的数为3+t
MN==2
解得 （舍去）或
此时M表示的数为5
当5≤t≤6时，N从C点返回，M还没有到达终点C
点N表示的数为9-2（t-5）=-2t+19；
M表示的数为3+t
MN==2
解得或（舍去）
此时M表示的数为9
当6≤t≤8时，N从C点返回，M到达终点C
此时M表示的数是9
点N表示的数为9-2（t-5）=-2t+19；
MN==2
解得
此时M表示的数是9
综上所述：当t的值为6或2时，M、N两点之间的距离为2个单位，此时点M表示的数为5或9．
【点睛】
本题考查了数轴上两点间的距离以及一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程．
5．（1）-2，1，5；（2）不变，值为1；（3）或
【分析】
（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值；
（2）用关于
解析：（1）-2，1，5；（2）不变，值为1；（3）或
【分析】
（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值；
（2）用关于t的式子表示BC和AB即可求解；
（3）分别求出当t=3时，A、B、C表示的数，得到AC和BC，根据AC=2BC列出方长，解之即可．
【详解】
解：（1）∵，b是最小的正整数，
∴c-5=0，a+2b=0，b=1，
∴a=-2，b=1，c=5，
故答案为：-2，1，5；
（2）∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，
∴t秒后，A表示的数为-t-2，B表示的数为2t+1，C表示的数为5t+5，
∴BC=5t+5-（2t+1）=3t+4，AB=2t+1-（-t-2）=3t+3，
∴BC-AB=3t+4-（3t+3）=1，
∴BC-AB的值不会随着时间t的变化而改变，BC-AB=1；
（3）当t=3时，
点A表示-2-3=-5，点B表示1+3n，点C表示5+5×3=20，
∴AC=20-（-5）=25，BC=，
∵AC=2BC，
则25=2，
则25=2（19-3n），或25=2（3n-19），
解得：n=或．
【点睛】
此题考查一元一次方程的实际运用，以及数轴与绝对值，正确理解AB，BC的变化情况是关键．
6．（1）-2或1或4；（2）①43-n；②33；（3）210次
【分析】
（1）先得出一次操作后所可能表示的数，再得出第二次操作后的数；
（2）①根据题意列出代数式即可；
②令①中代数式的值为10，求
解析：（1）-2或1或4；（2）①43-n；②33；（3）210次
【分析】
（1）先得出一次操作后所可能表示的数，再得出第二次操作后的数；
（2）①根据题意列出代数式即可；
②令①中代数式的值为10，求出n值即可；
（3）设跳蚤向右运动了m次，根据题意列出方程，解出m值，再加上50即可．
【详解】
解：（1）∵a=0，
则一次操作后表示的数为-1或2，
则两次操作后表示的数为-2或1或4；
（2）①由题意可得：
a=3时，向右运动了20次，向左运动了n次，
∴最后表示的数为：3+20×2-n=43-n；
②令43-n=10，
则n=33；
（3）设跳蚤向右运动了m次，
根据题意可得：
-10-50+2m=260，
则m=160，
∴操作次数为50+160=210．
【点睛】
本题考查了数轴，一元一次方程，解题的关键是要理解“一次操作”的意义．
7．（1）a=-2，b=6；（2）或14；（3）①甲：-2-2t，乙：6-3t；②6秒或10秒
【分析】
（1）根据非负数的性质求得a=-2，b=6；
（2）分C点在线段AB上和线段AB的延长线上两种情
解析：（1）a=-2，b=6；（2）或14；（3）①甲：-2-2t，乙：6-3t；②6秒或10秒
【分析】
（1）根据非负数的性质求得a=-2，b=6；
（2）分C点在线段AB上和线段AB的延长线上两种情况讨论即可求解；
（3）①根据两个小球的运动情况直接列式即可；
②根据甲、乙两小球在数轴上表示的数列出关于t的方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴a+2=0，b-6=0，
解得，a=-2，b=6，
故答案为：a=-2，b=6；
（2）设数轴上点C表示的数为c．
∵AC=2BC，
∴|c-a|=2|c-b|，即|c+2|=2|c-6|．
∵AC=2BC＞BC，
∴点C不可能在BA的延长线上，则C点可能在线段AB上和线段AB的延长线上．
①当C点在线段AB上时，则有-2≤c≤6，
得c+2=2（6-c），解得；
②当C点在线段AB的延长线上时，则有c＞6，
得c+2=2（c-6），解得c=14．
故当AC=2BC时，c=或c=14；
（3）①∵甲球运动的路程为：2•t=2t，OA=2，
∴甲球在数轴上表示的数为-2t-2；
乙球运动的路程为：3•t=3t，OB=6，
乙球在数轴上表示的数为：6-3t；
②由题意得：，
解得：t=10或t=6，
∴甲、乙两小球相距两个单位时所经历的时间为6秒或10秒．
【点睛】
本题考查了非负数的性质，一元一次方程，数轴，两点间的距离，有一定难度，运用分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键．
8．（1）①14；②8；③16或12；（2）或；（3）当时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为；当时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为
【分析】
（1）①根据距离定义可直接求得答案14．②
解析：（1）①14；②8；③16或12；（2）或；（3）当时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为；当时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为
【分析】
（1）①根据距离定义可直接求得答案14．②根据题目要求，P在数轴上点A与B之间，所以根据BP＝AB−AP进行求解．③需要考虑两种情况，即P在数轴上点A与B之间时和当P不在数轴上点A与B之间时．当P在数轴上点A与B之间时，AP＝AB−BP．当P不在数轴上点A与B之间时，此时有两种情况，一种是超越A点，在A点左侧，此时BP＞14，不符合题目要求．另一种情况是P在B点右侧，此时根据AP＝AB＋BP作答．
（2）根据前面分析，C不可能在AB之间，所以，C要么在A左侧，要么在B右侧．根据这两种情况分别进行讨论计算．
（3）因为M点的速度为每秒2个单位长度，远小于P、Q的速度，因此M点永远在P、Q的右侧．“当其中一个点与另外两个点的距离相等时”这句话可以理解成一点在另外两点正中间．因此有几种情况进行讨论，第一是Q在P和M的正中间，另一种是P在Q和M的正中间．第三种是PQ重合时，MP＝MQ，三种情况分别列式进行计算求解．
【详解】
（1）①∵点代表的数是，点代表的数是2．
∴．
故答案为：14．
②∵点为数轴上之间的一点，且，
∴．
故答案为：8．
③∵点为数轴上一点，且，
∴，
∴或12．
故答案为：16或12．
（2）∵点到点的距离与点到点的距离之和为35．
当点在点左侧时，
，
∴，
∴点表示的数为．
当点在点右侧时，
，
∴，
∴点表示的数为，
∴点表示的数为或．
（3）①当点到点、两个点距离相等时，
，
解得．
此时点表示的数为，
点表示的数为，
点表示的数为．
②当点到、两个点距离相等时，
，
解得（舍）．
③当、重合时，即点到、两个点距离相等，
，
解得，
此时点表示的数为，
点表示的数为．
点表示的数为．
因此，当时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为；当时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为．
【点睛】
本题考查了动点问题与一元一次方程的应用．在充分理解题目要求的基础上，可借助数轴用数形结合的方法求解．在解答过程中，注意动点问题的多解可能，并针对每一种可能进行讨论分析．
9．（1）-1；（2）①﹣1+t；②121；③线段CB与AC相等，理由详见解析．
【分析】
（1）依据条件即可得到点A表示﹣6，点B表示﹣6+10＝4，再根据点C是线段AB的中点，即可得出点C表示的数；
解析：（1）-1；（2）①﹣1+t；②121；③线段CB与AC相等，理由详见解析．
【分析】
（1）依据条件即可得到点A表示﹣6，点B表示﹣6+10＝4，再根据点C是线段AB的中点，即可得出点C表示的数；
（2）依据点C表示的数为﹣1，点以每秒1cm的速度向右移动，即可得到运动t秒时，点C表示的数是﹣1+t；
②依据点A表示的数为﹣6﹣2×2＝﹣10，点B表示的数为4+4×2＝12，点C表示的数是﹣1+2＝1，即可得到CB•AC的值；
③依据点A表示的数为﹣6﹣2t，点B表示的数为4+4t，点C表示的数是﹣1+t，即可得到点A、B、C在运动的过程中，线段CB与AC相等．
【详解】
解：（1）∵一个点从数轴上的原点开始，先向左移动6cm到达A点，再从A点向右移动10cm到达B点，
∴点A表示﹣6，点B表示﹣6+10＝4，
又∵点C是线段AB的中点，
∴点C表示的数为＝﹣1，
故答案为：﹣1．
（2）①∵点C表示的数为﹣1，点以每秒1cm的速度向右移动，
∴运动t秒时，点C表示的数是﹣1+t，
故答案为：﹣1+t；
②由题可得，当t＝2秒时，点A表示的数为﹣6﹣2×2＝﹣10，点B表示的数为4+4×2＝12，点C表示的数是﹣1+2＝1，
∴当t＝2秒时，AC＝11，BC＝11，
∴CB•AC＝121，
故答案为：121；
③点A、B、C在运动的过程中，线段CB与AC相等．理由：
由题可得，点A表示的数为﹣6﹣2t，点B表示的数为4+4t，点C表示的数是﹣1+t，
∴BC＝（4+4t）﹣（﹣1+t）＝5+3t，AC＝（﹣1+t）﹣（﹣6﹣2t）＝5+3t，
∴点A、B、C在运动的过程中，线段CB与AC相等．
【点睛】
本题考查数轴上动点问题，整式的加减,与线段有关的动点问题．（1）理解数轴上线段的中点表示的数是两个端点所表示的数的和除以2；（2）掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键，数轴上两点之间对应的距离等于它们所表示的数差的绝对值．
10．（1）①10，3；②−2＋4t，8+t；（2）t＝，相遇点表示的数为；（3）t＝5或；（4）线段的长不发生变化，MN=5
【分析】
（1）①根据A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为，即可得到答
解析：（1）①10，3；②−2＋4t，8+t；（2）t＝，相遇点表示的数为；（3）t＝5或；（4）线段的长不发生变化，MN=5
【分析】
（1）①根据A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为，即可得到答案；②根据题意直接表示出P，Q所对应的数，即可；
（2）当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等列方程，得到t的值，进而得到 P、Q相遇的点所对应的数；
（3）由t秒后，点P表示的数−2＋4t，点Q表示的数为8+t，于是得到PQ的表达式，结合，列方程即可得到结论；
（4）由点M表示的数为，点N表示的数为，即可得到结论．
【详解】
解：（1）①A、B两点间的距离AB＝|−2−8|＝10，线段AB的中点表示的数为：，
故答案是：10，3；
②由题意可得，后，点P表示的数为：−2＋4t，点Q表示的数为：8+t，
故答是：−2＋4t，8+t；
（2）∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等
∴−2＋4t＝8+t，
解得：t＝，
∴当t＝时，P、Q相遇，
此时，8+t＝8＋，
∴相遇点表示的数为；
（3）∵t秒后， PQ＝|（−2＋4t）−（8+t）|＝|3t−10|，
∵＝×10＝5，
∴|3t−10|＝5，
解得：t＝5或，
∴当t＝5或，；
（4）∵M为的中点，N为的中点，
∴点M表示的数为  ，
点N表示的数为  ，
∴MN＝，
即：线段的长不发生变化，MN=5．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程是解题的关键 ．
11．（1）80°，24°；（2）t＝15；（3）10或20
【分析】
（1）代入计算即可求解；
（2）根据角度的相遇问题列出方程计算即可求解；
（3）分两种情况：当0＜t≤15时；当15＜t≤20时；列
解析：（1）80°，24°；（2）t＝15；（3）10或20
【分析】
（1）代入计算即可求解；
（2）根据角度的相遇问题列出方程计算即可求解；
（3）分两种情况：当0＜t≤15时；当15＜t≤20时；列出方程计算即可求解．
【详解】
解：（1）当t＝5时，∠AOP＝2t＝10°，∠BOQ＝6t＝30°，
∴∠POQ＝∠AOB﹣∠AOP﹣∠BOQ＝120°﹣10°﹣30°＝80°；
当t＝18时，∠AOP＝2t＝36°，∠BOQ＝6t＝108°，
∴∠AOQ＝120°﹣108°＝12°，
∴∠POQ＝∠AOP﹣∠AOQ＝36°﹣12°＝24°；
（2）当OP与OQ重合时，
依题意得：2t+6t＝120，
解得：t＝15；
（3）当0＜t≤15时，
依题意得：2t+6t+40＝120，
解得：t＝10，
当15＜t≤20时，
依题意得：2t+6t﹣40＝120，
解得：t＝20，
∴当∠POQ＝40°时，t的值为10或20．
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意学会由分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
12．（1）20°，；（2）成立，理由见详解；（3）180°－．
【分析】
（1）如图1，根据平角的定义和∠COD＝90°，得∠AOC＋∠BOD＝90°，从而∠BOD＝50°，OE是∠BOC的平分线，可得
解析：（1）20°，；（2）成立，理由见详解；（3）180°－．
【分析】
（1）如图1，根据平角的定义和∠COD＝90°，得∠AOC＋∠BOD＝90°，从而∠BOD＝50°，OE是∠BOC的平分线，可得∠BOE＝70°，由角的和差得∠DOE＝20°；同理可得：∠DOE＝α；
（2）如图2，根据平角的定义得：∠BOC＝180°－α，由角平分线定义得：∠EOC＝∠BOC＝90°－α，根据角的差可得（1）中的结论还成立；
（3）同理可得：∠DOE＝∠COD＋∠COE＝180°－α．
【详解】
解：（1）如图1，∵∠COD＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，
∵∠AOC＝40°，
∴∠BOD＝50°，
∴∠BOC＝∠COD＋∠BOD＝90°＋50°＝140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠BOC＝70°，
∴∠DOE＝∠BOE－∠BOD＝20°，
②如图1，由（1）知：∠AOC＋∠BOD＝90°，
∵∠AOC＝α，
∴∠BOD＝90°﹣α，
∴∠BOC＝∠COD＋∠BOD＝90°＋90°﹣α＝180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠BOC＝90°﹣α，
∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝90°﹣α﹣（90°﹣α）＝α，
（2）（1）中的结论还成立，理由是：
如图2，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝α，
∴∠BOC＝180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠EOC＝∠BOC＝90°﹣α，
∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣（90°﹣α）＝α；
（3）如图3，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝α，
∴∠BOC＝180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠EOC＝∠BOC＝90°﹣α，
∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD＋∠COE＝90°＋（90°﹣α）＝180°﹣α．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、平角的定义及角的和与差，能根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键．
13．（1）；（2）
【分析】
（1）根据角平分线的定义求出和，然后根据代入数据进行计算即可得解；
（2）根据角平分线的定义表示出和，