资源描述
►基础梳理
1. 优化问题．
生活中经常遇到的利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
2．利用导数解决优化问题的基本思路．
3．利用导数解决优化问题的一般步骤．
(1)审题：认真阅读，分析实际问题中各个量之间的关系．
(2)建模：实质就是数学化的过程，即把实际问题用数学符号、式子、图形等表示出来，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)．
(3)求解：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0，并比较区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，得出函数的最值．
(4)检验：对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出判断，确定问题的答案．
►自测自评
电动自行车的耗电量y与速度x有如下关系：y＝x3－x2－40x(x>0)，为使耗电量最小，则速度应定为40．
1. 为了保证容积一定的圆柱形金属饮料罐所用的材料最省，则它的高与其底面半径之比是(D)
A．1∶2 B．1∶1
C．3∶1 D．2∶1
解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，则V＝πr2h(V是定值)，即h＝，因此，所使用材料总面积为S＝2πr2＋2πrh＝2，则S′＝2，由S′＝0，得2πr3＝V，可以证明此时的r能使S最小．进而得到h＝2r.
点评：本题是含字母的运算，对计算能力要求较高，注意运用整体思想和设而不求．
2．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x，(0≤x≤390)当x＞390时，R(x)＝90 090，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是(D)
A．150 B．200
C．250 D．300
解析：∵总利润P(x)＝
由P′(x)＝0，得x＝300，故选D.
3．某养鸡场是一面靠墙，三面用铁丝网围成的矩形场地．如果铁丝网长40 m，那么围成的场地面积最大为________．
解析：设靠墙的一面长x m，围成的场地面积为y m2，此时矩形的宽为＞0.
∴y＝x·＝－x2＋20x.(0＜x＜40)
y′＝－x＋20，令y′＝0得x＝20，
当0＜x＜20时，y′＞0.
当20＜x＜40时，y′＜0.
∴x＝20时，y最大＝20×10＝200.
答案：200 m2
4．某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形．要求框架围成的总面积为8 m2.问x、y分别为多少时用料最省(精确到0.001 m)?
解析：由题意，得xy＋x2＝8，
∴y＝＝－(0＜x＜4)．
于是，框架用料总长度为
l＝2x＋2y＋2·＝x＋.
求导得，l′＝－，由l′＝0.
得x＝8－4.
可以证明，当x＝8－4时，用料最省．此时，x＝8－4≈2.344，y＝2≈2.828.
故当x为2.344 m，y为2.828 m时，用料最省．
点评：本题也可以用基本不等式求解，但计算量较大．
1．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，焊成一个正四棱形柱容器，则当所做的容器的体积最大时，被截去的小正方形的边长是(B)
A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm
解析：设小正方形的边长为x(0＜x＜24)，则容器的容积为V＝x(48－2x)2.
根据导数，不难得出，当x＝8时，V最大．故选B.
2．曲线C：y＝4－x2(x＞0)上的点与点P(0，2)的最短距离是(C)
A. B.
C. D.
解析：设Q(x，4－x2)(x＞0)是曲线C上任意一点，则PQ的距离为
|PQ|＝＝，
令f(x)＝x4－3x2＋4(x＞0)，根据导数可求得，当x＝时，f(x)min＝，从而|PQ|min＝.
3．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x(x∈N*)满足y＝－x2＋12x－25，则每辆客车营运多少年使其营运年平均利润最大(C)
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：∵总利润y(万元)与营运年数x之间的关系为y＝－x2＋12x－25，
∵平均利润＝－x－＋12＝－＋12，
′＝－1，令－1＝0，解得x＝5.
故选C.
4．要做一个母线长为20 cm的圆锥形漏斗，使其体积最大，则它的高等于(D)
A. cm B. cm
C. cm D. cm
解析：设圆锥的高为h(0＜h＜20)，则底面半径为，它的体积为V＝πh(202－h2)，于是
V′＝π(202－3h2)，令V′＝π(202－3h2)＝0，得h＝.
可以证明，当圆锥的高为 cm时，其体积最大．
5．如右图，在半径为r的圆O的一侧作一内接梯形ABCD，使其下底为圆的直径，其他三边为圆的弦．当梯形的面积 最大时，梯形的上底长为(D)
A.r
B.r
C.r
D．r
解析：如题图，设∠AOD＝x，
则∠BOC＝x，∠COD＝π－2x，于是梯形的面积为
S＝2·r2sin x＋r2sin(π－2x)＝r2(sin x＋sin xcos x)，那么，S′＝r2(cos x＋cos 2x)＝r2(2cos2 x＋cos x－1)．
令S′＝0，解得，cos x＝或cos x＝－1(不合题意，舍去)，即x＝.
易知，当x＝时，梯形面积最大．相应地，△OCD为正三角形，所以梯形的上底长是r.
6．某工厂生产某种商品x单位的利润是C(x)＝500＋x－0.001x2，则生产该商品________单位时，所获得的最大利润是________．
解析：由于C(x)是二次函数，所以可以求导或者配方或者直接用公式即可得到，生产该商品500单位时，所获得的最大利润是750.
答案：500 750
7．做一个容积为256升的方底无盖水箱，它的高为________分米时，用料最省．
解析：设水箱高为x分米．则底面正方形的边长是分米，那么总用料面积是
S＝＋4·x·＝64，求导后，得到，当 x＝4分米时，用料最省．
答案：4
8．把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成 一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________．
解析：设一段细铁丝为x cm(0＜x＜12)，则另一段为(12－x)cm，那么这两根细铁丝各自围成的两个正三角形面积的和是S＝f(x)＝＋＝(2x2－24x＋144)＝[(x－6)2＋36]．于是，当x＝6 cm时，这两个正三角形面积之和的最小值是2 cm2.
答案：2 cm2
9．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位该产品，成本增加100元，已知每月总收益R与月产量x的关系是R(x)＝
若要使公司每月的总利润最大，该产品的月产量是多少？
解析：依题意，可以求得，总利润为
L(x)＝
即L(x)＝
(1)若0≤x≤400，可求得当x＝300时，
L(x)max＝25 000；
(2)若x＞400，显然L(x)＜20 000.
因此，该产品的月产量为300单位时，总利润最大．
10．某地区预计从2011年初开始的第x月，商品A的价格f(x)＝(x2－12x＋69)(x∈N，x≤12，价格单位：元)，且第x月该商品的销售量g(x)＝x＋12(单位：万件)．
(1)2011年的最低价格是多少？
(2)2011年的哪一个月的销售收入最少？
解析：(1)f(x)＝[(x－6)2＋33]，∴当x＝6时，f(x)取得最小值，即第6个月的价格最低，最低价格为16.5元．
(2)设第x月的销售收入为y(万元)，依题意有y＝(x2－12x＋69)(x＋12)＝(x3－75x＋828)，
y′＝(3x2－75)＝(x＋5)(x－5)，所以当1≤x≤5时y′≤0，y递减；
当5≤x≤12时y′≥0，y递增，所以当x＝5时，y最小，即第5个月销售收入最少．
答案：2011年在第5月的销售收入最低．
11．已知某工厂生产x件产品的成本为c＝25 000＋200x＋x2(元)．
(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？
(2)若产品每件以500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？
解析：(1)设平均成本为y元，则
y＝＝＋200＋x(x>0)，
y′＝－＋(x>0)，
令y'＝0，得x1＝1 000，x2＝－1 000(舍去)．
因此，要使平均成本最低，应生产1 000件产品．
(2)利润函数L＝500x－＝300x－25 000－x2.
L′＝300－x.
当x∈(0，6 000)时，L′(x)＞0；当x∈(6 000，＋∞)时，L′(x)＜0.∴x＝6 000时，L′(x)取得极大值，即函数在该点取得最大值．
令L′＝0，得x＝6 000.
因此要使利润最大，应生产6 000件产品．
12. 如右图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，设CD＝2x，梯形面积为S.
(1)求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；
(2)求面积S的最大值．
分析：先建立直角坐标系，设出椭圆的方程，表示出梯形面积的函数关系，利用导数的有关知识解决问题．
解析：(1)依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系Oxy(如右图)，则点C的横坐标为x，点C的纵坐标y满足方程＋＝1(y≥0)，
解得y＝2(0<x<r)，
S＝(2x＋2r)·2＝2(x＋r)·，其定义域为{x|0<x<r}．
(2)记f(x)＝4(x＋r)2(r2－x2)，0<x<r，
则f′(x)＝8(x＋r)2(r－2x)．
令f′(x)＝0，得x＝.
因为当0<x<时，f′(x)>0；当<x<r时，f′(x)<0.所以f是f(x)的最大值．
因此，当x＝时，S也取得最大值，最大值为＝r2.
即梯形面积S的最大值为r2.
点评：本题主要考查解析几何知识、函数知识以及导数在实际问题中的应用．解题思路是将已知的几何关系数量化，再借助导数研究其性质．本题巧妙地将实际问题与解析几何、函数、导数结合起来，非常具有新意．
►体验高考
1．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
解析：设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，
则f＝＋＝560＋48x＋，
f′＝48－，令 f′＝0，得x＝15.
当x>15时，f′>0 ；
当10<x<15时，f′<0.
因此，当x＝15时，f(x)取最小值f＝2 000.
答：为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．
2．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式．
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
解析：(1)设需要新建n个桥墩，
(n＋1)x＝m，即n＝－1，
所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x
＝256＋(2＋)x
＝＋m＋2m－256.
(2)由(1)知，f′(x) ＝ － ＋ mx－
＝ (x－512)．
令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.
当0<x<64时f′(x)<0，f(x)在区间(0，64)内为减函数；
当64<x<640时，f′(x)>0. f(x)在区间(64，640)内为增函数，
所以f(x)在x＝64处取得最小值，此时，
n＝－1＝－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y最小．
3．围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
解析：(1)如下图所示，设矩形的另一边长为a m，
y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360，
由已知xa＝360，得a＝，
所以y＝225x＋－360(x>0)．
(2)y′＝－＋225，令y′＝0得x＝24(x＝－24舍去)．
即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．
4．某企业拟建造如下图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l≥2r，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元，设该容器的建造费用为y千元．
(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的r.
解析：(1)设容器的容积为V，
由题意知V＝πr2l＋πr3，又V＝，
故l＝＝－r＝.
由于 l≥2r，因此 0<r≤2，所以建造费用 y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr××3＋4πr2c，因此 y＝4π(c－2)r2＋，0<r≤2.
(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－＝·，0<r≤2.
由于c>3，所以c－2>0.
当r3－＝0时，r＝ .
令 ＝m，则m>0，
所以 y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2)．
①当0<m<2即c>时，
当r＝m时，y′＝0；
当r∈(0，m)时，y′<0；
当r∈(m，2)时，y′>0.
所以 r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．
②当m≥2即3<c≤时，
当r∈(0，2)时，y′<0，函数单调递减．
所以 r＝2是函数y的最小值点．
综上所述，当3<c≤，建造费用最小时r＝2；
当c>，建造费用最小时r＝ .
5．(2013·重庆卷)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
解析：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总本本为160πr2元，所以蓄水池的总成本(200πrh＋160πr2)元，又据题意200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．
因为r＞0，又由h＞0可得r＜5，故函数V(r)的定义域为(0，5)．
(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，故V′(r)＝(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(r2＝－5不在定义域内，舍去)．
当r∈(0，5)时，V′(r)＞0，故V(r)在(0，5)上为增函数；当r∈(5，5)时，V′(r)＜0，故V(r)在(5，5)上为减函数．
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．
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