第二章数值数组及其运算.doc

第二章 数值数组及其运算

数值数组（Numeric Array）和数组运算（Array Operations）始终是MATLAB的核心内容。自MATLAB5.x版起，由于其“面向对象”的特征，这种数值数组（以下简称为数组）成为了MATALB最重要的一种内建数据类型（Built-in Data Type），而数组运算就是定义在这种数据结构上的方法（Method）。
本章系统阐述：一、二维数值数组的创建、寻访；数组运算和矩阵运算的区别；实现数组运算的基本函数；多项式的表达、创建和操作；常用标准数组生成函数和数组构作技法；高维数组的创建、寻访和操作；非数NaN、“空”数组概念和应用；关系和逻辑操作。
顺便指出：（1）本章所涉内容和方法，不仅使用于数值数组，而且也将部分地延伸使用于在其他数据结构中。（2）MATLAB5.x和6.x 版在本章内容上的差异极微。（3）MATLAB6.5版新增的两种逻辑操作，在第2.13.2节给予介绍。
2.1 引导
【例2.1-1】绘制函数在时的曲线。
x=0:0.1:1
y=x.*exp(-x)
plot(x,y),xlabel('x'),ylabel('y'),title('y=x*exp(-x)')
x =
Columns 1 through 7
0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000
Columns 8 through 11
0.7000 0.8000 0.9000 1.0000
y =
Columns 1 through 7
0 0.0905 0.1637 0.2222 0.2681 0.3033 0.3293
Columns 8 through 11
0.3476 0.3595 0.3659 0.3679

图2.1-1
2.2 一维数组的创建和寻访
2.2.1 一维数组的创建
2.2.2 一维数组的子数组寻访和赋值
【例2.2.2-1】子数组的寻访（Address）。
rand('state',0)
x=rand(1,5)
x =
0.9501 0.2311 0.6068 0.4860 0.8913

x(3)
ans =
0.6068

x([1 2 5])
ans =
0.9501 0.2311 0.8913

x(1:3)
ans =
0.9501 0.2311 0.6068

x(3:end) %
ans =
0.6068 0.4860 0.8913

x(3:-1:1) %
ans =
0.6068 0.2311 0.9501

x(find(x>0.5))
ans =
0.9501 0.6068 0.8913

x([1 2 3 4 4 3 2 1])
ans =
Columns 1 through 7
0.9501 0.2311 0.6068 0.4860 0.4860 0.6068 0.2311
Column 8
0.9501

【例2.2.2-2】子数组的赋值（Assign）。
x(3) = 0
x =
0.9501 0.2311 0 0.4860 0.8913

x([1 4])=[1 1]
x =
1.0000 0.2311 0 1.0000 0.8913

2.3 二维数组的创建
2.3.1 直接输入法

【例2.3.1-1】在MATLAB环境下，用下面三条指令创建二维数组C。
a=2.7358; b=33/79;
C=[1,2*a+i*b,b*sqrt(a);sin(pi/4),a+5*b,3.5+i]
C =
1.0000 5.4716 + 0.4177i 0.6909
0.7071 4.8244 3.5000 + 1.0000i

【例2.3.1-2】复数数组的另一种输入方式。
M_r=[1,2,3;4,5,6],M_i=[11,12,13;14,15,16]
CN=M_r+i*M_i
M_r =
1 2 3
4 5 6
M_i =
11 12 13
14 15 16
CN =
1.0000 +11.0000i 2.0000 +12.0000i 3.0000 +13.0000i
4.0000 +14.0000i 5.0000 +15.0000i 6.0000 +16.0000i

2.3.2 利用M文件创建和保存数组

【例2.3.2-1】创建和保存数组 AM的 MyMatrix.m 文件。
（1）
% MyMatrix.m Creation and preservation of matrix AM
AM=[101,102,103,104,105,106,107,108,109;...
201,202,203,204,205,206,207,208,209;...
301,302,303,304,305,306,307,308,309];

（2）
（3）
2.4 二维数组元素的标识
2.4.1 “全下标”标识
2.4.2 “单下标”标识
2.4.3 “逻辑1”标识
【例2.4.3-1】找出数组中所有绝对值大于3的元素。
A=zeros(2,5);
A(:)=-4:5
L=abs(A)>3
islogical(L)
X=A(L)
A =
-4 -2 0 2 4
-3 -1 1 3 5
L =
1 0 0 0 1
0 0 0 0 1
ans =
1
X =
-4
4
5

【例2.4.3-2】演示逻辑数组与一般双精度数值数组的关系和区别。（本例在例2.4.3-1基础上进行）。
（1）
Num=[1,0,0,0,1;0,0,0,0,1];
N_L=Num==L
c_N=class(Num)
c_L=class(L)
N_L =
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
c_N =
double
c_L =
double

（2）
islogical(Num)
Y=A(Num)
ans =
0
??? Index into matrix is negative or zero. See release notes on changes to
logical indices.

2.5 二维数组的子数组寻访和赋值

【例2.5-1】不同赋值方式示例。
A=zeros(2,4)
A =
0 0 0 0
0 0 0 0

A(:)=1:8
A =
1 3 5 7
2 4 6 8

s=[2 3 5];
A(s)
Sa=[10 20 30]'
A(s)=Sa
ans =
2 3 5
Sa =
10
20
30
A =
1 20 30 7
10 4 6 8
A(:,[2 3])=ones(2)
A =
1 1 1 7
10 1 1 8
2.6 执行数组运算的常用函数
2.6.1 函数数组运算规则的定义：
2.6.2 执行数组运算的常用函数
【例2.6.2-1】演示pow2的数组运算性质。
A=[1:4;5:8]
A =
1 2 3 4
5 6 7 8

pow2(A)
ans =
2 4 8 16
32 64 128 256
2.7 数组运算和矩阵运算
2.7.1 数组运算和矩阵运算指令对照汇总
【例 2.7.1-1】两种不同转置的比较
clear;A=zeros(2,3);
A(:)=1:6;
A=A*(1+i)
A_A=A.'
A_M=A'
A =
1.0000 + 1.0000i 3.0000 + 3.0000i 5.0000 + 5.0000i
2.0000 + 2.0000i 4.0000 + 4.0000i 6.0000 + 6.0000i
A_A =
1.0000 + 1.0000i 2.0000 + 2.0000i
3.0000 + 3.0000i 4.0000 + 4.0000i
5.0000 + 5.0000i 6.0000 + 6.0000i
A_M =
1.0000 - 1.0000i 2.0000 - 2.0000i
3.0000 - 3.0000i 4.0000 - 4.0000i
5.0000 - 5.0000i 6.0000 - 6.0000i
2.8 多项式的表达方式及其操作
2.8.1 多项式的表达和创建
一 多项式表达方式的约定
二 多项式行向量的创建方法
【例 2.8.1.2-1】求3阶方阵A的特征多项式。
A=[11 12 13;14 15 16;17 18 19];
PA=poly(A)
PPA=poly2str(PA,'s')
PA =
1.0000 -45.0000 -18.0000 0.0000
PPA =
s^3 - 45 s^2 - 18 s + 1.8303e-014

【例 2.8.1.2-2】由给定根向量求多项式系数向量。
R=[-0.5,-0.3+0.4*i,-0.3-0.4*i];
P=poly(R)
PR=real(P)
PPR=poly2str(PR,'x')
P =
1.0000 1.1000 0.5500 0.1250
PR =
1.0000 1.1000 0.5500 0.1250
PPR =
x^3 + 1.1 x^2 + 0.55 x + 0.125

2.8.2 多项式运算函数
【例2.8.2-1】求的“商”及“余”多项式。
p1=conv([1,0,2],conv([1,4],[1,1]));
p2=[1 0 1 1];
[q,r]=deconv(p1,p2);
cq='商多项式为 '; cr='余多项式为 ';
disp([cq,poly2str(q,'s')]),disp([cr,poly2str(r,'s')])
商多项式为 s + 5
余多项式为 5 s^2 + 4 s + 3

【例 2.8.2-2】两种多项式求值指令的差别。
S=pascal(4)
P=poly(S);
PP=poly2str(P,'s')
PA=polyval(P,S)
PM=polyvalm(P,S)
S =
1 1 1 1
1 2 3 4
1 3 6 10
1 4 10 20
PP =
s^4 - 29 s^3 + 72 s^2 - 29 s + 1
PA =
1.0e+004 *
0.0016 0.0016 0.0016 0.0016
0.0016 0.0015 -0.0140 -0.0563
0.0016 -0.0140 -0.2549 -1.2089
0.0016 -0.0563 -1.2089 -4.3779
PM =
1.0e-010 *
0.0016 0.0033 0.0090 0.0205
0.0045 0.0101 0.0286 0.0697
0.0095 0.0210 0.0653 0.1596
0.0163 0.0387 0.1226 0.3019

【例 2.8.2-3】部分分式展开。
a=[1,3,4,2,7,2];
b=[3,2,5,4,6];
[r,s,k]=residue(b,a)
r =
1.1274 + 1.1513i
1.1274 - 1.1513i
-0.0232 - 0.0722i
-0.0232 + 0.0722i
0.7916
s =
-1.7680 + 1.2673i
-1.7680 - 1.2673i
0.4176 + 1.1130i
0.4176 - 1.1130i
-0.2991
k =
[]

2.9 标准数组生成函数和数组操作函数
2.9.1 标准数组生成函数
【例2.9.1-1】标准数组产生的演示。
ones(1,2)
ans =
1 1

ones(2)
ans =
1 1
1 1

randn('state',0)
randn(2,3)
ans =
-0.4326 0.1253 -1.1465
-1.6656 0.2877 1.1909

D=eye(3)
D =
1 0 0
0 1 0
0 0 1

diag(D)
ans =
1
1
1

diag(diag(D))
ans =
1 0 0
0 1 0
0 0 1

repmat(D,1,3)
ans =
Columns 1 through 8
1 0 0 1 0 0 1 0
0 1 0 0 1 0 0 1
0 0 1 0 0 1 0 0
Column 9
0
0
1

2.9.2 数组操作函数
【例 2.9.2-1】diag与reshape的使用演示。
a=-4:4
A=reshape(a,3,3)
a =
Columns 1 through 8
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
Column 9
4
A =
-4 -1 2
-3 0 3
-2 1 4

a1=diag(A,1)
a1 =
-1
3

A1=diag(a1,-1)
A1 =
0 0 0
-1 0 0
0 3 0

【例2.9.2-2】数组转置、对称交换和旋转操作后果的对照比较。
A
A =
-4 -1 2
-3 0 3
-2 1 4

A.'
ans =
-4 -3 -2
-1 0 1
2 3 4

flipud(A)
ans =
-2 1 4
-3 0 3
-4 -1 2

fliplr(A)
ans =
2 -1 -4
3 0 -3
4 1 -2

rot90(A)
ans =
2 3 4
-1 0 1
-4 -3 -2

【例2.9.2-3】演示Kronecker乘法不具备“可交换规律”。
B=eye(2)
C=reshape(1:4,2,2)
B =
1 0
0 1
C =
1 3
2 4

kron(B,C)
ans =
1 3 0 0
2 4 0 0
0 0 1 3
0 0 2 4

kron(C,B)
ans =
1 0 3 0
0 1 0 3
2 0 4 0
0 2 0 4
2.10 数组构作技法综合
【例2.10-1】数组的扩展。
（1）数组的赋值扩展法
A=reshape(1:9,3,3)
A =
1 4 7
2 5 8
3 6 9

A(5,5)=111
A =
1 4 7 0 0
2 5 8 0 0
3 6 9 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 111

A(:,6)=222
A =
1 4 7 0 0 222
2 5 8 0 0 222
3 6 9 0 0 222
0 0 0 0 0 222
0 0 0 0 111 222

（2）多次寻访扩展法
AA=A(:,[1:6,1:6])
AA =
1 4 7 0 0 222 1 4 7 0 0 222
2 5 8 0 0 222 2 5 8 0 0 222
3 6 9 0 0 222 3 6 9 0 0 222
0 0 0 0 0 222 0 0 0 0 0 222
0 0 0 0 111 222 0 0 0 0 111 222

（3）合成扩展法
B=ones(2,6)
B =
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1

AB_r=[A;B]
AB_r =
1 4 7 0 0 222
2 5 8 0 0 222
3 6 9 0 0 222
0 0 0 0 0 222
0 0 0 0 111 222
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1

AB_c=[A,B(:,1:5)']
AB_c =
1 4 7 0 0 222 1 1
2 5 8 0 0 222 1 1
3 6 9 0 0 222 1 1
0 0 0 0 0 222 1 1
0 0 0 0 111 222 1 1

【例2.10-2】提取子数组，合成新数组。
A
A =
1 4 7 0 0 222
2 5 8 0 0 222
3 6 9 0 0 222
0 0 0 0 0 222
0 0 0 0 111 222

AB_BA=triu(A,1)+tril(A,-1)
AB_BA =
0 4 7 0 0 222
2 0 8 0 0 222
3 6 0 0 0 222
0 0 0 0 0 222
0 0 0 0 0 222

AB1=[A(1:2,end:-1:1);B(1,:)]
AB1 =
222 0 0 7 4 1
222 0 0 8 5 2
1 1 1 1 1 1

【例2.10-3】单下标寻访和reshape指令演示。
clear
A=reshape(1:16,2,8)
A =
1 3 5 7 9 11 13 15
2 4 6 8 10 12 14 16

reshape(A,4,4)
ans =
1 5 9 13
2 6 10 14
3 7 11 15
4 8 12 16

s=[1 3 6 8 9 11 14 16];
A(s)=0
A =
0 0 5 7 0 0 13 15
2 4 0 0 10 12 0 0

【例2.10-4】“对列（或行）同加一个数”三种的操作方法。
clear,A=reshape(1:9,3,3)
A =
1 4 7
2 5 8
3 6 9

b=[1 2 3];A_b1=A-b([1 1 1],:)
A_b1 =
0 2 4
1 3 5
2 4 6

A_b2=A-repmat(b,3,1)
A_b2 =
0 2 4
1 3 5
2 4 6

A_b3=[A(:,1)-b(1),A(:,2)-b(2),A(:,3)-b(3)]
A_b3 =
0 2 4
1 3 5
2 4 6

【例2.10-5】逻辑函数的运用示例。
randn('state',1),R=randn(3,6)
R =
0.8644 0.8735 -1.1027 0.1684 -0.5523 -0.6149
0.0942 -0.4380 0.3962 -1.9654 -0.8197 -0.2546
-0.8519 -0.4297 -0.9649 -0.7443 1.1091 -0.2698

L=abs(R)<0.5|abs(R)>1.5
L =
0 0 0 1 0 0
1 1 1 1 0 1
0 1 0 0 0 1

R(L)=0
R =
0.8644 0.8735 -1.1027 0 -0.5523 -0.6149
0 0 0 0 -0.8197 0
-0.8519 0 -0.9649 -0.7443 1.1091 0

s=(find(R==0))'
s =
2 5 6 8 10 11 17 18

R(s)=111
R =
0.8644 0.8735 -1.1027 111.0000 -0.5523 -0.6149
111.0000 111.0000 111.0000 111.0000 -0.8197 111.0000
-0.8519 111.0000 -0.9649 -0.7443 1.1091 111.0000

[ii,jj]=find(R==111);
disp(ii'),disp(jj')
2 2 3 2 1 2 2 3
1 2 2 3 4 4 6 6

2.11 高维数组
2.11.1 高维数组的创建
【例2.11.1-1】“全下标”元素赋值方式创建高维数组演示。
A(2,2,2)=1
A(:,:,1) =
0 0
0 0
A(:,:,2) =
0 0
0 1

B(2,5,:)=1:3
B(:,:,1) =
0 0 0 0 0
0 0 0 0 1
B(:,:,2) =
0 0 0 0 0
0 0 0 0 2
B(:,:,3) =
0 0 0 0 0
0 0 0 0 3

【例2.11.1-2】低维数组合成高维数组。
clear,A=ones(2,3);A(:,:,2)=ones(2,3)*2;A(:,:,3)=ones(2,3)*3
A(:,:,1) =
1 1 1
1 1 1
A(:,:,2) =
2 2 2
2 2 2
A(:,:,3) =
3 3 3
3 3 3

【例2.11.1-3】由函数ones, zeros, rand, randn直接创建标准高维数组的示例。
rand('state',1111),rand(2,4,3)
ans(:,:,1) =
0.6278 0.9748 0.2585 0.6949
0.2544 0.2305 0.0313 0.1223
ans(:,:,2) =
0.4889 0.3898 0.8489 0.0587
0.9138 0.3071 0.4260 0.6331
ans(:,:,3) =
0.2802 0.2073 0.7438 0.2714
0.4051 0.2033 0.4566 0.2421

【例2.11.1-4】借助cat, repmat, reshape等函数构作高维数组。
（1）
cat(3,ones(2,3),ones(2,3)*2,ones(2,3)*3)
ans(:,:,1) =
1 1 1
1 1 1
ans(:,:,2) =
2 2 2
2 2 2
ans(:,:,3) =
3 3 3
3 3 3

（2）
repmat(ones(2,3),[1,1,3])
ans(:,:,1) =
1 1 1
1 1 1
ans(:,:,2) =
1 1 1
1 1 1
ans(:,:,3) =
1 1 1
1 1 1

（3）
reshape(1:12,2,2,3)
ans(:,:,1) =
1 3
2 4
ans(:,:,2) =
5 7
6 8
ans(:,:,3) =
9 11
10 12

2.11.2 高维数组的标识
【例2.11.2-1】维数、大小和长度
clear;A=reshape(1:24,2,3,4);
dim_A=ndims(A)
size_A=size(A)
L_A=length(A)
dim_A =
3
size_A =
2 3 4
L_A =
4

2.11.3 高维数组构作和操作函数汇总
【例2.11.3-1】数组元素对称交换指令flipdim的使用示例。
A=reshape(1:18,2,3,3)
A(:,:,1) =
1 3 5
2 4 6
A(:,:,2) =
7 9 11
8 10 12
A(:,:,3) =
13 15 17
14 16 18

flipdim(A,1)
ans(:,:,1) =
2 4 6
1 3 5
ans(:,:,2) =
8 10 12
7 9 11
ans(:,:,3) =
14 16 18
13 15 17

flipdim(A,3)
ans(:,:,1) =
13 15 17
14 16 18
ans(:,:,2) =
7 9 11
8 10 12
ans(:,:,3) =
1 3 5
2 4 6

【例2.11.3-2】数组的“维序号左移”重组。
shiftdim(A,1)
ans(:,:,1) =
1 7 13
3 9 15
5 11 17
ans(:,:,2) =
2 8 14
4 10 16
6 12 18

shiftdim(A,2)
ans(:,:,1) =
1 2
7