高中数学函数压轴题(精制).doc

高考数学函数压轴题：1. 已知函数在处取得的极小值是.(1)求的单调递增区间；(2)若时，有恒成立，求实数的取值范围.2. 某造船公司年最高造船量是20艘. 已知造船x艘的产值函数R (x)=3700x + 45x2 10x3(单位：万元), 成本函数为C (x) = 460x + 5000 (单位：万元). 又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf (x)定义为: Mf (x) = f (x+1) f (x). 求:（提示：利润 = 产值 成本）(1) 利润函数P(x) 及边际利润函数MP(x); (2) 年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最大? (3) 边际利润函数MP(x)的单调递减区间, 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？3. 已知函数，函数的图象与的图象关于点中心对称。（1）求函数的解析式；（2）如果，试求出使成立的取值范围；（3）是否存在区间，使对于区间内的任意实数，只要，且时，都有恒成立？4已知函数： （）证明：f(x)+2+f(2ax)=0对定义域内的所有x都成立. （）当f(x)的定义域为a+,a+1时，求证：f(x)的值域为3，2； （）设函数g(x)=x2+|(xa)f(x)| ,求g(x) 的最小值 .5. 设是定义在上的函数，若存在，使得在上单调递增，在上单调递减，则称为上的单峰函数，为峰点，包含峰点的区间为含峰区间.对任意的上的单峰函数，下面研究缩短其含峰区间长度的方法. （1）证明：对任意的，若，则为含峰区间；若，则为含峰区间； （2）对给定的，证明：存在，满足，使得由（1）所确定的含峰区间的长度不大于；6. 设关于的方程的两根分别为、，函数（1）证明在区间上是增函数；（2）当为何值时，在区间上的最大值与最小值之差最小7. 甲乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数，及任意的，当甲公司投入万元作宣传时，乙公司投入的宣传费若小于万元，则乙公司有失败的危险，否则无失败的危险；当乙公司投入万元作宣传时，甲公司投入的宣传费若小于万元，则甲公司有失败的危险，否则无失败的危险. 设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，建立如图直角坐标系，试回答以下问题：(1)请解释；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(2)甲、乙两公司在均无失败危险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问此时各应投入多少宣传费？(3)若甲、乙分别在上述策略下，为确保无失败的危险，根据对方所投入的宣传费，按最少投入费用原则，投入自己的宣传费：若甲先投入万元，乙在上述策略下，投入最少费用；而甲根据乙的情况，调整宣传费为；同样，乙再根据甲的情况，调整宣传费为如此得当甲调整宣传费为时，乙调整宣传费为；试问是否存在，的值，若存在写出此极限值（不必证明），若不存在，说明理由. 8. 设是定义域在上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零.（l）求证在上是减函数；（ll）如果，的定义域的交集为空集，求实数的取值范围；（lll）证明若，则，存在公共的定义域，并求这个公共的空义域.9. 已知函数f（x）ax2bxc，其中aN*，bN，cZ。（1）若b2a，且f（sinx）（xR）的最大值为2，最小值为4，试求函数f（x）的最小值；（2）若对任意实数x，不等式4xf（x）2（x21）恒成立，且存在x0，使得f（x0）bc1,且a、b、c成等差数列，求证：；（3）（本小题只理科做）若f(x) 单调递增，且mn0时，有，求证：12. 已知三次函数在y轴上的截距是2，且在上单调递增，在（1，2）上单调递减.20070328 ()求函数f (x)的解析式； ()若函数，求的单调区间.13. 已知函数（且）(1) 试就实数的不同取值，写出该函数的单调递增区间；(2) 已知当时，函数在上单调递减，在上单调递增，求的值并写出函数的解析式； (3) （理）记(2)中的函数的图像为曲线，试问是否存在经过原点的直线，使得为曲线的对称轴？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由 (文) 记(2)中的函数的图像为曲线，试问曲线是否为中心对称图形？若是，请求出对称中心的坐标并加以证明；若不是，请说明理由14. 已知函数和 的图象在处的切线互相平行.() 求的值；（）设，当时，恒成立，求的取值范围.15. 设函数定义在上，对任意的，恒有，且当时，。试解决以下问题：（1）求的值，并判断的单调性；（2）设集合，若，求实数的取值范围；（3）若，满足，求证：16. （理科）二次函数f(x)=（I）若方程f(x)=0无实数根，求证：b0；（II）若方程f(x)=0有两实数根，且两实根是相邻的两个整数，求证：f(a)=；（III）若方程f(x)=0有两个非整数实根，且这两实数根在相邻两整数之间，试证明存在整数k，使得.(文科)已知函数f(x)=，其中（I）若b2a,且 f(sinx)(xR)的最大值为2，最小值为4，试求函数f(x)的最小值；（II）若对任意实数x，不等式恒成立,且存在成立，求c的值。17. 定义在（-1，1）上的函数f(x)满足：对任意x、y (-1,1)都有。（I）求证：函数f(x)是奇函数；（II）如果当 时，有f(x)0，判断f(x)在(-1,1)上的单调性，并加以证明；（III）设-1a1;()如果，且f(x)x的两实根相差为2，求实数b 的取值范围.19. 函数的定义域为R，并满足以下条件：对任意，有；对任意、，有； 则（1）求的值； （4分） （2）求证：在R上是单调增函数； （5分）（3）若，求证：20. （理）已知（1）讨论的单调性；（2）证明：其中无理数.（文）设函数，其图象在点处的切线的斜率分别为.（1）求证：；（2）若函数的递增区间为，求的取值范围.21.设函数 （1）求函数f(x)的单调区间，并求函数f(x)的极大值和极小值； （2）当xa+1, a+2时，不等，求a的取值范围.22. 已知函数，函数.（1）当时，求函数f(x)的最小值；（2）设函数h(x)=(1x)f(x)+16，试根据m的取值分析函数h(x)的图象与函数g(x)的图象交点的个数.23. 已知二次函数为常数）；.若直线l1、l2与函数f（x）的图象以及l1，y轴与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示. （）求a、b、c的值； （）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式； （）若问是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.24. 已知，点A(s,f(s), B(t,f(t) (I) 若,求函数的单调递增区间； (II)若函数的导函数满足：当|x|1时，有|恒成立，求函数的解析表达式；(III)若0a 0, n为正整数，f n ( x ) = x n ( x + a)n ( x 0 )是关于x的函数.(1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论.(2) 对任意n a , 证明f n + 1 ( n + 1 ) ( n + 1 )fn(n)答案：1.解：(1)，由题意，令得的单调递增区间为和.(2) ，当变化时，与的变化情况如下表：- 4(-4，-2)-2(-2,2)2(2,3)3 0 0单调递增单调递减 单调递增 1所以时，.于是在上恒成立等价于，求得.2.解：(1) P(x) = R (x) C (x) = 10x3 + 45x2 + 3240x 5000 (xN且x1, 20); 2分 MP (x) = P ( x + 1 ) P (x) = 30x2 + 60x +3275 (xN且x1, 20). 4分 (2) P(x) = 30x2 + 90x + 3240 = 30( x +9 )(x 12) (xN且x1, 20) 7分 当1 x 0, P(x)单调递增, 当 12 x 20时, P(x) 0 , P ( x ) 单调递减. x = 12 时, P(x)取最大值, 10分 即, 年建造12艘船时, 公司造船的年利润最大. 11分 (3) 由MP(x ) = 30( x 1) 2 + 3305 (xN且x1, 20). 当1 x 20时，MP (x)单调递减. 12分 MP (x)是减函数说明: 随着产量的增加，每艘利润与前一台比较，利润在减少.13.解：（1） （6分）（2）由解得即解得（12分）（1） 由，又，当时，对于时，命题成立。（14分）以下用数学归纳法证明对，且时，都有成立假设时命题成立，即，那么即时，命题也成立。存在满足条件的区间。4.解：（）证明：结论成立 4分（）证明：当 即9分（）解： （1）当如果 即时，则函数在上单调递增 如果当时，最小值不存在11分（2）当 如果如果13分当综合得：当时 g（x）最小值是当时 g（x）最小值是 当时 g（x）最小值为当时 g（x）最小值不存在5.解：(1)证明:设为的峰点,则由单峰函数定义可知, 在上单调递增, 在上单调递减,当时,假设,则,从而这与矛盾,所以,即为含峰区间.当时,假设,则,从而这与矛盾,所以,即为含峰区间.(7分) （2）证明：由(1)的结论可知:当时, 含峰区间的长度为；当时, 含峰区间的长度为；对于上述两种情况，由题意得 由得即，又因为，所以 将代入得 由和解得所以这时含峰区间的长度，即存在使得所确定的含峰区间的长度不大于6.解：(1)证明：，由方程的两根分别为、知时，所以此时，所以在区间上是增函数(2)解：由（）知在上，最小值为，最大值为，可求得，所以当时，在区间上的最大值与最小值之差最小，最小值为7.解：(1)表示当甲公司不投入宣传费时,乙公司要回避失败风险,至少要投入=8万元; (2分)表示当乙公司不投入宣传费时, 甲公司要回避失败风险,至少要投入 =12万元. (4分)128xOM(17,25)(2) 解方程组 (6分) 得: x = 17, y = 25 (9分) 故甲公司至少投入17万元,乙公司至少投入25万元. (11分)(3) 经观察, 显见 . 故点M (17, 25) 是双方在宣传投入上保证自己不失败的一个平衡点. (16分)8.解：（1）奇函数的图像上任意两点连线的斜率均为负 对于任意且有3分从而与异号在上是减函数5分（2） 的定义域为 的定义域为7分 上述两个定义域的交集为空集 则有： 或9分解得：或故c的取值范围为或10分（3） 恒成立 由(2)知：当时 当或时且 此时的交集为12分当 且 此时的交集为故时，存在公共定义域，且当或时，公共定义域为；当时，公共定义域为.9.解：（1）由函数f（x）的图像开口向上，对称轴xb/2a2a，故a1，c2。f（x）x23x2，最小值为17/4。（2）令x1，代入不等式4xf（x）2（x21）得f（1）4，即abc4，从而b4ac。又4xf（x）恒成立，得ax2（b4）xc0恒成立，故（b4）24ac0，ac。又b0，ac4，c1或c2。当c2时，f（x）2x22，此时不存在满足题意的x0。当c1时满足条件，故c1。10.解：（1），（2）设点A（x由交点对应于方程即b=4或b=0为所求.11.解：(1)取x=1,q=2,有若存在另一个实根，使得（2），则0，又a+c=2b,ac-b=即acb(3)又令m=b,n=,b且q则f(m)+f(n)=(qf(b)=f(mn)=0且即4m=,由0n1时，m 1，由得x 1时，在（1，2），（2，+）上单增；在（m，1）单减.12分13.解：(1) 当时，函数的单调递增区间为及， 当时，函数的单调递增区间为及， 当时，函数的单调递增区间为及 （6分） (2) 由题设及(1)中知且，解得， （9分） 因此函数解析式为 （10分） (3) （理）假设存在经过原点的直线为曲线的对称轴，显然、轴不是曲线的对称轴，故可设：（）， 设为曲线上的任意一点，与关于直线对称，且，则也在曲线上，由此得， 且， （14分） 整理得，解得或， 所以存在直线及为曲线的对称轴 （16分） （文）该函数的定义域，曲线的对称中心为， 因为对任意， 所以该函数为奇函数，曲线为中心对称图形14.解：() 3分函数和的图象在处的切线互相平行 5分 6分（）7分令当时，,当时，.在是单调减函数，在是单调增函数. 9分，当时，有，当时，有.当时，恒成立, 11分满足条件的的值满足下列不等式组，或不等式组的解集为空集，解不等式组得综上所述，满足条件的的取值范围是：.15.解：（1）在中令，得； 2分设，则，从而有所以，所以，在上单调递减 5分（2），由（1）知，在上单调递减， 7分故集合中的点所表示的区域为如图所示的阴影部分；而，所以， 8分故集合中的点所表示的区域为一直线，如图所示，由图可知，要，只要，实数的取值范围是 10分（3）由（1）知在上单调递减，当时，当时，而，故，由得，所以， 12分又，所以，又由得，又，所以，由及解得， 16.解：（理）（I）（3分）（II）设两整根为x1,x2，x1x2 (5分)（III）设mx1x22a0, (7分)(2) 不存在 当a=1时，c=1,此时存在x0,使17.解：(I)证：令x=y=0，则f(0)+f(0)=f(0), 故f(0)=0令y=-x,则f(x)+f(-x)= f(-x)=-f(x) 函数f(x)的奇函数 4（II）设-1x1x21，则 因此 函数f(x)在（-1，1）上是减函数 8（III） 是（-1，1）上的减函数， 由 得x2 9 当a=0时， ，原不等式的解集为x|x2 10 当-1a2中原不等式的解； 若x1,x1+ 故原不等式的解集为 12 当0a1时，x2，则a(x-1)1,x0得：ax3a由f(x)0得，x3a，则函数f(x)的单调递增区间为（a, 3a），单调递减区间为（，a）和（3a，+）列表如下：x(，a)a(a, 3a)3a(3a,+ )f(x)0+0f(x)a3+bb函数f(x)的极大值为b，极小值为a3+b 7分 （2）上单调递减，因此 不等式|f(x)|a恒成立， 即a的取值范围是22.解：(1) 方法一： x1 , ， 当且仅当x=4时，取等号，故函数f(x)的最小值为0； 方法二： x1， 当且仅当即x=4时，取等号，故函数f(x)的最小值为0.方法三：求导（略） 4分（2）由于h(x)=(1x)f(x)+16=设 F(x)=g(x)h(x)= (且)，则，6分令得x=3或x=1（舍）又， ，F（3）6ln315+m根据导数的符号及函数的单调情况、取极值的情况作出的草图如下：11分由此可得：当或时，h(x)的图象与g(x)的图象恰有1个交点；当时，h(x)的图象与g(x)的图象恰有2个交点；当时，h(x)的图象与g(x(的图象恰有3个交点.23.解：（I）由图形 知：，函数f（x）的解析式为4分（）由得0t2直线l1与f（x）的图象的交点坐标为（6分由定积分的几何意义知：9分（）令因为x0，要使函数f（x）与函数g（x）有且仅有2个不同的交点，则函数的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点当x（0，1）时，是增函数；当x（1，3）时，是减函数当x（3，+）时，是增函数当x=1或x=3时，12分又因为当x0时，当所以要使有且仅有两个不同的正根，必须且只须即m=7或当m=7或时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有两个不同交点24.解：(I) f (x)=x3-2x2+x, (x)=3x2-4x+1, 因为f(x)单调递增，所以(x)0，即 3x2-4x+10,解得，x1, 或x,2分故f(x)的增区间是(-，)和1,+ . 3分(II) (x)=3x2-2(a+b)x+ab. 当x-1，1时，恒有|(x)|.4分 故有(1)， (-1)， (0),5 即 6+，得ab，8分又由，得 ab=，将上式代回和，得 a+b=0,故f(x)=x3x. 9分(III) 假设, 即= = st+f(s)f(t)=0, 10分(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1, st-(s+t)a+a2st-(s+t)b+b2=-1, 11分 由s，t为(x)=0的两根可得， s+t=(a+b), st=, (0ab), 从而有ab(a-b)2=9. 12分 这样(a+b)2=(a-b)2+4ab = +4ab2=12，即 a+b2,这样与a+b2矛盾. 13分故与不可能垂直.25.解：(1)g(x)=. 即m时，g(x)0,g(x)在,2上单调递减， g(x)max=g()=2m-ln2.所以m时，g(x)max=2m-； (2)因为函数y=log8-f(x)在1，+）上是单调减函数，则其导数在1，+）上恒小于等于零. 所以恒成立.因为loge0，所以在1，+）恒成立.即在1，+）恒成立.因为在1，+）上不恒成立,所以在1，+）上恒成立.得在1，+）上恒成立. 所以-1m 0 , x 0, fn ( x ) a0时, fn ( x ) = xn ( x + a)n是关于x的减函数, 当n a时, 有：(n + 1 )n ( n + 1 + a)n n n ( n + a)n. 2分又 f n + 1 (x ) = ( n + 1 ) xn ( x+ a )n ,f n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) (n + 1 )n ( n + 1 + a )n n ,f n + 1 ( n + 1 ) ( n + 1 )fn(n) . 2分22