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第二章 矩阵及其运算
王航平
§2.1 基本概念
2.1.1 矩阵及其运算
矩阵的定义：
由个数排成m行n列的如下矩形阵列：

称为矩阵。
注：
（1）矩阵符号与行列式符号之间的差异：矩阵符号是圆括号，而行列式符号是两竖；
　（2）矩阵是阵，即是一个表，而行列式是一个数值。
矩阵的运算：
加法：设两个矩阵，那末矩阵与的和记作，规定为

注意：只有同型矩阵，相加才有意义。
运算律：设都是矩阵，则
　　　　（1）加法交换律：；
　　　　（2）加法结合律：
　　　　（3）负　矩　阵：，则，有
　　　　（4）零　矩　阵：，。
数乘：数与矩阵的乘积

运算律：设都是矩阵，都是数，则
（1） 数乘结合律：；
（2） ；
（3） 矩阵对数的加法的分配律：；
（4） 数对矩阵加法的分配律：。
乘法：设是一个矩阵，是一个矩阵，那末规定矩阵A与B的乘积是一个矩阵，其中

并把此乘积记为。即积矩阵的元素，为左矩阵的第行与右矩阵的第列对应元素乘积之和。
注：两矩阵能相乘，要求左矩阵的列数等于右矩阵的行数。
运算律：设下述矩阵乘积均有意义
（1） 乘法结合律：；
（2） 乘积与数乘的关系：；
（3） 乘积对加法的左右分配律：，；
（4） 乘法单位元：。
注：　（1）矩阵乘法不满足交换律，即一般有：；
（因此，所有乘法公式与二项式公式在矩阵中不成立。）
　　　（2）矩阵乘法不满足乘法左（右）消去律，即一般有：若，不一定有；或若，不一定有；
　　　（3）矩阵乘法有零因子：即且，有。
矩阵的转置：设是一个矩阵，定义的转置为一个矩阵，它的第行正好是的第列。
运算律：
（1）；
　　　（2）；
　　　（3）；
　　　（4）。
方阵乘积的行列式：
定理：两个同阶方阵积的行列式等于行列式的积，即有。
2．1．2 逆矩阵
逆矩阵的概念：
设是n阶方阵，如果存在n阶方阵，使得且，则称是可逆矩阵，称是的逆矩阵，记为。可逆矩阵也称为非奇异矩阵。并非任意一个非零方阵都是可逆矩阵，不是可逆的矩阵称为奇异矩阵。
逆矩阵适合的运算律（下列矩阵均假定是可逆矩阵）：
（1）；
（2）。
　　　（3）；
　　　（4）。
可逆矩阵和奇异矩阵的性质
性质1：可逆矩阵之积必为可逆矩阵。
性质2：任意一个方阵和同阶奇异阵之积必是奇异矩阵。
伴随矩阵：设是一个n阶方阵，行列式中元素的代数余子式记为，称下列矩阵为的伴随矩阵，记为：

伴随矩阵具有重要的性质：。
定理：设是一个n阶方阵，则是可逆矩阵的充要条件是的行列式，这时。
可逆矩阵的等价命题：
（1） n阶方阵可逆的充要条件是的行列式；
（2） n阶方阵可逆的充要条件是的秩；
（3） n阶方阵可逆的充要条件是可以表示为有限个初等矩阵的乘积；
（4） n阶方阵可逆的充要条件是等价于n阶单位矩阵。
2．1．3 分块矩阵
分块矩阵的概念：
设是一个矩阵，若用若干条横线将它分成r块，再用若干条纵线将它分成s块，我们得到了一个有rs块的分块矩阵，可记为

这里表示一个矩阵，而不是一个数。通常称为的第块。
分块矩阵的运算：
分块矩阵的运算在形式上和数字矩阵完全一样，这里不再赘述。最重要的分块矩阵是下面的分块对角阵。
分块对角阵：
（1） 乘积：若是分块对角阵且符合相乘条件，则也是对角阵，即有
；
（2） 乘方：
　　　；
（3） 求逆：若是可逆矩阵，则
　　　。
2．2 例题解析
2．2．1　矩阵计算
例1：下列命题是否成立：
（1）；
（2）；
（3），则；
（4）则或；
（5），则；
（6）；
（7）。
解：一般情况下，上述7个结论均不成立。
（1），（2）不成立：这是因为，矩阵乘法不满足交换律，所以乘法公式与二项式公式一般情况下均不成立。
（3），（4）不成立：又因为矩阵乘积有零因子，消去律不成立。
（5）不成立：零矩阵与行列式为零是两回事，如
，但。
（6）不成立：，当n>2时，。
（7）不成立：如
，但。
例2：
（1）命题“，则”是否正确？若正确，试证明之；不正确，试举例说明。
解：不正确。如：时，有但。
（2）是2阶矩阵，求满足的所有。
解：

（a）时，有，，或
　　　；
（b）否则，可解得，
　　　。
（3）证明：若　，且，则。
证明：由，所以有
，，所以。　　　　　　　　　　　　　＃
例3：设为n阶矩阵，且满足及，求证：。
证明：
得　　　　　

得　　
同理有

。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＃
例4：设是n阶对称矩阵，是n阶反对称矩阵。证明是对称矩阵。
证明：由条件有　，
由
所以是对称矩阵。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＃
注：此题仅需注意对称矩阵与反对称矩阵的定义即可。
例5：设，求及。
解：。
例6：设，求。
解：方法1：由，其中。由的性质有：，。
当时，＝；
当时，
＝；
当时，由B与E可交换，所以可用二项式公式
＝。
方法2：先求，猜出一般公式，再用数学归纳法证明该公式即可。（略）
例7：设，求及。
解：可将A分块为，其中，。
，，；，，
；
。
2. 2. 2 矩阵的逆
例1:用伴随矩阵求的逆矩阵。
解：用伴随矩阵求的逆矩阵的方法，一般用于2，3阶行列式或用于证明。通常可以用如下程序计算：

＝。
＝9×（－2）＋5×3＋1×4＝1，。
注：求时，应注意3点：（1）由于，（这里用表示中的元素），在计算时同时要考虑这一点，并非易事，所以这时我们先设计为对应计算再转置，即先在矩阵符号的右上方写上转置符号，再在矩阵的位置上写上。这时务须注意先写上转置符号。（2）在计算时，由于在原矩阵中易看出的是余子式，而非代数余子式，故这时设计为先处理为余子式，这样在计算时时就不易出错。（3）虽然每一步的计算都很容易，但步数一多，出错在所难免，所以计算完成后一定要进行验算，以保证最后结果的正确性。
例2:
设,求。
解：
可利用伴随矩阵的方法求出，＝；
由条件，。又，
＝；
，，
即　　　　　　　　　。
注：凡涉及伴随矩阵的题目，只须设法使用如下公式即可：。
例3：求下列矩阵的逆：
。
解：可利用伴随矩阵计算，得
，　　　　。
例4：
设，矩阵满足，求矩阵。
解：，，（因为A与E可换）
而可逆，。
2．2．3　分块运算
例1：设
，
用指定的分块用分块矩阵方法求与。
解：

；
。
注：分块矩阵在进行转置时，要分两步进行：（1）视块为元素进行转置；（2）再对每一块进行转置。
例2：设
，
求。
解：

；

例3：设n阶方阵与s阶方阵均可逆，求。
解: 。
2．2．4 方阵的行列式
例1：设为3阶行列式，且，则
（1）；
解：。
（2）；
解：。
（3）；
解：一般地　，由可逆，有。
　　所以此题有　　　。
（4）；
解：。
（5）；
解：。
（6）。
解：。
例2：设为4阶行列式，，求。
解：
。
2．3　自测试卷
一、选择题：（5×3＝15）
1、 设A和B为n阶可逆矩阵，则；
（A），　　　　　　　　（B），
（C），　　　　　　　　　　（D）。
2、设A和B都是n阶方阵，若，则A与B_________；
　（A）必有一个是奇异矩阵，　　（B）至少有一个是零矩阵，
　（C）两个矩阵都是奇异矩阵，　（D）至少有一个矩阵可逆。
3、若A为矩阵，B为矩阵，，则AB与BA两个方阵___________；
（A）当一个可逆时，另一个也可逆；　（B）当一个不可逆时，另一个也不可逆；
（C）至少有一个不可逆；　　　　　　（D）至少有一个可逆。
4、设同阶方阵A和B都可逆，则下列结论只有__________正确；
（A），　　　　　　　　（B），
（C），　　　　　　　（D）。
5、设A和B都是n阶可逆矩阵，则；
（A），　　　　　　（B），
（C），　　　　　　（D）。
二、填空题：（5×3＝15）
1、＝。
2、 已知，若，，则＝___________。
3、 矩阵不是可逆矩阵，则的值等于_____________.
4、 若，则＝_________________。
5、 设都是可逆矩阵，的逆矩阵为___________________。
三、计算题：（6×10＝60）
1、 设，。
（1） 求；
（2） 已知，求。
2、 已知，其中，，求。
3、 设，其中均为可逆矩阵，求。
4、 已知，其中，，，，计算，（n为正整数）。
5、 利用逆矩阵。解下列矩阵方程：

6、用分块方法，求矩阵的逆。
四、证明题：（2×5＝10）
1、 设A和B都是n阶可逆矩阵，证明。
2、 设是n阶方阵，矩阵的迹定义为A的对角元之和，记为，即
。试证：
（1）；
（2）；
（3）。