高中数学导数压轴题(二).doc

高中数学导数压轴题（二）
Collect by LX 2017.02.26
1．已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2．
（Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间为，求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y=g（x）的图象在点P（﹣1，1）处的切线方程；
（Ⅲ）若不等式2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．
2．已知f（x）=x3+bx2+cx+d在（﹣∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程f（x）=0有三个根，它们分别为α，2，β．
（1）求c的值；
（2）求证f（1）≥2；
（3）求|α﹣β|的取值范围．
3．设函数f（x）=lnx﹣﹣bx
（Ⅰ）当a=b=时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）+＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a=0，b=﹣1时，方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．
4．已知函数，a为正常数．
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且，求函数f（x）的单调增区间；
（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有，求a的取值范围．
5．已知函数．
（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；
（Ⅱ）当x＞0时，恒成立，求整数k的最大值；
（Ⅲ）试证明：（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n（n+1））＞e2n﹣3．
6．已知函数，且f′（﹣1）=0
（Ⅰ）试用含a的代数式表示b；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）令a=﹣1，设函数f（x）在x1，x2（x1＜x2）处取得极值，记点M（x1，f（x1）），N（x2，f（x2）），证明：线段MN与曲线f（x）存在异于M、N的公共点．
7．已知函数f（x）=x2﹣alnx在区间（1，2]内是增函数，g（x）=x﹣a在区间（0，1]内是减函数．
（1）求f（x），g（x）的表达式；
（2）求证：当x＞0时，方程f（x）﹣g（x）=x2﹣2x+3有唯一解；
（3）当b＞﹣1时，若f（x）≥2bx﹣在x∈（0，1]内恒成立，求b的取值范围．
8．已知函数f（x）=，g（x）=（）|x﹣m|，其中m∈R且m≠0．
（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当m＜﹣2时，求函数F（x）=f（x）+g（x）在区间[﹣2，2]上的最值；
（Ⅲ）设函数h（x）=，当m≥2时，若对于任意的x1∈[2，+∞），总存在唯一的x2∈（﹣∞，2），使得h（x1）=h（x2）成立，试求m的取值范围．
9．已知f（x）=xex﹣ax2﹣x．
（1）若f（x）在（﹣∞，﹣1]上递增，[﹣1，0]上递减，求f（x）的极小值；
（2）若x≥0时，恒有f（x）≥0，求实数a的取值范围．
10．对于函数f（x）和g（x），若存在常数k，m，对于任意x∈R，不等式f（x）≥kx+m≥g（x）都成立，则称直线
y=kx+m是函数f（x），g（x）的分界线．已知函数f（x）=ex（ax+1）（e为自然对数的底，a∈R为常数）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a=1，试探究函数f（x）与函数g（x）=﹣x2+2x+1是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由．
11．已知函数f（x）=ln（1+ax2），a∈R且a≠0．
（1）当a=﹣4时，求F（x）=f（x）﹣2x的最大值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）当n∈N*，求证：ln2．
12．已知函数（a为实常数）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数g（x）=f（x）﹣2x的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，2）上无极值，求a的取值范围；
（Ⅲ）已知n∈N*且n≥3，求证：．
13．已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）若函数F（x）=f（x）﹣g（x）有极值点1，求a的值；
（Ⅱ）若函数G（x）=f[sin（1﹣x）]+g（x）在区间（0，1）上为增函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）证明：．
14．设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx．
（1）若x=1是f（x）的极大值点，求a的取值范围．
（2）当a=0，b=﹣1时，函数F（x）=f（x）﹣λx2有唯一零点，求正数λ的值．
15．已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，（a∈R）．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；
（Ⅲ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．
16．已知函数．（a为常数，a＞0）
（Ⅰ）若是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（Ⅱ）求证：当0＜a≤2时，f（x）在上是增函数；
（Ⅲ）若对任意的a∈（1，2），总存在 ，使不等式f（x0）＞m（1﹣a2）成立，求实数m的取值范围．
17．已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R，a≠0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为，问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间[t，3]上总存在极值？
（Ⅲ）当a=2时，设函数，若在区间[1，e]上至少存在一个x0，使得h（x0）＞f（x0）成立，试求实数p的取值范围．
18．已知函数．
（1）若f（x）是单调函数，求a的取值范围；
（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2．
19．设x=m和x=n是函数f（x）=2lnx+x2﹣（a+1）x的两个极值点，其中m＜N，a＞0
（1）若a=2时，求m，n的值；
（2）求f（m）+f（n）的取值范围；
（3）若a≥+﹣1（e是自然对数的底数），求证：f（n）﹣f（m）≤2﹣e+．
20．已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x
（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若x=﹣是f（x）的一个极值点，求f（x）在[1，a]上的最大值；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由．
21．已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）．
（1）当a=时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g（x）为f1（x），f2（x）的“活动函数”．已知函数+2ax．若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围．
22．已知函数f（x）=ax2+x﹣xlnx（a＞0）．
（1）若函数满足f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围；
（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围；
（3）当＜x＜y＜1时，试比较与的大小．
23．已知函数f（x）的图象在[a，b]上连续不断，定义：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f2（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]）．其中，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．若存在最小正整数k，使得f2（x）﹣f1（x）≤k（x﹣a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”．
（1）若f（x）=cosx，x∈[0，π]，试写出f1（x），f2（x）的表达式；
（2）已知函数f（x）=x2，x∈[﹣1，4]，试判断f（x）是否为[﹣1，4]上的“k阶收缩函数”，如果是，求出对应的k；如果不是，请说明理由；
（3）已知b＞0，函数f（x）=﹣x3+3x2是[0，b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围．
24．已知函数f（x）=x3﹣（2a+1）x2+（a2+a）x．
（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的值；
（Ⅱ）若∀m∈R，直线y=kx+m都不是曲线y=f（x）的切线，求k的取值范围；
（Ⅲ）若a＞﹣1，求f（x）在区间[0，1]上的最大值．
25．已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x﹣12，f′（x）为f（x）的导函数，满足f′（2﹣x）=f′（x）．
（Ⅰ）设g（x）=x，m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（Ⅱ）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1﹣t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
26．已知定义在正实数集上的函数，g（x）=3e2lnx+b（其中e为常数，e=2.71828…），若这两个函数的图象有公共点，且在该点处的切线相同．
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）当x∈[1，e]时，恒成立，求实数a的取值范围．
27．设f（x）=xlnx，g（x）=x2﹣1．
（1）令h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的单调区间；
（2）若当x≥1时，f（x）﹣mg（x）≤0恒成立，求实数m的取值范围．
28．已知函数（a为常数）．
（1）求f′（x）；
（2）当a=1时，求f（x）在x∈上的最大值和最小值（e≈2.71828）；
（3）求证：ln＞．（n＞1，且n∈N*）
29．已知函数f（x）=lnx+，其中a为常数，且a＞0．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=垂直，求a的值；
（2）若函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为，求a的值．
30．已知函数f（x）=（x2+ax+2）ex，（x，a∈R）．
（1）当a=0时，求函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）在R上单调，求a的取值范围；
（3）当时，求函数f（x）的极小值．

2017年02月26日LX的高中数学组卷2
参考答案与试题解析

一．解答题（共30小题）
1．（2015•宿州三模）已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2．
（Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间为，求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y=g（x）的图象在点P（﹣1，1）处的切线方程；
（Ⅲ）若不等式2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】函数的单调性与导数的关系；利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】（I）求出g（x）的导函数，令导函数小于0得到不等式的解集，得到相应方程的两个根，将根代入，求出a的值．
（II）求出g（x）的导数在x=﹣1的值即曲线的切线斜率，利用点斜式求出切线的方程．
（III）求出不等式，分离出参数A，构造函数h（x），利用导数求出h（x）的最大值，令a大于等于最大值，求出a的范围．
【解答】解：（I）g′（x）=3x2+2ax﹣1由题意3x2+2ax﹣1＜0的解集是
即3x2+2ax﹣1=0的两根分别是．
将x=1或代入方程3x2+2ax﹣1=0得a=﹣1．
∴g（x）=x3﹣x2﹣x+2．（4分）
（II）由（Ⅰ）知：g′（x）=3x2﹣2x﹣1，∴g′（﹣1）=4，
∴点p（﹣1，1）处的切线斜率k=g′（﹣1）=4，
∴函数y=g（x）的图象在点p（﹣1，1）处的切线方程为：
y﹣1=4（x+1），即4x﹣y+5=0．（8分）
（III）∵2f（x）≤g′（x）+2
即：2xlnx≤3x2+2ax+1对x∈（0，+∞）上恒成立
可得对x∈（0，+∞）上恒成立
设，则
令h′（x）=0，得（舍）
当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0
∴当x=1时，h（x）取得最大值﹣2
∴a≥﹣2．
∴a的取值范围是[﹣2，+∞）．（13分）
【点评】解决不等式恒成立问题，常用的方法是分离出参数，构造新函数，求出新函数的最值，得到参数的范围．

2．（2015•梅州校级模拟）已知f（x）=x3+bx2+cx+d在（﹣∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程f（x）=0有三个根，它们分别为α，2，β．
（1）求c的值；
（2）求证f（1）≥2；
（3）求|α﹣β|的取值范围．
【考点】函数的单调性与导数的关系；函数与方程的综合运用．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】（1）根据f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，在（0，2]上是减函数；得到x=0是f'（x）=0的根，求导f'（x）=3x2+2bx+c，即可求得f'（0）=0，c=0；
（2）根据f（1）=1+b+d，f（2）=0，得到d=﹣8﹣4b且b≤﹣3，利用不等式的基本性质可证f（1）=1+b﹣8﹣4b=﹣7﹣3b≥2；
（3）由f（x）=0有三根α，2，β；得到f（x）=（x﹣α）（x﹣2）（x﹣β）=x3﹣（α+β+2）•x2﹣2αβ，因此；∴故|β﹣α|2=（α+β）2﹣4αβ=（b+2）2+2d=b2+4b+4﹣16﹣8b=b2﹣4b﹣12=（b﹣2）2﹣16，利用b≤﹣3，求得|β﹣α|≥3．
【解答】解：（1）∵f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，在（0，2]上是减函数；
∴x=0是f'（x）=0的根，又∵f'（x）=3x2+2bx+c，∴f'（0）=0，∴c=0．
（2）∵f（x）=0的根为α，2，β，
∴f（2）=0，∴8+4b+d=0，又∵f'（2）≤0，
∴12+4b≤0，∴b≤﹣3，又d=﹣8﹣4b
∴d≥4
f（1）=1+b+d，f（2）=0
∴d=﹣8﹣4b且b≤﹣3，
∴f（1）=1+b﹣8﹣4b=﹣7﹣3b≥2
（3）∵f（x）=0有三根α，2，β；
∴f（x）=（x﹣α）（x﹣2）（x﹣β）
=x3﹣（α+β+2）•x2﹣2αβ
∴；
∴|β﹣α|2=（α+β）2﹣4αβ
=（b+2）2+2d
=b2+4b+4﹣16﹣8b
=b2﹣4b﹣12
=（b﹣2）2﹣16
又∵b≤﹣3，∴|β﹣α|≥3
【点评】本题考查函数单调性与导数之间的关系以及函数与方程的综合应用，利用韦达定理求解|α﹣β|的取值范围，体现了方程的思想，同时考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力，难度较大，综合性强，属难题．

3．（2015•南开区二模）设函数f（x）=lnx﹣﹣bx
（Ⅰ）当a=b=时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）+＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a=0，b=﹣1时，方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】（I）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．
（II）先构造函数F（x）再由以其图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤恒成立，知导函数≤恒成立，再转化为所以a≥（﹣，x02+x0）max求解．
（III）先把程f（x）=mx有唯一实数解，转化为有唯一实数解，再利用单调函数求解．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞）．（1分）
当a=b=时，f（x）=lnx﹣x2﹣x，
f′（x）=﹣x﹣=．（2分）
令f′（x）=0，解得x=1．
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增；
当x＞1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减．（3分）
所以函数f（x）的单调增区间（0，1），函数f（x）的单调减区间（1，+∞）．（4分）
（Ⅱ）F（x）=lnx+，x∈（0，3]，
所以k=F′（x0）=≤，在x0∈（0，3]上恒成立，（6分）
所以a≥（﹣x02+x0）max，x0∈（0，3]（7分）
当x0=1时，﹣x02+x0取得最大值 ．所以a≥．（9分）
（Ⅲ）当a=0，b=﹣1时，f（x）=lnx+x，
因为方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，
所以lnx+x=mx有唯一实数解．
∴，
设g（x）=，则g′（x）=．
令g′（x）＞0，得0＜x＜e；
g′（x）＜0，得x＞e，
∴g（x）在区间[1，e]上是增函数，在区间[e，e2]上是减函数，
g（1）=1，g（e2）=1+=1+，g（e）=1+，
所以m=1+，或1≤m＜1+．
【点评】本题主要考查函数的单调性、极值、不等式、方程的解等基本知识，同时考查运用导数研究函数性质的方法，分类与整合及化归与转化等数学思想．

4．（2015•江苏二模）已知函数，a为正常数．
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且，求函数f（x）的单调增区间；
（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有，求a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题；分类讨论．
【分析】（1）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．
（2）设h（x）=g（x）+x，依题意得出h（x）在（0，2]上是减函数．下面对x分类讨论：①当1≤x≤2时，②当0＜x＜1时，利用导数研究函数的单调性从及最值，即可求得求a的取值范围．
【解答】解：（1），
∵，令f′（x）＞0，得x＞2，或，
∴函数f（x）的单调增区间为，（2，+∞）．
（2）∵，
∴，
∴，
设h（x）=g（x）+x，依题意，h（x）在（0，2]上是减函数．
当1≤x≤2时，，，
令h′（x）≤0，得：对x∈[1，2]恒成立，
设，则，
∵1≤x≤2，∴，
∴m（x）在[1，2]上递增，则当x=2时，m（x）有最大值为，
∴
当0＜x＜1时，，，
令h′（x）≤0，得：，
设，则，
∴t（x）在（0，1）上是增函数，
∴t（x）＜t（1）=0，
∴a≥0．
综上所述，．
【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

5．（2015•东营二模）已知函数．
（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；
（Ⅱ）当x＞0时，恒成立，求整数k的最大值；
（Ⅲ）试证明：（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n（n+1））＞e2n﹣3．
【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的证明．菁优网版权所有
【专题】综合题；压轴题；导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求导函数，确定导数的符号，即可得到结论；
（Ⅱ）当x＞0时，恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，构造函数，求出函数的最小值，即可求整数k的最大值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：，从而令，即可证得结论．
【解答】（Ⅰ）解：由题，…（2分）
故f（x）在区间（0，+∞）上是减函数；…（3分）
（Ⅱ）解：当x＞0时，恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，
取，则，…（5分）
再取g（x）=x﹣1﹣ln（x+1），则，
故g（x）在（0，+∞）上单调递增，
而g（1）=﹣ln2＜0，g（2）=1﹣ln3＜0，g（3）=2﹣2ln2＞0，…（7分）
故g（x）=0在（0，+∞）上存在唯一实数根a∈（2，3），a﹣1﹣ln（a+1）=0，
故x∈（0，a）时，g（x）＜0；x∈（a，+∞）时，g（x）＞0，
故，故kmax=3…（8分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知：，∴
令，…（10分）
又ln[（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n（n+1））]=ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln（1+n×（n+1））=
即：（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•[1+n（n+1）]＞e2n﹣3…（14分）
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查不等式的证明，属于中档题．

6．（2015•济南校级模拟）已知函数，且f′（﹣1）=0
（Ⅰ）试用含a的代数式表示b；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）令a=﹣1，设函数f（x）在x1，x2（x1＜x2）处取得极值，记点M（x1，f（x1）），N（x2，f（x2）），证明：线段MN与曲线f（x）存在异于M、N的公共点．
【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算；利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题；分类讨论；反证法．
【分析】（Ⅰ）：已知f′（﹣1）=0，根据求导数的方法先求出f′（x），把x=﹣1代入得到关于a和b的等式解出b即可；
（Ⅱ）：令f′（x）=0求出稳定点时x的值1﹣2a和﹣1，根据1﹣2a和﹣1的大、小、相等分三种情况讨论函数的增减性即可；
（Ⅲ）：利用反证法，假设线段MN与曲线f（x）不存在异于M、N的公共点．推出函数不单调矛盾．原结论正确．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=x2+2ax+b依题意，得f′（﹣1）=1﹣2a+b=0
故b=2a﹣1．
（Ⅱ）由（a）得
故f′（x）=x2+2ax+2a﹣1=（x+1）（x+2a﹣1）
令f′（x）=0，则x=﹣1或x=1﹣2a
分情况讨论得：
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化如下表：

x
（﹣∞，1﹣2a）
（1﹣2a，﹣1）
（﹣1，+∞）
f′（x）
+
﹣
+
f（x）
单调递增
单调递减
单调递增
（1）当a＞1时，1﹣2a＜﹣1由此得，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，1﹣2a）和（﹣1，+∞），单调减区间为（1﹣2a，﹣1）．
（2）当a=1时，1﹣2a=﹣1．此时f′（x）≥0恒成立，且仅在x=﹣1处f′（x）=0故函数f（x）的单调增区间为R．
（3）当a＜1时，1﹣2a＞﹣1同理可得函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（1﹣2a，+∞）单调减区间为（﹣1，1﹣2a）．
（Ⅲ）假设线段MN与曲线f（x）不存在异于M、N的公共点．
当a=﹣1时，由（a）的b=2a﹣1=﹣3．f（x）=﹣x2﹣3x就不在区间（﹣1，3）内单调与a=﹣1单调减矛盾．
所以假设错误．故线段MN与曲线f（x）存在异于M、N的公共点．
【点评】此题考查学生利用导数研究函数单调的方法，以及反证法的运用．

7．（2015•和平区一模）已知函数f（x）=x2﹣alnx在区间（1，2]内是增函数，g（x）=x﹣a在区间（0，1]内是减函数．
（1）求f（x），g（x）的表达式；
（2）求证：当x＞0时，方程f（x）﹣g（x）=x2﹣2x+3有唯一解；
（3）当b＞﹣1时，若f（x）≥2bx﹣在x∈（0，1]内恒成立，求b的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．菁优网版权所有
【专题】综合题；压轴题；转化思想．
【分析】（1）在（1，2）上恒成立⇒a≤（2x2）min=2，在（1，2）上恒成立，由此知f（x）=x2﹣2lnx，g（x）=x﹣．
（2）f（x）=g（x）+2，由函数的单调性能导出方程f（x）=g（x）+2在x＞0时只有唯一解．
（3）f（x）在（0，1]上恒成立在（0，1]上恒成立．由此能导出b的取值范围．
【解答】解：（1）由题意知：在（1，2）上恒成立⇒a≤（2x2）min=2，
又在（0，1]上恒成立，
∴a=2，f（x）=x2﹣2lnx，g（x）=x﹣2．
（2）f（x）=g（x）+2，
则﹣1，
x∈（0，1]时，h′（x）＜0，x∈[1，+∞），h′（x）≥0，
解得h（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）单调递增⇒h（x）min=h（1）=0，
即方程f（x）=g（x）+2在x＞0时只有唯一解．
（3）f（x）在（0，1]上恒成立，在（0，1]上恒成立．
设，则，
∵0＜x≤1⇒x2﹣2＜0，2lnx＜0，
∴H′（x）＜0，H（x）d （0，1]单调递减，
∴﹣1＜b≤1，又∵b＞﹣1，∴．
【点评】本题考查利用导数判断函数的单调性，具有一定的难度，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．

8．（2015•眉山模拟）已知函数f（x）=，g（x）=（）|x﹣m|，其中m∈R且m≠0．
（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当m＜﹣2时，求函数F（x）=f（x）+g（x）在区间[﹣2，2]上的最值；
（Ⅲ）设函数h（x）=，当m≥2时，若对于任意的x1∈[2，+∞），总存在唯一的x2∈（﹣∞，2），使得h（x1）=h（x2）成立，试求m的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题；函数的性质及应用；导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求导，由导数讨论正负从而确定函数的单调性；
（Ⅱ）当m＜﹣2，﹣2≤x≤2时，可判断g（x）与f（x）在[﹣2，2]上单调递减，从而在[﹣2，2]上单调递减；从而求最值；
（Ⅲ）由题意先求得当m≥2，x1∈[2，+∞）时；再求得当m≥2，x2＜2时，；从而化为即可，记函数，从而求解．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，，
①当m＞0时，
解f′（x）≥0得﹣2≤x≤2，解f′（x）＜0得x＜﹣2或x＞2；
所以f（x）在[﹣2，2]上单调递增，在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）上单调递减；
②当m＜0时，
解f′（x）≤0得﹣2≤x≤2，f′（x）＞0得x＜﹣2或x＞2；
所以f（x）在[﹣2，2]上单调递减；在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）上单调递增．

（Ⅱ）当m＜﹣2，﹣2≤x≤2时，
在[﹣2，2]上单调递减，
由（Ⅰ）知，f（x）在[﹣2，2]上单调递减，
所以在[﹣2，2]上单调递减；
∴；
．
（Ⅲ）当m≥2，x1∈[2，+∞）时，
，
由（Ⅰ）知h（x1）在[2，+∞）上单调递减，
从而h（x1）∈（0，f（2）]，
即；
当m≥2，x2＜2时，
在（﹣∞，2）上单调递增，
从而h（x2）∈（0，g（2）），即；
对于任意的x1∈[2，+∞），总存在唯一的x2∈（﹣∞，2），使得h（x1）=h（x2）成立，
只需，即成立即可．
记函数，
易知在[2，+∞）上单调递增，且H（4）=0；
所以m的取值范围为[2，4）．
【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了函数的四则运算等，属于难题．

9．（2015•洛阳二模）已知f（x）=xex﹣ax2﹣x．
（1）若f（x）在（﹣∞，﹣1]上递增，[﹣1，0]上递减，求f（x）的极小值；
（2）若x≥0时，恒有f（x）≥0，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题；导数的综合应用．
【分析】（1）先求导f′（x）=ex+xex﹣2ax﹣1，再由题意可得f′（﹣1）=e﹣1﹣e﹣1+2a﹣1=0，从而求得2a=1，从而化简f′（x）=ex+xex﹣x﹣1=（x+1）（ex﹣1），从而确定极小值点及极小值．
（2）当x=0时，f（0）=0恒成立，从而化恒成立问题为x＞0时，恒有f（x）≥0；即a≤在x＞0时恒成立，从而令g（x）=，求导确定函数的单调性，再由洛必达法则求出g（x）==ex=1；从而求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）=xex﹣ax2﹣x，
∴f′（x）=ex+xex﹣2ax﹣1，
又∵f（x）在（﹣∞，﹣1]上递增，[﹣1，0]上递减，
∴f′（﹣1）=e﹣1﹣e﹣1+2a﹣1=0，
故2a=1，
故f′（x）=ex+xex﹣x﹣1=（x+1）（ex﹣1），
故f（x）在（﹣∞，﹣1]，[0，+∞）上递增，[﹣1，0]上递减；
故f（x）在x=0处取得极小值f（0）=0；
（2）当x=0时，f（0）=0恒成立，
故x≥0时，恒有f（x）≥0可化为
x＞0时，恒有f（x）≥0；
即x＞0时，xex﹣ax2﹣x≥0恒成立，
即a≤在x＞0时恒成立，
令g（x）=，
则g′（x）=，
令h（x）=xex﹣ex+1，
则h′（x）=xex＞0，
故h（x）在（0，+∞）上是增函数，
故h（x）＞h（0）=0，
故g′（x）=＞0，
故g（x）在（0，+∞）上是增函数，
而g（x）==ex=1；
故a≤1．
【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了构造函数的思想应用及洛必达法则的应用，属于难题．

10．（2015•陕西校级二模）对于函数f（x）和g（x），若存在常数k，m，对于任意x∈R，不等式f（x）≥kx+m≥g（x）都成立，则称直线
y=kx+m是函数f（x），g（x）的分界线．已知函数f（x）=ex（ax+1）（e为自然对数的底，a∈R为常数）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a=1，试探究函数f（x）与函数g（x）=﹣x2+2x+1是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的判断与证明．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题；新定义．
【分析】（Ⅰ）f′（x）=ex（ax+1+a），当a＞0时，f′（x）＞0⇔函数f（x）在区间（﹣1﹣，+∞）上是增函数，在区间（﹣∞，﹣1﹣）上是减函数；a=0时，f′（x）＞0，函数f（x）是区间（﹣∞，+∞）上的增函数；当a＜0时，f′（x）＞0⇔ax＞﹣a﹣1，函数f（x）在区间（﹣∞，﹣1﹣）上是增函数，在区间（﹣1﹣，+∞）上是减函数．
（Ⅱ）若存在，则ex（x+1）≥kx+m≥﹣x2+2x+1恒成立，令x=0，得m=1，因此x2+（k﹣2）x≥0恒成立，由此及彼能推导出函数f（x）与函数g（x）=﹣x2+2x+1存在“分界线”．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=ex（ax+1+a），（2分）
当a＞0时，f′（x）＞0⇔ax＞﹣a﹣1，即x＞﹣1﹣，
函数f（x）在区间（﹣1﹣，+∞）上是增函数，
在区间（﹣∞，﹣1﹣）上是减函数；（3分）
当a=0时，f′（x）＞0，函数f（x）是区间（﹣∞，+∞）上的增函数；（5分）
当a＜0时，f′（x）＞0⇔ax＞﹣a﹣1，即x＜﹣1﹣，
函数f（x）在区间（﹣∞，﹣1﹣）上是增函数，在区间（﹣1﹣，+∞）上是减函数．（7分）
（Ⅱ）若存在，则ex（x+1）≥kx+m≥﹣x2+2x+1恒成立，
令x=0，则1≥m≥1，
所以m=1，（9分）
因此：kx+1≥﹣x2+2x+1恒成立，即x2+（k﹣2）x≥0恒成立，
由△≤0得到：k=2，
现在只要判断ex（x+1）≥2x+1是否恒成立，（11分）
设∅（x）=ex（x+1）﹣（2x+1），
因为：∅′（x）=ex（x+2）﹣2，
当x＞0时，ex＞1，x+2＞2，∅′（x）＞0，
当x＜0时，ex（x+2）＜2ex＜2，∅′（x）＜0，
所以∅（x）≥∅（0）=0，即ex（x+1）≥2x+1恒成立，
所以函数f（x）与函数g（x）=﹣x2+2x+1存在“分界线”．
方程为y=2x+1．（14分）
【点评】本题考查导数函数单调性中的应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用导数的性质进行求解．

11．（2015•曾都区校级模拟）已知函数f（x）=ln（1+ax2），a∈R且a≠0．
（1）当a=﹣4时，求F（x）=f（x）﹣2x的最大值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）当n∈N*，求证：ln2．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．菁优网版权所有
【专题】计算题；证明题；压轴题；导数的综合应用．
【分析】（1）代入a=﹣4化简F（x）=ln（1﹣4x2）﹣2x的定义域为；求导并令，从而判断导数的正负以确定单调性，再求最大值；
（2）由1+ax2＞0知ax2＞﹣1（a≠0），再求导，讨论a以确定函数的定义域及导数的正负，从而确定函数的单调性；
（3）设不等式左边为Sn，化简Sn==；构造函数，从而化，其中；利用积分的定义可知表示函数g（x）在区间[0，1]上与x轴围成的面积的过剩近似值；从而证明．
【解答】解：（1）当a=﹣4时，F（x）=ln（1﹣4x2）﹣2x的定义域为；
由，
可得，
∵，
∴；
故当，F（x）单调递增，
当，F（x）单调递减；
故F（x）的最大值为．

（2）因为1+ax2＞0，可知ax2＞﹣1（a≠0），
又；
当a＞0，f（x）定义域为R，若x＞0则f′（x）＞0，若x＜0则f′（x）＜0；
故f（x）的单调减区间为（﹣∞，0），单调增区间为（0，+∞）．
当a＜0，f（x）定义域为，
若x＞0则f′（x）＜0，若x＜0则f′（x）＞0；
故f（x）的单调增区间为，单调减区间为．

（3）证明：设不等式左边为Sn，
则Sn=
=
=；
构造函数，
由（2）可知当a=1时，f（x）=ln（1+x2），f′（x）=g（x）；
，其中；
利用积分的定义可知表示函数g（x）在区间[0，1]上与x轴围成的面积的过剩近似值；
故有；
故当n∈N*，成立．
【点评】本题考查利用函数的导数解决函数的最值和单调性问题，并通过构造函数利用微积分的思想证明不等式问题，需要较强的综合运用知识和开拓创新能力．考查了函数的思想、分类讨论思想、数形结合思想、等价转化思想等常用的数学思想．

12．（2015•安徽模拟）已知函数（a为实常数）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数g（x）=f（x）﹣2x的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，2）上无极值，求a的取值范围；
（Ⅲ）已知n∈N*且n≥3，求证：．
【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；数列与不等式的综合．菁优网版权所有
【专题】综合题；压轴题；导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求出函数定义域，当a=1时求出g′（x），只需解不等式g′（x）＞0，g′（x）＜0即可．
（Ⅱ）函数f（x）在区间（0，2）上无极值，则f′（x）≥0或f′（x）≤0，由此即可求出a的取值范围．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=1时，f（x）在（0，+∞）上的最大值为f（1）=0，得f（x）=≤0，即ln，令x=适当变形即可证明．
【解答】解：（I）当a=1时，，其定义域为（0，+∞），g′（x）=﹣2+=，，
令g′（x）＞0，并结合定义域知； 令g′（x）＜0，并结合定义域知；
故g（x）的单调增区间为（0，）；单调减区间为．
（II），
（1）当f′（x）≤0即a≤x在x∈（0，2）上恒成立时，a≤0，此时f（x）在（0，2）上单调递减，无极值；
（2）当f′（x）≥0即a≥x在x∈（0，2）上恒成立时，a≥2，此时f（x）