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第二章 信号及其描述
第一节 信号分类与描述
一、信号的概念

信号是信息的载体，是包含和传递信息的一种物理量，是客观事物存在状态或属性的反映，即包含着反映被测物理系统的状态或特性的某些有用的信息，它是我们认识客观事物的内在规律、研究事物之间的相互关系、预测未来发展的依据。例如，回转机械由于动不平衡而产生振动，那么振动信号中就包含了该回转机械动不平衡的信息，因此它就成为研究回转机械动不平衡的信息载体和依据。
二、信号的分类
（一）确定性信号和非确定性信号 (随机信号)
按信号的运动规律和有无确定性可分为确定性信号和非确定性信号 (随机信号) 两大类。
1．确定性信号
若信号随时间有规律变化，可用数学关系式或图表来确切地描述其相互关系，即可确定其任何时刻的量值，这种信号称之为确定性信号。确定性信号又可分为周期信号和非周期信号。
①周期信号 周期信号是按一定时间间隔周而复始重复出现，无始无终的信号，可表达为
（） （2-1）
式中 ——周期（）。
周期信号又可分为简谐信号和复合周期信号：
⊙简谐信号 即简单周期信号或正弦信号，只有一个谐波。例如，集中参数的单自由度振动系统(图2-1)作无阻尼自由振动时，其位移就是一个简谐信号，它可用下式来确定质量块的瞬时位置，即
（2-2）
式中 x0——初始幅值；
——初始相位角；
k——弹簧刚度；
图2-1 单自由度振动系统
m——质量；
t——时间。
简单周期信号

复杂周期信号
⊙复合周期信号 由多个谐波构成的周期性复合函数，用傅立叶展开后其相邻谐波的频率比为整数倍。

②非周期信号 常称为瞬变信号，能用确定的数学关系表达，但其值不具有周期重复特性的信号称为非周期信号。如指数信号、阶跃信号等都是非周期信号。非周期信号又可分为准周期信号和瞬变信号：
⊙准周期信号 由有限个周期信号合成的确定性信号，但周期分量之间没有公倍关系，即没有公共周期，因而无法按某一确定的时间间隔周而复始重复出现。这种信号往往出现于通信、振动等系统之中，其特点为各谐波的频率比为无理数。例如：
就是准周期信号。工程实际中，由不同独立振动激励的系统的输出信号，往往属于这一类。

⊙瞬变信号 在一定时间区域内存在，或随时间增大而衰减至零。如机械脉冲信号、阶跃信号和指数衰减信号等(见图2..5)。

图2-1所示的振动系统，若加阻尼装置后，其质点位移x(t)可用下式表示
(2-3)
其图形如图2.4所示，它是一种非周期信号，随时间的无限增加而衰减至零。常见的非周期信号如图2.5所示。

2．非确定性信号（随机信号）
非确定性信号也称随机信号，是一种不能用确切的数学关系来描述的信号，所描述的物理现象是一种随机过程。它随时间的变化是随机的，没有确定的规律，每一次观测的结果都不相同，无法用数学关系式或图表描述其关系，更不能准确预测其未来的瞬时值，只能用概率统计的方法来描述。如列车、汽车运行时的振动情况。

对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录称为样本函数，记作，
如图2.6所示。在同一试验条件下，全部样本函数的集合(总体)就是随机过程，计
作，即
(2-4)

随机信号的各种统计值(均值、方差、均方值和均方根值等)是按集合平均来计算的。集合平均的计算不是沿某个样本的时间轴进行平均而是在集合中的某时刻轧对所有样本函数的观测值取平均。为了与集合平均相区别，称按单个样本的时间历程进行平均的计算为时间平均。非确定性信号可分为平稳随机信号和非平稳随机信号。
①平稳随机信号 所谓平稳随机信号是指其统计特征参数不随时间而变化的随机信号，其概率密度函数为正态分布。平稳随机信号又可分为各态历经信号和非各态历经信号。在平稳随机信号中，若任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该随机过程的集合平均统计特征，这样的平稳随机信号称为各态历经（遍历性）的随机信号。否则，即为
非各态历经信号。
②非平稳随机信号 所谓非平稳随机信号是指其统计特征参数随时间而变化的随机信号。在随机信号中，凡不属于平稳随机信号范围的，都可归为非平稳随机信号类型。
工程上所遇到的很多随机信号具有各态历经性，有的虽然不具备严格的各态历经性，但也可简化为各态历经随机信号来处理。事实上，一般的随机信号需要足够多的样本(理论上应为无穷多个)才能描述它，而要进行大量的观测来获取足够多的样本函数是非常困难的，有时是做不到的。因此实际中，常把随机信号按各态历经过程来处理。本教材中对随机信号的讨论仅限于各态历经随机过程的范围。
根据信号的上述特性，信号分类归纳如下：

（二）连续信号和离散信号
（1）连续信号 若信号在时域的表达式中的自变量取值是连续的，称为连续（，模拟）信号。
（2）离散信号 若信号在时域的表达式中的自变量取离散值，称为离散信号。
若信号数学表达式的独立变量和信号的幅值都是离散的，则称其为数字信号。
（三）能量信号与功率信号

1．能量信号
在非电量测量中，常把被测信号转换为电压和电流信号来处理。显然，电压信号
x(t)加到电阻R上，其瞬时功率

当R=1时，

瞬时功率对时间的积分就是信号在该积分时间内的能量。依此，当不考虑信号的实际量纲，而把信号的平方及其对时间的积分分别称为信号的功率和能量。
当满足
(2-5)

则认为信号的能量是有限的，并称之为能量有限信号，简称为能量信号。如矩形脉冲信号、指数衰减信号等。
2．功率信号
若信号在区间的能量是无限的，即
(2-6)
但在有限区间的平均功率是有限的，即
(2-7)
这种信号称为功率有限信号或功率信号。
图2-1所示的单自由度振动系统，其位移信号就是能量无限的正弦信号，但在一定时间区间内其功率是有限的，因此，该位移信号为功率信号。如果该系统加上阻尼装置，其振动能量随时间而衰减，如图2-4所示，这时的位移信号就变成能量有限信号了。但是必须注意，信号的功率和能量，未必具有真实功率和真实能量的量纲。一个能量信号具有零平均功率，而一个功率信号具有无限大能量。

三、信号的描述（）

信号的描述方法主要有时域描述、频域描述和幅值域描述。我们直接观测或记录的信号一般为随时间变化的物理量，是以时间作为独立变量，称为信号的时域描述。
图2—5所示为周期方波的时域波形和频域描述
信号包含着丰富的信息。信号的时域描述只能反映信号的幅值随时间变化的特征，不能明确揭示信号的频率组成及对应不同频率的幅值大小。为了提取某种有用信息，如为了研究信号的频率结构和各频率成分的幅值大小、相位关系，需要对信号进行频谱分析。把时域信号通过积分变换转换成频域信号，此即信号的频域描述。图2-5所示为周期方波的时域波形和频域描述。
对信号进行必要的分析和处理，是为了解决不同问题的需要，使所需的信号特征更为突出。时域描述信号形象、直观，而频域描述信号则更为简练。同一信号无论选用哪种描述方法都含有同样的信息，两种描述方法可互相转换但并没有增加新的信息。

第二节 周期信号与离散频谱

一、 周期信号的傅里叶三角函数展开式
设 周期信号可表为下列关系式：
(2-8)
式中 n=0, ±1， ±2， ……；
T—周期。
在有限区间上，任何信号只要满足狄里赫来条件，均可展成傅里叶级数的三角函数形式：
（2-9）
式中 （2-10）

是信号的常值分量，即均值；是信号的余弦分量幅值；是信号的正弦分量幅值；T是信号的周期；是信号的圆频率。T与关系是=2л/T。
将式(2-9)中同频项合并，可以改写成

（2-11)
式中 ；
。
由此可见，周期信号是由一个或几个、以至无穷多个不同频率的谐波迭加而成。以圆频率为横坐标，幅值或相角为纵坐标所作的图称为频谱图。-n图叫幅频谱，-n图叫相频图 。因为n是整数，相邻谱线频率的间隔=(n-(n-1))=1=，即各频率成分都是的整数倍,因而谱线是离散的。我们把称为基频，而把几次倍频成分称为几次谐波。
每一根谱线对应其中一种谐波，频谱就是构成信号的各频率分量的集合，它表征信号的频率结构。傅里叶三角函数展开时，周期信号的频谱，其频率范围是从0～+，所以其频谱是单边谱。
例1：求图2—6中周期矩形脉冲信号的频谱。
解：x（t）可表示为

式中，k=0，1，2，……
由式（2—9）得：图2-6 周期矩形脉冲信号

常值分量
余弦分量幅值：

正弦分量幅值
因此
这里

图2-7所示为 时信号的频谱图

图2—7 时周期矩形脉冲的频谱

图2—5所示为时信号的频谱图
图2—8 时周期矩形脉冲的频谱
由周期信号的傅里叶三角函数展开式，上述分析我们得出如下结论：
①周期信号各谐波频率必定是基波频率的整数倍，不存在非整数倍的频率分量
②频谱是离散的；
③由幅频谱线看出谐波幅值总的趋势是随谐波次数增高而减小；
④相频谱表明各谐波之间有严格的相位关系。
一般在信号的频谱分析中没有必要取那些次数过高的谐波分量。

二、周期信号的傅里叶级数的复指数函数展开式

利用欧拉公式可把三角函数展开式变为复指数函数展开式，周期信号的单边谱就变为双边谱。根据欧拉公式：
（2-12）
有 （2-13）
（2-14）
因此式（2-9）可改写为
（2-15）

令 （2-16）
则

上式中变量的取值与式（2-15）相同，只区取正直值：，即从0～+。若将上式中的第2项的变量前的负号看成是的一部分，即等效于变量从-1～-的区间内取值，则上式变为：
即 （2—17）
这就是傅立叶级数的复指数展开式。式中，

　　　　（2—18）
而上述推导过程中取值为正。当取0或副值时，也可以得到同样结果。由上式可见，实际上是一个复数，可表为复数的模和相角的关系：

　 　　　　　　　　　 （2—19）

　　　　　　　　　　　　　　　　　（2—20a）
　 （2—20b）
这里，分别是的虚部和实部。所以，
（2—21）
其中，n表示谐波角频率；表示谐波幅值；表示初相角。与之关系称为复
频谱；与之关系称为幅频谱；与n之关系称为相频谱。复频谱的频率范围是
－∞～+∞，所以复频谱又称为双边谱。
例2：求例1中当时信号的复频谱。
解：已知

由式（2—22）得：
图2-6 周期矩形脉冲信号

因为虚部，实部

所以

当时，其复频谱即幅频谱和相频谱图如图2—７所示。
由图2—7可以看出复频谱具有如下特点：

图2—7 时周期矩形脉冲的复频谱

①幅频谱对称于纵坐标，即信号谐波幅值是频率的偶函数；
②相频谱对称于坐标原点，即信号谐波的相角是频率的奇函数；
③复频谱(双边谱)与单边谱比较，对应于某一角频率nw0，单边谱只有一条谱线，而
双边谱在±nw0处各有一条谱线，因而谱线增加了一倍，但谱线高度却减少了一半，即
。

三、周期信号的强度表述

周期信号的强度用如下几种形式表述：
1．峰值xF
峰值xF是信号可能出现的最大瞬时值，即

它反映信号的动态范围，我们希望xF在测试系统的动态薄围内。
2．均值μx和绝对均值μ
均值凡是信号的常值分量，即
μx =
绝对均值是信号经全波整流后的均值，即
μ=
3．有效值和平均功率
有效值是信号的均方根值xrms，即

它反映信号的功率大小。有效值的平方就是信号的平均功率Pav，即
Pav= x2rms=
图2—8所示为周期信号的强度表述。表2—1列举了几种典型信号上述参数之间的数量关系。从表中可见，信号的均值、绝对均值、峰值和有效值之间的关系与波形有关。

表2—1 几种典型信号的强度 图2—8 周期信号的强度表示
第三节 非周期信号及其连续频谱
（非周期信号的频域分析——连续频谱）
非周期信号包括准周期信号和瞬变信号。
准周期信号是由一系列没有公共周期的周期信号（如正弦或余弦信号）叠加组成的，与周期信号相比，所不同的只是其各个正弦信号的频率比不是有理数。因此，它的频谱与周期信号的频谱无本质区别，仍然是连续的，不必进行单独研究。
瞬变信号是指除了准周期信号之外的非周期信号。通常所论的非周期信号即是指这种瞬变信号。图2-8所示的是几种典型的非周期信号。图a是矩形脉冲信号；图b是指数衰减信号；图c是衰减振荡信号；图d是单一脉冲信号。本教材在此以后提到非周期信号时均指瞬变信号

图2—8 非周期信号(瞬变类)
一、傅里叶变换

我们知道，获得周期信号频谱的方法是利用傅里叶级数，而获得非周期信号频谱的方法则是傅里叶变换。
周期为T的周期信号，其频谱是离散的。当周期T趋于无穷大时，该信号就变成非周期信号了。周期信号频谱中谱线间隔
==[]== → = →
当T→∞时，→0。即谱线无限密集以致离散频谱最终变为连续频谱。所以非周期信号的频谱是连续的。因此，可认为，非周期信号是由无限个频率极其接近的谐波合成。
设有周期信号x，则其在(，)区间内傅里叶级数为:

式中
所以
当T→∞时， →，即=。而离散频谱中相邻的谱线紧靠在一起,，
上式中∑→，T/2→∞,于是有

令　　　　　　（２—２２）
则　　　　　（２—２３）
这里，称为非周期信号的傅里叶正变换，称式(2—23)中为的傅里叶逆变换。二者互称为傅里叶变换对。用下式表示二者之关系：

利用，则（２—２２）和（２—２３）两式可写成
　　　　　 　　　 　（２—２４）
（２—２５）
同样和关系相应变为

式(2—24)和(2—25)易于我们记忆。和关系是

＝２π·　　　　　　　　　　　（２—２６）

通常是实变量之复函数，所以可写成

　　　　　　　　　　　　　＝[]+
　　　　　　　　　　　　　　 　＝　　　　　　　　　　　　　（２—２７）
式中，
需要注意的是非周期信号的幅值谱是连续的，而周期信号的幅值谱是离散的。
并且 的量纲是单位频宽上的幅值，即是的频谱密度函数。而周期信号的
幅值谱的量纲与其幅值一致。
需要注意的是，傅里叶变换存在需要满足以下两个条件：
①狄里赫来条件；
②在无限区间上绝对可积，即，是收敛的。
在工程上所遇到的非周期信号基本上均能满足上述条件。

例1：求矩形窗函数wR(ｔ)的频谱。已知矩形窗函数wR(ｔ)的定义为
　　　　　　　　　 wR(ｔ)＝ —时间宽度，称为窗宽。
解：由式(2—24)得wR(ｔ)的频谱WR()为
数学上，定义sinc()＝为采样函数，它是以2π为周期且随增大而做衰减振荡，并在nπ（ｎ为整数）处其值为零的一个特殊的实偶函数，该函数在信号分析中非常有用，其数值可从数学手册中查到，其图像如图2—9所示。矩形窗函数wR(ｔ)及其频谱ｗR()的图形如图2—10所示。

图2—9 sinc()的图像

图2—10 矩形窗函数及其频谱图

二、傅里叶变换的主要性质

傅里叶变换将一个信号时域与频域彼此联系起来。傅里叶变换有许多性质，这些性质主要反应了信号在时域的某些特征、运算和变化将在频域上产生的相应的特征、运算和变化，以及频域对时域的影响。掌握这些性质对今后的理论学习和实践应用非常重要。因此，我们需要了解、熟悉傅里叶变换的主要性质，以便帮助我们了解信号在一个域中变化而引起在另一个域中产生什么变化。利用这些性质可减少许多不必要的计算并有利于我们画出频谱图。傅里叶变换的性质很多，本书只介绍最常用的几个性质，其他的性质可参考有关著作。

1．奇偶虚实性
一般是的复变函数，它可以写成
(2—28)
式中 (2—29)
(2—30)
余弦函数是偶函数，正弦函数是奇函数。
(1) 如果是实偶函数，则，是实偶函数，即=。
(2)如果是实奇函数，则，是虚奇函数，即=。
(3)如果是虚偶函数，则同理可知是虚偶函数。
(4)如果是虚奇函数，则是实奇函数。

2．翻转定理 若信号的频谱为，则信号的频谱为。
换句话说，当信号在时域绕纵坐标轴翻转180˚时，它在频域中也绕纵坐标轴翻转180˚，即
若
则 （2—31）

3．线性叠加性
若信号和的频谱分别为和，则+b的频谱为+，
即
+b+ (2—32)

4．对称性
若
则 (2—33)
证明：
以-u换为t，
以t代替，
再以代替u，
即为
对称性应用举例如图2—11所示。

5．时间尺度改变特性(相似定理)

在信号幅值不变的情况下，若

（k>0） (2—34)
证明：
图2—11 对称性应用举例

当k>1时，时间尺度压缩如图2—12c所
示。 此时，时域波形在时间轴上被压缩k倍，导致频域的频带加宽k倍和幅值降低；当<1时，时间尺度扩展如图2—12a所示。其频谱变窄，幅值增高。
例如，把记录磁带慢录快放，即时间尺度压缩，这样尽管提高了处理信号的效率，但却
使得到的信号频带加宽。 如果后续处理设备( 放大器、滤波器) 的通频带不够宽，就会导
致失真。 相反快录慢放，使信号的带宽变窄，对后续处理设备的通频带k 要求降低了，却使信号处理效率下降。

图2—12 时间尺度改变特性举例
6．时移和频移特性
●若，在时域中信号沿时间轴平移一常值t0。时，则
（2—35）
证 由傅氏变换的定义，可知

（令）

.
该式表明，当信号时移±t0后，其幅-频谱不变，而相频谱由原来的变为 ，即在时域的移动，引起频域中的相移。
●在频域中信号沿频率轴平移一常值时，则
（2—36）
或 （2—36B）
式(2—36)表明，信号在时域上乘以 (可认为是正弦或余弦信号)，将使其频谱沿频率轴右移或左移了
式(2—36B)表明频谱函数沿轴向右或向左位移的傅氏逆变换等于原来的函数乘以因子或
7．卷积定理(特性)
7．1卷积的概念
若已知函数，则积分

称为函数和的卷积，记为，即
. （2—37A）
显然，=，即卷积满足交换律。
7．2卷积特性
如果两信号和都满足傅氏积分定理中的条件，且其频谱分别为和，则
（2-37、38）

式（2—37）说明时域中两信号卷积傅氏变换等于频域中它们频谱的乘积。
式（2—38）说明时域中两信号乘积等效于频域中它们频谱的卷积。

证 按傅氏变换的定义，有

这个性质表明，两个函数卷积的傅氏变换等于这两个函数傅氏变换的乘积.
同理可得：
， （2-38B）
即两个函数乘积的傅氏变换等于这两个函数傅氏变换的卷积除以.
推论 若（k=1,2,…,n）满足傅氏积分定理中的条件，且（k=1,2,…,n），则有
.
从上面我们可以看出，卷积并不总是很容易计算的，但卷积定理提供了卷积计算的简便方法，即化卷积运算为乘积运算.这就使得卷积在线性系统分析中成为特别有用的方法.
若其中有一信号为周期信号，设为周期信号，即，利用叠加性和频移特性，可得如下推论：
· （2—39）

8．微分性质

8．1时域微分特性
如果在上连续或仅有有限个可去间断点，且当时，①，且=则
（2-40A）
证 由傅氏变换的定义，并利用分部积分（）可得

即，一个时域信号的导数的傅氏变换等于这个函数的傅氏变换乘以因子
推论 若（k=1,2,…,n）在上连续或只有有限个可去间断点，且k=0,1,2,…,n-1①, 且=，则有
或 （2-40）

8．2频域微分特性
设 则 一般地，有：
（2—41A）
或 将式对微分，可得
（2—41）
注： ， 所以 。
9．积分性质
（2—42）
或 （2—42B）
证 因为，所以，又根据上述微分性质：
， 故 .
我们在测量机械振动过程中，如果测得振动系统的位移、速度或加速度中的一个参数的
频谱，则利用微积分特性可得到另两个参数的频谱。
例2 求微分积分方程
的解，其中，，a,b,c均为常数。
运用傅氏变换的线性性质、微分性质以及积分性质，可以把线性常系数微分方程转化为代数方程，通过解代数方程与求傅氏逆变换，就可以得到此微分方程的解．另外，傅氏变换还是求解数学物理方程的方法之一，其计算过程与解常微分方程大体相似，此处不再举例了说明。关于傅里叶变换(频谱)的性质请看表2—2。
根据傅氏变换的微积分性质，且记
。
在方程式两边取傅氏变换，可得

再求上式的傅氏逆变换，可得

表2—2 傅里叶变换的主要性质

三、几种典型信号的频谱
1．矩形窗函数的频谱
矩形窗函数的频谱已在例1中讨论。由此可知，一个时域有限区间内有值的信号，其频
谱却延伸至无限频率。用矩形窗函数在时域中
截取信号，相当于原信号和矩形窗函数相乘，
而所得信号的频谱是原信号频谱与sinc函数
的卷积。它是连续的、频率无限延伸的频谱。
2．单位脉冲函数(δ函数)及其频谱
(1)δ函数的定义
在ε时间内的一个矩形脉冲δε (t)（亦可用
三角形脉冲、钟形脉冲等)，其面积为1，如
图2—13a所示。当ε→0时，δε (t)的极限就
称为单位脉冲函数，记作δ(t)。将δ(t)用一
个单位长度的有向线段表示。这个长度表示 图2—13 矩形脉冲与δ函数
δ(t)的积分(面积) ，如图2—13b所示。
从极值角度看，
从函数面积角度，
(2) δ函数的筛选性（采样性质）界标
如果δ函数与某一连续信号相乘，则其乘积只有在t=0处有值·δ(t)，其余各点（）之乘积均为零。即
（2—43）
同样，对于延时t0的δ函数δ(t－t0)，因为只有在t=t0处其乘积不等于零。因此
(2—44)
式(2—43)和式(2—44)表示的δ函数的筛选（采样）性质，是对连续信号进行离散采样的理论依据。
(3) δ函数与其它函数的卷积
若δ(t)与某一函数 (例如矩形窗函数)进行卷积，则根据卷积定义
（2—45）
同样，若δ(t)与卷积，其卷积
（2—46）
因此，函数与δ函数的卷积，其结果就相当于将该函数的图象平移到δ函数发

图2—14 δ函数与其它函数的卷积
生脉冲的坐标位置上去，如图2—14（a）和（b）所示,其它波形也一样。
(4)δ函数的频谱
我们对δ(t)进行傅里叶变换
（2—47）
其逆变换 （2—48）
所以，时域的单位脉冲函数具有无限宽广的频谱，且在所有的频段上都是等强度的，如图
2—15所示。这种信号就是理想白噪声，根据傅里叶变换的对称性和时移性质，可得到以下重要
傅里叶变换对：
图2—15 δ函数及其频谱

3. 正弦函数和余弦函数的频谱
根据式(2—7)和式(2—8)，正、余弦函数可以写成

应用上表和频移特性，可求得正、余弦函数的傅里叶变换图2—16如下：
（2—49）
（2—50）

图2—16 正、余弦函数及其频谱

4．周期单位脉冲序列的频谱
等间隔的周期单位脉冲序列为
(2—51)
式中，Ts为周期；n为整数。
因为为周期函数，所以可把表示为傅里叶级数的复指数形式
(2—52)
式中，;

所以

应用表1-3中的关系，可求出上式等号两侧的傅立叶变换为

或 　　 　　　　（2—５３）
由此可知，若时域中周期脉冲序列的间隔为，则在频域中亦为周期脉冲序列，期间
隔为；时域中脉冲幅值为１，频域中幅值为。周期脉冲序列的频谱是离散的，其频谱图如图2—17所示。

图２—１７周期单位脉冲及其频谱
第四节 随机信号
一、 概述
随机信号是非确定性信号，它不能用确定的数学关系式来描述，不能预测它未来任何瞬
时的精确值，任一次观测值只是在其变动范围中可能产生的结果之一。但其值的变动服从统计规律。我们描述随机信号只能用概率和统计的方法。
对随机信号按时问历程所作的各次长时间的观测记录叫做样本函数，记作，如图
2—18所示。而在有限区间内的样本函数叫做样本记录。在同等试验条件下，全部样本函数
的集合(总体)就是随机过程，记作，即
　　　　　　　　 　　 (2—54)
图2—18随机过程与样本函数
随机过程的各种平均值　(均值、方差、均方值和均方根值等)　是按集合平均来计算的。
集合平均的计算不是沿某个样本的时间轴进行，而是在集合中某时刻乙对所有样本函数的
观测值进行平均。单个样本的时间历程进行平均的计算称为时间平均。
随机过程中，其统计特征参数不随时间而变化的过程是平稳随机过程，否则为非平稳随
机过程。在乎稳随机过程中，如果任何样本的时间平均统计特征等于集合平均统计特征，则
该过程就是各态历经随机过程。在工程上我们所遇到的很多随机信号具有各态历经性。有的
信号虽然不见得是各态历经过程，但也可以当做各态历经过程进行处理。实际测试工作中常
把随机信号按各态历经过程来处理，即用有限长度样本记录的分析、观察来推断、估计被测
对象的整个随机过程。也就是说，在实际工作中，常以一个或几个样本记录来推断整个随机
过程，以时间平均估计集合平均。
二、随机信号的主要特征参数
描述各态历经随机信号的主要特征参数有4个：
①均值、方差和均方值；
②概率密度函数；
③自相关函数；
④自功率谱密度函数。
有关后两个参数将在后续章节中详细讨论。下面我们讨论前两个参数。
1．均值、方差和均方值收
各态历经信号的均值儿为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2—5５)
式中 ——样本函数；
　　　Ｔ——观测时间。
均值表示信号的常值分量。
方差描述随机信号的波动分量，它是偏离儿的平方的均值，即
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2—５６)
方差的正平方根叫标准差，是随机数据分析的重要参数。
均方值描述随机信号的强度，它是平方的均值，即

其正平方根是有效值。均值、方差和均方值的关系是
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2—５７)
当时，
　2．概率密度函数
　概率密度函数是表示信号幅值落在指定区间的概率。如图2—19所示的信号，落
在(ｘ，)区间内的时间总和TＸ：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2—５８)
当样本函数的记录时间Ｔ趋于无穷大时， 的比值就是幅值落在(ｘ，)区间的
概率，即

那么定义幅值概率密度函数P（x）为

图2—19 概率密度函数的计算
概率密度函数提供了随机信号沿幅值域分布的信息，是随机信号的主要参数之一。不同的随机信号有不同的概率密度图形，借助它可以认识信号的性质。如图2—20所示的是常见
的4种随机信号的概率密度函数图形。
图2—20 4种随机信号及其概率密度函数
图中：(a)正弦信号(初始相角为随机量)；(b)正弦信号加随机噪声
(c)窄带随机信号；(d)宽带随机信号
习题一
2一l 求周期方波(题图2—1) 的傅里叶级数(三角函数形式和复指数函数形式)， 并画出频谱图。
题图2—l
2—2 求单位阶跃函数(题图2—2a)和符号函数(题图2—2b)的频谱。

图 2—2

提示：单位阶跃函数记作 ，可先对做傅氏变换，变换后取极限就得到单位阶跃函数的傅氏变换。符号函数可看作是由阶跃函数平移坐标而得。
2—3 求被截断的余弦函数(题图2—3)的傅里叶变换。

2—4 求正弦信号的绝对均值和均方根值。

题图 2—3 题图 2—4

2—5求指数衰减振荡信号 (题图2—4) 的频谱。
2—6 求指数函数的频谱。
2—7 试找出题图2—5所示的7个信号的均值、均方值、方差和概率密度相同者，并说明为什么?
2—8 设有一时间函数及其频谱如题图2—6所示，现乘以正弦型振荡。在这个关系中，函数叫做调制信号，正弦型振荡叫做载波。试求调幅信号的傅里叶变换，示意画出调幅信号及其频谱。又问：若时将会出现什么情况?
2—9 设有一信号
求该信号的周期，如果该信号确系周期信号。
2—10 求正弦信号的均值、均方值和概率密度函数。 题图 2—5
题图 2—6
习题二