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第二章 矩阵及其运算王航平2.1 基本概念2.1.1 矩阵及其运算矩阵的定义：由个数排成m行n列的如下矩形阵列：称为矩阵。注：（1）矩阵符号与行列式符号之间的差异：矩阵符号是圆括号，而行列式符号是两竖；（2）矩阵是阵，即是一个表，而行列式是一个数值。矩阵的运算：加法：设两个矩阵，那末矩阵与的和记作，规定为注意：只有同型矩阵，相加才有意义。运算律：设都是矩阵，则（1）加法交换律：；（2）加法结合律：（3）负矩阵：，则，有（4）零矩阵：，。数乘：数与矩阵的乘积运算律：设都是矩阵，都是数，则（1） 数乘结合律：；（2） ；（3） 矩阵对数的加法的分配律：；（4） 数对矩阵加法的分配律：。乘法：设是一个矩阵，是一个矩阵，那末规定矩阵A与B的乘积是一个矩阵，其中并把此乘积记为。即积矩阵的元素，为左矩阵的第行与右矩阵的第列对应元素乘积之和。注：两矩阵能相乘，要求左矩阵的列数等于右矩阵的行数。运算律：设下述矩阵乘积均有意义（1） 乘法结合律：；（2） 乘积与数乘的关系：；（3） 乘积对加法的左右分配律：，；（4） 乘法单位元：。注：（1）矩阵乘法不满足交换律，即一般有：；（因此，所有乘法公式与二项式公式在矩阵中不成立。）（2）矩阵乘法不满足乘法左（右）消去律，即一般有：若，不一定有；或若，不一定有；（3）矩阵乘法有零因子：即且，有。矩阵的转置：设是一个矩阵，定义的转置为一个矩阵，它的第行正好是的第列。运算律：（1）；（2）；（3）；（4）。方阵乘积的行列式：定理：两个同阶方阵积的行列式等于行列式的积，即有。212 逆矩阵逆矩阵的概念：设是n阶方阵，如果存在n阶方阵，使得且，则称是可逆矩阵，称是的逆矩阵，记为。可逆矩阵也称为非奇异矩阵。并非任意一个非零方阵都是可逆矩阵，不是可逆的矩阵称为奇异矩阵。逆矩阵适合的运算律（下列矩阵均假定是可逆矩阵）：（1）；（2）。（3）；（4）。可逆矩阵和奇异矩阵的性质性质1：可逆矩阵之积必为可逆矩阵。性质2：任意一个方阵和同阶奇异阵之积必是奇异矩阵。伴随矩阵：设是一个n阶方阵，行列式中元素的代数余子式记为，称下列矩阵为的伴随矩阵，记为：伴随矩阵具有重要的性质：。定理：设是一个n阶方阵，则是可逆矩阵的充要条件是的行列式，这时。可逆矩阵的等价命题：（1） n阶方阵可逆的充要条件是的行列式；（2） n阶方阵可逆的充要条件是的秩；（3） n阶方阵可逆的充要条件是可以表示为有限个初等矩阵的乘积；（4） n阶方阵可逆的充要条件是等价于n阶单位矩阵。213 分块矩阵分块矩阵的概念：设是一个矩阵，若用若干条横线将它分成r块，再用若干条纵线将它分成s块，我们得到了一个有rs块的分块矩阵，可记为这里表示一个矩阵，而不是一个数。通常称为的第块。分块矩阵的运算：分块矩阵的运算在形式上和数字矩阵完全一样，这里不再赘述。最重要的分块矩阵是下面的分块对角阵。分块对角阵：（1） 乘积：若是分块对角阵且符合相乘条件，则也是对角阵，即有；（2） 乘方：；（3） 求逆：若是可逆矩阵，则。22 例题解析221矩阵计算例1：下列命题是否成立：（1）；（2）；（3），则；（4）则或；（5），则；（6）；（7）。解：一般情况下，上述7个结论均不成立。（1），（2）不成立：这是因为，矩阵乘法不满足交换律，所以乘法公式与二项式公式一般情况下均不成立。（3），（4）不成立：又因为矩阵乘积有零因子，消去律不成立。（5）不成立：零矩阵与行列式为零是两回事，如，但。（6）不成立：，当n2时，。（7）不成立：如，但。例2：（1）命题“，则”是否正确？若正确，试证明之；不正确，试举例说明。解：不正确。如：时，有但。（2）是2阶矩阵，求满足的所有。解：（a）时，有，或；（b）否则，可解得，。（3）证明：若，且，则。证明：由，所以有，所以。例3：设为n阶矩阵，且满足及，求证：。证明：得得同理有。例4：设是n阶对称矩阵，是n阶反对称矩阵。证明是对称矩阵。证明：由条件有，由所以是对称矩阵。注：此题仅需注意对称矩阵与反对称矩阵的定义即可。例5：设，求及。解：。例6：设，求。解：方法1：由，其中。由的性质有：，。当时，；当时，；当时，由B与E可交换，所以可用二项式公式。方法2：先求，猜出一般公式，再用数学归纳法证明该公式即可。（略）例7：设，求及。解：可将A分块为，其中，。，；，；。2. 2. 2 矩阵的逆例1:用伴随矩阵求的逆矩阵。解：用伴随矩阵求的逆矩阵的方法，一般用于2，3阶行列式或用于证明。通常可以用如下程序计算：。9（2）53141，。注：求时，应注意3点：（1）由于，（这里用表示中的元素），在计算时同时要考虑这一点，并非易事，所以这时我们先设计为对应计算再转置，即先在矩阵符号的右上方写上转置符号，再在矩阵的位置上写上。这时务须注意先写上转置符号。（2）在计算时，由于在原矩阵中易看出的是余子式，而非代数余子式，故这时设计为先处理为余子式，这样在计算时时就不易出错。（3）虽然每一步的计算都很容易，但步数一多，出错在所难免，所以计算完成后一定要进行验算，以保证最后结果的正确性。例2:设,求。解：可利用伴随矩阵的方法求出，；由条件，。又，；，即。注：凡涉及伴随矩阵的题目，只须设法使用如下公式即可：。例3：求下列矩阵的逆：。解：可利用伴随矩阵计算，得，。例4：设，矩阵满足，求矩阵。解：，（因为A与E可换）而可逆，。223分块运算例1：设，用指定的分块用分块矩阵方法求与。解：；。注：分块矩阵在进行转置时，要分两步进行：（1）视块为元素进行转置；（2）再对每一块进行转置。例2：设，求。解：；例3：设n阶方阵与s阶方阵均可逆，求。解: 。224 方阵的行列式例1：设为3阶行列式，且，则（1）；解：。（2）；解：。（3）；解：一般地，由可逆，有。所以此题有。（4）；解：。（5）；解：。（6）。解：。例2：设为4阶行列式，求。解：。23自测试卷一、选择题：（5315）1、 设A和B为n阶可逆矩阵，则；（A），（B），（C），（D）。2、设A和B都是n阶方阵，若，则A与B_；（A）必有一个是奇异矩阵，（B）至少有一个是零矩阵，（C）两个矩阵都是奇异矩阵，（D）至少有一个矩阵可逆。3、若A为矩阵，B为矩阵，则AB与BA两个方阵_；（A）当一个可逆时，另一个也可逆；（B）当一个不可逆时，另一个也不可逆；（C）至少有一个不可逆；（D）至少有一个可逆。4、设同阶方阵A和B都可逆，则下列结论只有_正确；（A），（B），（C），（D）。5、设A和B都是n阶可逆矩阵，则；（A），（B），（C），（D）。二、填空题：（5315）1、。2、 已知，若，则_。3、 矩阵不是可逆矩阵，则的值等于_.4、 若，则_。5、 设都是可逆矩阵，的逆矩阵为_。三、计算题：（61060）1、 设，。（1） 求；（2） 已知，求。2、 已知，其中，求。3、 设，其中均为可逆矩阵，求。4、 已知，其中，计算，（n为正整数）。5、 利用逆矩阵。解下列矩阵方程：6、用分块方法，求矩阵的逆。四、证明题：（2510）1、 设A和B都是n阶可逆矩阵，证明。2、 设是n阶方阵，矩阵的迹定义为A的对角元之和，记为，即。试证：（1）；（2）；（3）。