2学年高二人教版数学选修1-1练习：3.4生活中的优化问题举例-Word版含答案.docx

基础梳理1. 优化问题生活中经常遇到的利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题2利用导数解决优化问题的基本思路3利用导数解决优化问题的一般步骤(1)审题：认真阅读，分析实际问题中各个量之间的关系(2)建模：实质就是数学化的过程，即把实际问题用数学符号、式子、图形等表示出来，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)(3)求解：求函数的导数f(x)，解方程f(x)0，并比较区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小，得出函数的最值(4)检验：对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出判断，确定问题的答案自测自评电动自行车的耗电量y与速度x有如下关系：yx3x240x(x0)，为使耗电量最小，则速度应定为401. 为了保证容积一定的圆柱形金属饮料罐所用的材料最省，则它的高与其底面半径之比是(D) A12 B11C31 D21解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，则Vr2h(V是定值)，即h，因此，所使用材料总面积为S2r22rh2，则S2，由S0，得2r3V，可以证明此时的r能使S最小进而得到h2r.点评：本题是含字母的运算，对计算能力要求较高，注意运用整体思想和设而不求2某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0x390)的关系是R(x)400x，(0x390)当x390时，R(x)90 090，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是(D)A150 B200C250 D300解析：总利润P(x)由P(x)0，得x300，故选D.3某养鸡场是一面靠墙，三面用铁丝网围成的矩形场地如果铁丝网长40 m，那么围成的场地面积最大为_解析：设靠墙的一面长x m，围成的场地面积为y m2，此时矩形的宽为0.yxx220x.(0x40)yx20，令y0得x20，当0x20时，y0.当20x40时，y0.x20时，y最大2010200.答案：200 m24某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形要求框架围成的总面积为8 m2.问x、y分别为多少时用料最省(精确到0.001 m)?解析：由题意，得xyx28，y(0x4)于是，框架用料总长度为l2x2y2x.求导得，l，由l0.得x84.可以证明，当x84时，用料最省此时，x842.344，y22.828.故当x为2.344 m，y为2.828 m时，用料最省点评：本题也可以用基本不等式求解，但计算量较大1用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，焊成一个正四棱形柱容器，则当所做的容器的体积最大时，被截去的小正方形的边长是(B)A6 cm B8 cm C10 cm D12 cm解析：设小正方形的边长为x(0x24)，则容器的容积为Vx(482x)2.根据导数，不难得出，当x8时，V最大故选B.2曲线C：y4x2(x0)上的点与点P(0，2)的最短距离是(C)A. B.C. D.解析：设Q(x，4x2)(x0)是曲线C上任意一点，则PQ的距离为|PQ|，令f(x)x43x24(x0)，根据导数可求得，当x时，f(x)min，从而|PQ|min.3某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x(xN*)满足yx212x25，则每辆客车营运多少年使其营运年平均利润最大(C)A3 B4 C5 D6解析：总利润y(万元)与营运年数x之间的关系为yx212x25，平均利润x1212，1，令10，解得x5.故选C.4要做一个母线长为20 cm的圆锥形漏斗，使其体积最大，则它的高等于(D)A. cm B. cmC. cm D. cm解析：设圆锥的高为h(0h20)，则底面半径为，它的体积为Vh(202h2)，于是V(2023h2)，令V(2023h2)0，得h.可以证明，当圆锥的高为 cm时，其体积最大5如右图，在半径为r的圆O的一侧作一内接梯形ABCD，使其下底为圆的直径，其他三边为圆的弦当梯形的面积 最大时，梯形的上底长为(D)A.rB.rC.rDr解析：如题图，设AODx，则BOCx，COD2x，于是梯形的面积为S2r2sin xr2sin(2x)r2(sin xsin xcos x)，那么，Sr2(cos xcos 2x)r2(2cos2 xcos x1)令S0，解得，cos x或cos x1(不合题意，舍去)，即x.易知，当x时，梯形面积最大相应地，OCD为正三角形，所以梯形的上底长是r.6某工厂生产某种商品x单位的利润是C(x)500x0.001x2，则生产该商品_单位时，所获得的最大利润是_解析：由于C(x)是二次函数，所以可以求导或者配方或者直接用公式即可得到，生产该商品500单位时，所获得的最大利润是750.答案：5007507做一个容积为256升的方底无盖水箱，它的高为_分米时，用料最省解析：设水箱高为x分米则底面正方形的边长是分米，那么总用料面积是S4x64，求导后，得到，当 x4分米时，用料最省答案：48把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成 一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是_解析：设一段细铁丝为x cm(0x12)，则另一段为(12x)cm，那么这两根细铁丝各自围成的两个正三角形面积的和是Sf(x)(2x224x144)(x6)236于是，当x6 cm时，这两个正三角形面积之和的最小值是2 cm2.答案：2 cm29某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位该产品，成本增加100元，已知每月总收益R与月产量x的关系是R(x)若要使公司每月的总利润最大，该产品的月产量是多少？解析：依题意，可以求得，总利润为L(x)即L(x)(1)若0x400，可求得当x300时，L(x)max25 000；(2)若x400，显然L(x)20 000.因此，该产品的月产量为300单位时，总利润最大10某地区预计从2011年初开始的第x月，商品A的价格f(x)(x212x69)(xN，x12，价格单位：元)，且第x月该商品的销售量g(x)x12(单位：万件)(1)2011年的最低价格是多少？(2)2011年的哪一个月的销售收入最少？解析：(1)f(x)(x6)233，当x6时，f(x)取得最小值，即第6个月的价格最低，最低价格为16.5元(2)设第x月的销售收入为y(万元)，依题意有y(x212x69)(x12)(x375x828)，y(3x275)(x5)(x5)，所以当1x5时y0，y递减；当5x12时y0，y递增，所以当x5时，y最小，即第5个月销售收入最少答案：2011年在第5月的销售收入最低11已知某工厂生产x件产品的成本为c25 000200xx2(元)(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品每件以500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？解析：(1)设平均成本为y元，则y200x(x0)，y(x0)，令y0，得x11 000，x21 000(舍去)因此，要使平均成本最低，应生产1 000件产品(2)利润函数L500x300x25 000x2.L300x.当x(0，6 000)时，L(x)0；当x(6 000，)时，L(x)0.x6 000时，L(x)取得极大值，即函数在该点取得最大值令L0，得x6 000.因此要使利润最大，应生产6 000件产品12. 如右图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，设CD2x，梯形面积为S.(1)求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；(2)求面积S的最大值分析：先建立直角坐标系，设出椭圆的方程，表示出梯形面积的函数关系，利用导数的有关知识解决问题 解析：(1)依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系Oxy(如右图)，则点C的横坐标为x，点C的纵坐标y满足方程1(y0)，解得y2(0xr)，S(2x2r)22(xr)，其定义域为x|0xr(2)记f(x)4(xr)2(r2x2)，0xr，则f(x)8(xr)2(r2x)令f(x)0，得x.因为当0x0；当xr时，f(x)15时，f0 ；当10x15时，f0.因此，当x15时，f(x)取最小值f2 000.答：为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层2某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解析：(1)设需要新建n个桥墩，(n1)xm，即n1，所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xm2m256.(2)由(1)知，f(x) mx (x512)令f(x)0，得x512，所以x64.当0x64时f(x)0，f(x)在区间(0，64)内为减函数；当64x0. f(x)在区间(64，640)内为增函数，所以f(x)在x64处取得最小值，此时，n119.故需新建9个桥墩才能使y最小3围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用解析：(1)如下图所示，设矩形的另一边长为a m，y45x180(x2)1802a225x360a360，由已知xa360，得a，所以y225x360(x0)(2)y225，令y0得x24(x24舍去)即当x24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元4某企业拟建造如下图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l2r，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c3)千元，设该容器的建造费用为y千元(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.解析：(1)设容器的容积为V，由题意知Vr2lr3，又V，故lr.由于 l2r，因此 0r2，所以建造费用 y2rl34r2c2r34r2c，因此 y4(c2)r2，0r2.(2)由(1)得y8(c2)r，03，所以c20.当r30时，r .令 m，则m0，所以 y(rm)(r2rmm2)当0m时，当rm时，y0；当r(0，m)时，y0.所以 rm是函数y的极小值点，也是最小值点当m2即3c时，当r(0，2)时，y0，函数单调递减所以 r2是函数y的最小值点综上所述，当3，建造费用最小时r .5(2013重庆卷)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解析：(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh元，底面的总本本为160r2元，所以蓄水池的总成本(200rh160r2)元，又据题意200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)因为r0，又由h0可得r5，故函数V(r)的定义域为(0，5)(2)因为V(r)(300r4r3)，故V(r)(30012r2)令V(r)0，解得r15，r25(r25不在定义域内，舍去)当r(0，5)时，V(r)0，故V(r)在(0，5)上为增函数；当r(5，5)时，V(r)0，故V(r)在(5，5)上为减函数由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8，即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大