2013北师大版高中数学选修4-1第一章综合检测题及答案解析.doc

综合检测(一)
(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若三角形的三条边之比为3∶5∶7，与它相似的三角形的最长边为21 cm，则其余两边的和为(　　)
A．24 cm　　　　　　 B．21 cm
C．19 cm D．9 cm
【解析】　设其余两边分别为x cm，y cm，
则＝＝，得x＝15 cm，y＝9 cm，∴x＋y＝24 cm.
【答案】　A
2．如图1，已知BN∥AM，ND∥MC，那么有(　　)

图1
A.＝
B.＝
C.＝
D．以上答案都不对
【解析】　∵BN∥AM，∴＝，
又∵ND∥MC，∴＝，∴＝.
【答案】　B
3．如图2，把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分(即图中的阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半，若AB＝，则此三角形移动的距离AA′是(　　) http ://ww

图2
A.－1 B.
C．1 D.
【解析】　由题意可知，阴影部分与△ABC相似，且等于△ABC面积的，∴A′B∶AB＝＝1∶.
又∵AB＝，∴A′B＝1，∴AA′＝－1.
【答案】　A
4．如图3，⊙O的直径为CD，与弦AB交于点P，若AP＝4，BP＝6，CP＝3，则该圆的半径为(　　)

图3
A．5.5 B．5
C．6 D．6.5
【解析】　根据相交弦定理，可得
AP·BP＝CP·DP，即4×6＝3×DP，
∴DP＝8，∴2r＝DP＋CP＝8＋3，
∴r＝5.5.
【答案】　A
5．(2013·信阳模拟)如图4所示，铁道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m，当短臂端点下降0.5 m时，长臂端点升高(　　)

图4
A．11.25 m B．6.6 m
C．8 m D．10.5 m
【解析】　本题是一个实际问题，可抽象为如下数学问题：如图，等腰△AOC∽等腰△BOD，OA＝1 m，OB＝16 m，高CE＝0.5 m，求高DF.由相似三角形的性质可得OA∶OB＝CE∶DF，即1∶16＝0.5∶DF，解得DF＝ 8 m.

【答案】　C
6．如图5，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线MN切⊙O于点C，BE∥MN交AC于点E，若AB＝6，BC＝4，则AE＝(　　)

图5
A. B.
C．1 D.
【解析】　∵MN为⊙O的切线，
∴∠BCM＝∠A.∵MN∥BE，∴∠BCM＝∠EBC，∴∠A＝∠EBC.
又∠ACB＝∠BCE，∴△ABC∽△BEC，
∴＝.∵AB＝AC，∴BE＝BC.∴＝.
∴EC＝，∴AE＝6－＝.
【答案】　A
7．如图6，已知AT切⊙O于T，若AT＝6，AE＝3，AD＝4，DE＝2，则BC＝(　　)

图6
A．3 B．4
C．6 D．8
【解析】　 ∵AT为⊙O的切线，
∴AT2＝AD·AC.
∵AT＝6，AD＝4，∴AC＝9.
∵∠ADE＝∠B，∠EAD＝∠CAB，∴△EAD∽△CAB，
即＝，∴BC＝＝＝6.
【答案】　C
8．已知⊙O是△ABC的外接圆，⊙I是△ABC的内切圆，∠A＝80°，则∠BIC等于(　　)
A．80° B．100°
C．120° D．130°
【解析】　∵∠A＝80°，

∴∠ABC＋∠ACB＝100°.
∵∠IBC＝∠ABC，
∴∠ICB＝∠ACB，
∴∠IBC＋∠ICB
＝(∠ABC＋∠ACB)＝×100°＝50°，
∴∠BIC＝180°－50°＝130°.
【答案】　D
9. (2013·开封模拟)如图7，在⊙O中，MN为直径，点A在⊙O上，且∠AON＝60°，点B是的中点，点P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为(　　)

图7
A．1 B.
C.－1 D.
【解析】　

如图，过点B作BB′⊥MN，交⊙O于点B′，连接AB′交MN于点P′，即点P在点P′处时，AP＋BP最小．
易知B与B′点关于MN对称，
依题意∠AON＝60°，
则∠B′ON＝∠BON＝30°，
所以∠AOB′＝90°，AB′＝＝.
故PA＋PB的最小值为，故选D.
【答案】　D
10．如图8，PT切⊙O于T，CT是⊙O的直径，PBA是割线，与⊙O的交点是A、B，与直线CT的交点是D，已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那么PB＝(　　)

图8

A．10 B．20
C．5 D．8
【解析】　根据相交弦定理可得
AD·DB＝CD·DT，∴3×4＝2DT，解得DT＝6，
∴圆的半径r＝4，AB＝7，
不妨设PB＝x，则PA＝x＋7，
根据切割线定理，可得PT2＝PB·PA，
∴PT2＝x·(x＋7)，在Rt△PTD中，DT2＋PT2＝PD2，∴36＋PT2＝(x＋4)2，∴36＋x(x＋7)＝(x＋4)2，
解得x＝20.
【答案】　B
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上)
11．如图9，一圆内切四边形ABCD，且AB＝16，CD＝10，则四边形的周长为________．

图9
【解析】　由切线长定理知CD＋AB＝AD＋BC，
∵AB＋CD＝26，∴AB＋BC＋CD＋AD＝52.
【答案】　52
12．如图10，已知DE∥BC，且BF∶EF＝4∶3，则AC∶AE＝________.

图10
【解析】　∵DE∥BC，
∴＝，
＝，
∴＝＝＝.
【答案】　4∶3http ://ww
13．(2013·广东高考)如图11，AB是圆O的直径，点C在圆O上．延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，则BC＝________.

图11
【解析】　法一　因为AB为圆O的直径，所以AC⊥BC.又BC＝CD，所以△ABD是等腰三角形，所以AD＝AB＝6，∠DAC＝∠BAC.因为CE切圆O于点C，所

以∠ECA＝∠ABC.又因为∠BAC＋∠ABC＝90°，所以∠DAC＋∠ECA＝90°，故CE⊥AD.故CD2＝DE·DA＝2×6＝12，所以BC＝CD＝2.
法二　如图，连接OC，因为BO＝OA，BC＝CD，所以OC∥AD.又因为CE切圆O于点C，所以OC⊥CE，所以AD⊥CE.因为AB为圆O的直径，所以AC⊥BD.又BC＝CD，所以△ABD是等腰三角形，故∠ADB＝∠ABD，所以△ABC∽△CDE，则＝，所以BC·CD＝AB·DE，即BC2＝AB·DE＝6×2＝12，BC＝2.
【答案】　2
14．如图12，⊙O和⊙O′相交于A、B两点，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q，M，交AB的延长线于N点，若MN＝1，MQ＝3，则PN的长为________．

图12
【解析】　依题意得，NP2＝NB·NA＝NM·NQ，则NP2＝MN·NQ，NP2＝1×(1＋3)＝4，NP＝2.
【答案】　2
15．(2013·天津高考)如图13，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB＝AD＝5，BE＝4，则弦BD的长为________．

图13
【解析】　因为AB∥DC，所以四边形ABCD是等腰梯形，所以BC＝AD＝AB＝5.又AE是切线，所以AE∥BD，AE2＝BE·EC＝4(4＋5)＝36，所以AE＝6.因为∠CDB＝∠BAE，∠BCD＝∠ABE，所以△ABE∽△DCB，所以＝，于是BD＝＝.
【答案】　
三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)已知：如图14，△ABC中，DE∥BC交AB、AC于D，E，DF∥AC交BC于F，连接AF交DE于M，连接BE交DF于N.

图14
求证：MN∥AB.
【证明】　在△BDE中，∵DE∥BC.
∴＝＝，∴＝.
∵DF∥AC，∴＝，∴＝，
∴MN∥AB.
17．(本小题满分12分)如图15，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.

图15
求证：(1)∠DEA＝∠DFA；
(2)AB2＝BE·BD－AE·AC.
【证明】　(1)连接AD，因为AB为圆的直径，

所以∠ADB＝90°，又EF⊥AB，∠EFA＝90°，
则A、D、E、F四点共圆，
∴∠DEA＝∠DFA.
(2)连接BC，由(1)知，BD·BE＝BA·BF，又△ABC∽△AEF，
∴＝，即AB·AF＝AE·AC，
∴BE·BD－AE·AC＝BA·BF－AB·AF
＝AB(BF－AF)＝AB2.
即证：AB2＝BE·BD—AE·AC.
18．(本小题满分12分)如图16，AB是⊙O的直径，C是⊙O外一点，且AC＝AB，BC交⊙O于点D.已知BC＝4，AD＝6，求四边形ABDE的周长．

图16
【解】　∵AC＝AB，AD⊥BC，
∴BD＝DC＝BC＝2，X K b1.C om
∴AB＝AC＝＝2.
又∵CD·CB＝CE·CA，
∴CE＝＝＝，
∴AE＝AC－CE＝2－＝.
又∵△CED∽△CBA，∴DE＝DC＝2，
∴四边形ABDE的周长为AB＋BD＋DE＋EA＝2＋2＋2＋＝4＋.
19．(本小题满分13分)(2013·课标全国卷Ⅰ)如图17，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.

图17
(1)证明：DB＝DC；
(2)设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．

【解】　(1)证明　如图，连接DE，交BC于点G.
由弦切角定理，
得∠ABE＝∠BCE，
而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，所以BE＝CE.
又因为DB⊥BE，所以DE为圆的直径，∠DCE＝90°.
由勾股定理可得DB＝DC.
(2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，
故DG是BC边的中垂线，所以BG＝.
设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG＝60°，从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于.
20．(本小题满分13分)如图18，E是圆O内两弦AB和CD的交点，F是AD延长线上一点，FG与圆O相切于点G，且EF＝FG.求证：

图18
(1)△EFD∽△AFE；
(2)EF∥BC.
【证明】　(1)∵FG与圆O相切于点G，
∴FG2＝FD·FA.
∵EF＝FG，∴EF2＝FD·FA，∴＝，
∵∠EFD＝∠AFE，∴△EFD∽△AFE.
(2)由(1)知∠FED＝∠FAE，
又∵∠FAE＝∠BCD，∴∠FED＝∠BCD，∴EF∥BC.
21．(本小题满分13分)如图19，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.

图19
(1)证明：CD∥AB；
(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．
【证明】　(1)∵EC＝ED，∴∠EDC＝∠ECD.∵A，B，C，D，四点在同一圆上，

∴∠EDC＝∠EBA.
故∠ECD＝∠EBA.∴CD∥AB.
(2)由(1)知，AE＝BE.∵EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.
连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，
故∠FAE＝∠GBE.
又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，
∴∠FAB＝∠GBA.
∴∠AFG＋∠GBA＝180°，
故A，B，G，F四点共圆．

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