高中数学选择填空压轴题(解析几何1)资料.doc

高中数学选择填空压轴题精选(解析几何1)

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已知椭圆E：,O为坐标原点,A、B是椭圆E上两点,且△AOB的面积为,则的最小值是 .
解法一（利用椭圆参数方程）
设,
因为, 所以,
即,
, ,,
.
下面求的最小值,有如下方法：
①均值不等式
,
.
②平方平均大于等于调和平均
,
.
③权方和不等式
,
当且仅当时,等号成立,
.
④权方和不等式+柯西不等式
.
点评:本解法利用椭圆的参数方程,得到了一个很重要的中间结论：. 一般地, 有如下结论：
若,为椭圆上的动点, 且满足,则有：
（1）, ；
（2）.
解法二：（利用柯西不等式）
设,,由得
,
（当且仅当时等号成立）.
,
又,,则,,
进而,
,
当且仅当时,取得最小值.
点评:本解法利用柯西不等式,实现等与不等的相互转化,相当精彩！

解法三：（利用仿射变换,椭圆变圆）
设伸缩变换,则,
在该变换下,的对应点分别为,
而,,
所以,,
, ,,,
,
,
当且仅当时,取得最小值.
点评:本解法利用仿射变换,椭圆变圆,关键是发现.游数玩形,妙在转化！
解法四：（齐次化）
由及,,
得.
(1)当直线OA与OB的斜率都存在时,两边同时除以,
得,
化简得,,
设,则,
由,,
同理（将换成）,得,
(2)当直线OA或OB的斜率为0或不存在时,也有
于是,
当且仅当时,等号成立,
因此的最小值为.
点评:本解法利用齐次化,得出OA与OB的斜率关系,接下来便顺理成章了.
解法五：常规思路
当直线OA与OB的斜率都存在时,
设直线,直线,,
由解得,同理.
点B到直线OA的距离,
因为,所以,
即,即,
所以,即.
下同解法四.
点评:与上述方法相比,本解法相对复杂一些,熟悉以下二级结论的话,过程会大大简化.
【结论】椭圆,A,B为椭圆C上的动点,,,且满足,则有：
（1）,,
；
（2）；
（3）若M为椭圆上一点,且,则.

相似题1(2011年山东卷理22题)
已知动直线与椭圆交于、两不同点,且 的面积,其中O为坐标原点.
（Ⅰ）证明和均为定值；
（Ⅱ）（Ⅲ）略.
答案：,.
相似题2已知椭圆E：,O为坐标原点,A、B是椭圆E上两点,OA,OB的斜率存在并分别记为,且,则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
答案：C.
相似题3已知A,B是椭圆C：上关于原点对称的两个点,P、M、N是椭圆上异于AB的点,且,,则的面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：C.
相似题4：
如图所示,分别是椭圆,的长轴的左右端点,O为坐标原点,为椭圆上不同于的三点,直线围成一个平行四边形,则等于（ ）
A. B.
C. D.
答案：B.
相似题5：
在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C：,其焦点到相应准线的距离为3,离心率为.
（1） 求椭圆C的标准方程；
（2） 如图所示,A,B是椭圆C上两点,且射线OA,OB的斜率满足,延长OA到M,使得OM＝3OA,且MB交椭圆C于Q,设,求证：
①；②为定值.
答案：5.

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