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第六章 实数单元测试题

一、选择题
1．如图将1、、、按下列方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之积是（ ）．

A．1 B． C． D．
2．下列说法中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．将不大于实数的最大整数记为，则（ ）
A． B． C． D．
4．有下列说法：①在1和2之间的无理数有且只有这两个；②实数与数轴上的点一一对应；③两个无理数的积一定是无理数；④是分数．其中正确的为（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．②④ D．②
5．估计65的立方根大小在（ ）
A．8与9之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
6．下列说法正确的个数是（ ）．
（1）无理数不能在数轴上表示
（2）两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等
（3）经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
（4）两点之间线段最短
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．下列说法中，正确的个数是（ ）．
（）的立方根是；（）的算术平方根是；（）的立方根为；（）是的平方根．
A． B． C． D．
8．有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④是17的平方根.其中正确的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．下列实数中，无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．的平方根是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若已知，则_____．
12．a是不为2的有理数，我们把2称为a的“文峰数”如：3的“文峰数”是，-2的“文峰数”是，已知a1=3，a2是a1的“文峰数”， a3是a2的“文峰数”， a4是a3的“文峰数”，……，以此类推，则a2020=______
13．已知，x、y是有理数，且y＝+ ﹣4，则2x+3y的立方根为_____．
14．规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．当﹣1＜x＜1时，化简[x]+（x）+[x）的结果是_____．
15．任何实数a，可用[a]表示不大于a的最大整数，如[4]=4，，现对72进行如下操作：72→=8→→=1，类似地：
（1）对64只需进行________次操作后变为1；
（2）只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________．
16．规定用符号表示一个实数的整数部分，如，按此规定_____．
17．设，都是有理数，规定 ，则=__________．
18．将，，这三个数按从小到大的顺序用“<”连接________．
19．的整数部分是________．
20．如果，是的整数部分，那么_______．
三、解答题
21．规定两数a，b之间的一种运算，记作(a，b)：如果，那么(a，b)=c．
例如：因为23=8，所以(2，8)=3．
（1）根据上述规定，填空：
（3，27）=_______，（5，1）=_______，（2， ）=_______．
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）=（3，4）小明给出了如下的证明：
设（3n，4n）=x，则（3n）x=4n，即（3x）n=4n
所以3x=4，即（3，4）=x，
所以（3n，4n）=（3，4）．
请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由：(4，5)+(4，6)=(4，30)
22．已知与互为相反教，是的方根，求的平方根
23．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：；
例如：比较与2的大小
∵ 又∵ 则
∴
∴
请根据上述方法解答以下问题：比较与的大小．
24．阅读下列材料：
问题：如何计算呢？
小明带领的数学活动小组通过探索完成了这道题的计算．他们的解法如下：
解：原式

请根据阅读材料，完成下列问题：
（1）计算：；
（2）计算：；
（3）利用上述方法，求式子的值．
25．（1）计算：；
（2）若的平方根为，的立方根为，求的算术平方根．
26．已知、在数轴上对应的数分别用、表示，且，点是数轴上的一个动点．
（1）求出、之间的距离；
（2）若到点和点的距离相等，求出此时点所对应的数；
（3）数轴上一点距点个单位长度，其对应的数满足．当点满足时，求点对应的数．

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一、选择题

1．B
解析：B
【分析】
首先从排列图中可知：第1排有1个数，第2排有2个数，第3排有3个数，然后抽象出第5排第4个数，第15排第8个数，然后可以得到答案．
【详解】
解：表示第5排从左往右第4个数是， 表示第15排第8个数，从上面排列图中可以看出奇数行1排在最中间，所以第15行最中间是1，且为第8个，所以1和 的积是．
故本题选B．
【点睛】
本题是规律题的呈现，考查学生的从具体情境中抽象出一般规律，考查学生观察与归纳能力．
2．D
解析：D
【分析】
根据绝对值的性质、平方根的性质、倒数的性质、平方和立方的性质对各项进行判断即可．
【详解】
若则，故A错误；
若则或，故B错误；
当时，故C错误；
若，则，正确，
故答案为：D．
【点睛】
本题考查了有理数的运算，掌握有理数性质的运算是解题的关键．
3．B
解析：B
【分析】
根据无理数的估算，求出的范围，再求出的范围，即可得出答案
【详解】
解：∵1＜＜2
∴﹣2＜＜﹣1
∴﹣2
故答案为B
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，估算出的范围是解题的关键.
4．D
解析：D
【分析】
根据无理数的定义与运算、实数与数轴逐个判断即可得．
【详解】
①在1和2之间的无理数有无限个，此说法错误；
②实数与数轴上的点一一对应，此说法正确；
③两个无理数的积不一定是无理数，如，此说法错误；
④是无理数，不是分数，此说法错误；
综上，说法正确的为②，
故选：D．
【点睛】
本题考查了无理数的定义与运算、实数与数轴，熟练掌握运算法则和定义是解题关键．
5．C
解析：C
【分析】
先确定介于、这两个立方数之间，从而可以得到，即可求得答案．
【详解】
解：∵，
∴
∴．
故选：C
【点睛】
本题考查了无理数的估算，“夹逼法”是估算的一种常用方法，找到与临界的两个立方数是解决问题的关键．
6．B
解析：B
【分析】
根据数轴与实数，平行线的性质与判定以及两点之间线段最短对每个说法逐一判断后即可得到答案．
【详解】
（1）实数与数轴上的点一一对应，故无理数能在数轴上表示出来，故原说法错误；
（2）两条平行直线被第三条直线所截，那么内错角相等，故原说法错误；
（3）经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误；
（4）两点之间线段最短，正确．
故选B．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟知课本上的一些定义与定理．
7．C
解析：C
【解析】
根据立方根的意义，可知，故（）对；
根据算术平方根的性质，可知的算术平方根是，故（）错；
根据立方根的意义，可知的立方根是，故（）对；
根据平方根的意义，可知是的平方根．故（）对；
故选C.
8．B
解析：B
【详解】
解：①实数和数轴上点一一对应，本小题错误；
②π不带根号，但π是无理数，故本小题错误；
③负数有立方根，故本小题错误；
④是17的平方根，本小题正确，
正确的只有④一个，故选B．
9．B
解析：B
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．由此分析判断即可．
【详解】
解：∵=-2，，故与是有理数；
是无限循环小数，可以化为分数，属于有理数；属于有理数；0是有理数；
是无理数，故无理数共2个．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有如下三种形式：①含π的数，如π，2π等；②开方开不尽的数；③像0.1010010001…这样有一定规律的无限不循环小数．
10．D
解析：D
【分析】
先计算出=4，再求出4的算术平方根即可
【详解】
∵=4，4的平方根是±2，
∴的平方根是
故选D.
【点睛】
本题主要考查了算术平方根与平方根的求法，求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
二、填空题

11．6
【分析】
分别根据绝对值、平方和算术平方根的非负性求得a、b、c的值，代入即可．
【详解】
解：因为，
所以，
解得，
故，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查非负数的性质，主要考查绝对值、平方
解析：6
【分析】
分别根据绝对值、平方和算术平方根的非负性求得a、b、c的值，代入即可．
【详解】
解：因为，
所以，
解得，
故，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查非负数的性质，主要考查绝对值、平方和算术平方根的非负性．理解几个非负数（式）的和为0，那么这几个数或（式）都为0是解题关键．
12．．
【分析】
先根据题意求得、、、，发现规律即可求解．
【详解】
解：∵a1=3
∴，，，，
∴该数列为每4个数为一周期循环，
∵
∴a2020=．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查规律的探索，
解析：．
【分析】
先根据题意求得、、、，发现规律即可求解．
【详解】
解：∵a1=3
∴，，，，
∴该数列为每4个数为一周期循环，
∵
∴a2020=．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查规律的探索，解题的关键是根据题意发现规律．
13．-2．
【分析】
根据二次根式有意义的条件可得x＝2，进而可得y的值，然后计算出2x+3y的值，进而可得立方根．
【详解】
解：由题意得：，
解得：x＝2，
则y＝﹣4，
2x+3y＝2×2+3×（
解析：-2．
【分析】
根据二次根式有意义的条件可得x＝2，进而可得y的值，然后计算出2x+3y的值，进而可得立方根．
【详解】
解：由题意得：，
解得：x＝2，
则y＝﹣4，
2x+3y＝2×2+3×（﹣4）＝4﹣12＝﹣8．
∴．
故答案是：﹣2．
【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
14．﹣2或﹣1或0或1或2．
【分析】
有三种情况：
①当时，[x]＝-1，（x）＝0，[x）=-1或0，
∴[x]+（x）+[x）＝-2或-1；
②当时，[x]＝0，（x）＝0，[x）=0，
∴[x]
解析：﹣2或﹣1或0或1或2．
【分析】
有三种情况：
①当时，[x]＝-1，（x）＝0，[x）=-1或0，
∴[x]+（x）+[x）＝-2或-1；
②当时，[x]＝0，（x）＝0，[x）=0，
∴[x]+（x）+[x）＝0；
③当时，[x]＝0，（x）＝1，[x）=0或1，
∴[x]+（x）+[x）＝1或2；
综上所述，化简[x]+（x）+[x）的结果是-2或﹣1或0或1或2.
故答案为-2或﹣1或0或1或2.
点睛：本题是一道阅读理解题.读懂题意并进行分类讨论是解题的关键.
【详解】
请在此输入详解！
15．255
【分析】
（1）根据题意的操作过程可直接进行求解；
（2）根据题意可得最后取整为1，得出前面的一个数最大是3，再向前推一步取整的最大整数为15，依此可得出答案．
【详解】
解：（1）
解析：255
【分析】
（1）根据题意的操作过程可直接进行求解；
（2）根据题意可得最后取整为1，得出前面的一个数最大是3，再向前推一步取整的最大整数为15，依此可得出答案．
【详解】
解：（1）由题意得：
64→=8→→=1，
∴对64只需进行3次操作后变为1，
故答案为3；
（2）与上面过程类似，有256→=16→→=2→，对256只需进行4次操作即变为1，类似的有255→=15→→=1，即只需进行3次操作即变为1，故最大的正整数为255；
故答案为255．
【点睛】
本题主要考查算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根是解题的关键．
16．-3
【分析】
先确定的范围，再确定的范围，然后根据题意解答即可．
【详解】
解：∵3＜＜4
∴-3＜＜-2
∴-3
故答案为-3．
【点睛】
本题考查了无理数整数部分的有关计算，确定的范围是解答本
解析：-3
【分析】
先确定的范围，再确定的范围，然后根据题意解答即可．
【详解】
解：∵3＜＜4
∴-3＜＜-2
∴-3
故答案为-3．
【点睛】
本题考查了无理数整数部分的有关计算，确定的范围是解答本题的关键．
17．1
【分析】
根据规定，利用算术平方根与立方根的定义计算即可得答案．
【详解】
∵，
∴
=（）（）
=（2+2）（3-4）
=4（-1）
=
=2-1
=1．
故答案为：1
【点睛】
本题考查平方
解析：1
【分析】
根据规定，利用算术平方根与立方根的定义计算即可得答案．
【详解】
∵，
∴
=（）（）
=（2+2）（3-4）
=4（-1）
=
=2-1
=1．
故答案为：1
【点睛】
本题考查平方根与立方根，正确理解规定，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题关键．
18．＜＜
【分析】
先根据数的开方法则计算出和的值，再比较各数大小即可．
【详解】
==，==，
∵＞3＞2，
∴＜＜，即＜＜，
故答案为：＜＜
【点睛】
本题考查实数的大小比较，正确化简得出和的值是解
解析：＜＜
【分析】
先根据数的开方法则计算出和的值，再比较各数大小即可．
【详解】
==，==，
∵＞3＞2，
∴＜＜，即＜＜，
故答案为：＜＜
【点睛】
本题考查实数的大小比较，正确化简得出和的值是解题关键．
19．6
【分析】
求出在哪两个整数之间，从而判断的整数部分．
【详解】
∵，，
又∵36＜46＜49
∴6＜＜7
∴的整数部分为6
故答案为：6
【点睛】
本题考查无理数的估算，正确掌握整数的平方数是解
解析：6
【分析】
求出在哪两个整数之间，从而判断的整数部分．
【详解】
∵，，
又∵36＜46＜49
∴6＜＜7
∴的整数部分为6
故答案为：6
【点睛】
本题考查无理数的估算，正确掌握整数的平方数是解题的关键．
20．12
【分析】
先根据算术平方根的定义求出a的值，再根据无理数的估算得出b的值，然后计算有理数的乘法即可．
【详解】

，即
的整数部分是2，即
则
故答案为：．
【点睛】
本题考查了算术平方根的
解析：12
【分析】
先根据算术平方根的定义求出a的值，再根据无理数的估算得出b的值，然后计算有理数的乘法即可．
【详解】

，即
的整数部分是2，即
则
故答案为：．
【点睛】
本题考查了算术平方根的定义、无理数的估算，根据无理数的估算方法得出b的值是解题关键．
三、解答题

21．（1）3，0，-2 (2) (4，30)
【解析】
分析：（1）根据阅读材料，应用规定的运算方式计算即可；
（2）应用规定和同底数幂相乘的性质逆用变形计算即可.
详解：（1）∵33=27
∴（3，27）=3
∵50=1
∴（5，1）=1
∵2-2=
∴（2，）=-2
（2）设（4，5）=x，（4，6）=y
则，=6
∴
∴（4，30）=x+y
∴(4，5)+(4，6)=(4，30)
点睛：此题是一个规定计算的应用型的题目，关键是灵活应用规定的关系式计算，熟练记忆幂的相关性质.
22．±
【分析】
根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列方程求出x、y的值，然后求出z的值，再根据平方根的定义解答．
【详解】
解：∵与互为相反数，
∴+ =0，
∴x+1=0,2-y=0，
解得x=-1，y=2，
∵是的方根，
∴z=8
所以，=-1-2+8=5，
所以，的平方根是±．
【点睛】
此题考查非负数的性质，相反数，平方根的定义，解题关键在于掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
23．
【分析】
根据例题得到，再判断5与的大小即可得到答案.
【详解】
解：，
∵，
∴，
∴，
∴.
【点睛】
此题考查实数的大小比较方法，两个实数可以利用做差法比较大小.
24．（1）原式＝ （2）原式＝ （3）原式＝
【分析】
（1）类比题目中的拆项方法，类比得出答案即可；
（2）先把原式拆分成题（1）原式的样子，再根据（1）的拆项方法，类比得出答案即可；
（3）分母是相差4的两个自然数的乘积，类比拆成以两个自然数为分母，分子为1的两个自然数差的即可．
【详解】
解：（1）原式＝（1－）＋（－）＋（－）＋……＋（－）
＝1－
＝；
（2）原式＝
＝（1－）＋（－）＋（－）＋……＋（－）
＝1－
＝
（3）原式＝×（）
＝×（1－＋－＋－＋－）
＝×（1－）
＝×
＝
【点睛】
本题考查算式的规律，注意分子、分母的特点，解题的关键是根据规律灵活拆项，并进一步用规律解决问题．
25．（1）；（2）．
【分析】
（1）根据立方根、绝对值、乘方进行运算即可；
（2）利用平方根、立方根的定义求出x、y的值，再利用算术平方根的定义即可解答
【详解】
解：（1）原式=
=
（2）∵的平方根为，的立方根为
∴
∴
∴
∴的算术平方根是：
【点睛】
本题考查了绝对值、乘方、平方根、立方根、算术平方根的定义，解题的关键是掌握计算的方法，准确的进行化简求值.
26．（1）12；（2）-4；（3）或
【分析】
（1）根据平方与绝对值的和为0，可得平方与绝对值同时为0，可得a、b的值，根据两点间的距离，可得答案；
（2）根据A和B所对应的数，可得AB中点所表示的数，即为点P所表示的数；
（3）根据题意可以得到c的值，然后利用分类讨论的方法即可求得点P对应的数.
【详解】
解：（1）∵，
∴，，
解得：a=2，b=-10，
∴A、B之间的距离为：2-（-10）=12；
（2）∵P到A和B的距离相等，
∴此时点P所对应的数为：；
（3）∵|ac|=-ac，a=2＞0，
∴c＜0，又|AC|=，
∴c=，BC=12-，
∵，
①P在BC之间时，点P表示，
②P在C点右边时，点P表示，
∴点P表示的数为：或.
【点睛】
本题主要考查数轴上的点与绝对值的关系和平方与绝对值的非负性，另外此题有一个易错点，第（3）题中，要注意距离与数轴上的点的区别．